Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Rainbow matchings in Dirac bipartite graphs
证明了当$μ>0$足够小时，Dirac二部图的$μn$有界边着色中彩虹完美匹配的存在性.作为应用，我们得到了Dirac图中彩虹$k$ -因子和最小度大的图中有界最大度彩虹生成子图存在性的几个结果.
2017-12-14 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
Bounds for the rainbow disconnection number of graphs
边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.
2020-03-30 math.CO
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
2017-03-30 math.CO
Strong rainbow connection numbers of toroidal meshes
在2011年，Li等人\cite{LLL}得到了$r$维无向环面网格的强彩虹连接数的上界。本文改进了这一界。因此，我们对他们的问题给予否定的回答。
2017-03-01 math.CO
Bounds on Arithmetic Rainbow Ramsey Multiplicities
本文研究了3色着色下最大化雨伞3项等差数列数量的界限问题，确定了整数模n情况下的上界和下界，并在n为3的倍数时给出了精确最大值。
2026-01-09 math.CO
Upper Bounding Rainbow Connection Number by Forest Number
一个边着色图中的一条路是彩虹的，如果它的两条边都不是相同着色的;如果它的每对顶点之间都有一条彩虹路，那么这个图是彩虹连通的。彩虹连接图$G$所需的最小颜色数是$G$的彩虹连接数，用$\text{rc}(G)$表示。彩虹连接图$G$的一个简单方法是用不同的颜色来着色生成树的边，然后重用这些颜色中的任何一种来着色$G$的其余边。这证明了$\text{rc}(G) \le |V(G)|-1$.我们要问的是，在树状结构和彩虹着色之间，是否存在比上述琐碎论证所暗示的更强的联系。例如，是否有可能找到$\text{rc}(G)$的$t(G) -1$的上界，其中$t(G)$是$G$的最大导出树中的顶点数？答案是否定的，因为有反例表明，对于任何给定的常数$c$，即使$c\cdot t(G)$也不是$\text{rc}(G))$的上限。在这项工作中，我们表明，如果我们考虑森林数$f(G)$，$G$的最大诱导森林中的顶点数，而不是$t(G)$，那么令人惊讶的是，我们确实得到了一个上界。更具体地说，我们证明了$\text{rc}(G) \leq f(G) + 2$。我们的结果表明，彩虹连接和树状结构之间的联系比简单的基于生成树的上限所建议的更强。
2020-06-11 math.CO
Bounds on the 2-rainbow domination number of graphs
图$G$的{ \it 2-rainbow dominance function}是一个函数$f$，它为每个顶点分配从集合$\{1,2\}$中选择的一组颜色，使得对于任何$v\in V(G)$，$f(v)=\emptyset$意味着$\bigcup_{u\in N(v)}f(u)=\{1,2\}$。图$G$的{ \it 2-彩虹控制数$γ_{r2}(G)$ }是所有这类函数$f$上的最小值$w(f)=Σ_{v\in V}|f(v)|$。设$G$是$|V(G)|=n\geq 3$阶连通图.我们证明了$γ_{r2}(G)\leq 3n/4$和我们的图实现平等的特点。利用树的控制数证明了树的2-彩虹控制数的一个下界。给出了$γ_{r2}(G)$的其它一些关于直径的上下界.
2010-05-06 math.CO
On k-rainbow domination in regular graphs
研究了正则图的$k$ -彩虹控制问题.证明了$d$ -正则图的$k$ -彩虹控制数$d\leq k\leq 2d$下界，其中$n$是图的阶.我们确定了正则图达到这个界的必要条件，并找到了几个例子。作为应用，我们确定了阿贝尔群上所有三次Cayley图的精确$k$ -彩虹控制数.
2019-07-19 math.CO
Improved bounds for proper rainbow saturation
本文基于与经典saturation和semi-saturation数的联系，为一般团、圈和完全二部图的proper rainbow saturation数$\ ext{sat}^*(n,H)$提供了新的上下界。
2024-10-14 math.CO
Note on minimally $k$-rainbow connected graphs
一个边着色图$G$，其中相邻的边可以具有相同的颜色，如果$G$的每两个顶点由一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是{ \it彩虹连通的}。一个图$G$是{ \it $k$ -rainbow connected}，如果可以使用$k$颜色使$G$彩虹连接。对于整数$n$和$d$，令$t(n,d)$表示阶为$n$的$k$ -彩虹连通图的最小尺寸（边数）. Schiermeyer得到了$t(n,d)$的一些精确值和上界。然而，他没有得到$3\leq d<\lceil\frac{n}{2}\rceil $的$t(n,d)$的下界。本文改进了他的$t(n,2)$的下界，得到了$3\leq d<\lceil\frac{n}{2}\rceil$的$t(n,d)$的一个下界.
2012-03-14 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接. $G$的彩虹连接数，表示为$rc(G)$，是用于使$G$彩虹连接的最小颜色数。本文给出了彩虹联系数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。我们证明了如果$G$和$\bar{G}$都是连通的，那么$4\leq rc(G)+rc(\bar{G})\leq n+2$ .通过实例证明了该上界对所有$n\geq 4$都是尖锐的，下界对所有$n\geq 8$都是尖锐的.对于其余的小型$n=4,5,6,7,$，我们也给出了精确的界限。
2010-12-14 math.CO
Lower bounds for rainbow Turán numbers of paths and other trees
对于一个固定的图$F$，我们想确定在$n$顶点上的正确边有色图中的最大边数，该图不包含$F$的彩虹副本，即所有边都接收不同颜色的$F$的副本.这个最大值用$ex^*(n, F)$表示，是$F$的彩虹图兰数。我们表明，$ex^*(n,P_k)\geq \frac{k}{2}n + O(1)$其中$P_k$是一个路径上的$k\geq 3$边缘，推广的结果Maamoun和Meyniel和约翰斯顿，帕尔默和Sarkar。我们显示了类似的边界上的$2^s-1$边缘和直径$\leq 10$和其他一些小直径的毛虫扫帚。
2019-01-10 math.CO
Generalized rainbow Turán numbers of odd cycles
给定图$F$和$H$，广义彩虹图兰数$\text{ex}(n,F,\text{rainbow-}H)$是在一个具有适当边染色且不包含$H$彩虹拷贝的$n$ -顶点图中$F$的最大拷贝数. B. Janzer确定了所有$s\geq 4$和$t\geq 3$的$\text{ex}(n,C_s,\text{rainbow-}C_t)$的数量级，以及O. Janzer暗示$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k})=O(n^{1+1/k})$。我们证明了相应的上限为其余的情况下，表明$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k+1})=O(n^{1+1/k})$。这与$k$偶数的已知下限相匹配，并且被证明对于$k$奇数是紧的。
2021-09-21 math.CO
Rainbow saturation and graph capacities
$t$着色的彩虹饱和度数$rsat_t(n,F)$是$n$顶点上的$t$边有色图的最小大小，该图不包含$F$的彩虹副本，但添加任何颜色中的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本.巴鲁斯、费拉拉、范登布什和温格强调，每个$s\ge 3$和$t\ge \binom{s}{2}$都有$rsat_t(n,K_s) = Θ(n\log n)$。在这个简短的说明中，我们证明了猜想在强意义上，渐近确定彩虹饱和数的三角形。我们的下界是概率的精神，上界是基于香农容量的某个家庭的集团。
2018-04-03 math.CO
Rainbow connection number and independence number of a graph
设$G$是边着色连通图.如果$G$的每条边都被不同的颜色着色，则该路径称为彩虹。如果$G$的每两个顶点之间存在彩虹路径，则称$G$是彩虹连通的。使$G$彩虹连接所需的最小颜色数称为$G$的彩虹连接数，用$rc(G)$表示。本文研究了图的彩虹连通数与图的独立数之间的关系。证明了如果$G$是连通图，则$rc(G)\leq 2α(G)-1$ .给出了两个例子$G$，表明上界$2α(G)-1$等于$G$的直径，因此是最好的可能，因为直径是$rc(G)$的下界。
2013-04-03 math.CO
On Rainbow Connection Number and Connectivity
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是给它的边着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条路径连接，在这条路径中没有两条边被着色相同。本文研究了彩虹连通数与顶点连通度和边连通度的关系。已经知道，对于具有最小度$δ$的连通图，彩虹连接数的上界为$3n/(δ+ 1) + 3$ [Alberran et al.，2010年]。这直接给出了彩虹连通数的$3n/(λ+ 1) + 3$和$3n/(κ+ 1) + 3$的上界，其中$λ$和$κ$分别表示图的边连通度和点连通度.我们表明，上述边界的边缘连接是紧的加法常数，并表明，在顶点连接的边界可以提高到$(2 + ε)n/κ+ 23/ ε^2$，任何$ε> 0$。我们猜想彩虹连接数是由$n/κ+ O(1)$定义的上界，并证明了对$κ= 2$也是如此.我们还表明，该猜想是真实的弦图和图的围长至少为7。
2011-05-28 math.CO
On rainbow domination of cubic graphs
本文研究立方图最小权彩虹支配函数结构，刻画了4、5-彩虹支配数达下界的广义Petersen图$P(ck,k)$，并给出该类图4、5-彩虹支配数的新上界。
2024-03-12 math.CO
A sharp upper bound for the rainbow 2-connection number of 2-connected graphs
边着色图中的一条路称为{ \em rainbow}，如果它的两条边都不着色相同.对于$\ell$ -连通图$G$和具有$1\leq k\leq \ell$的整数$k$，定义$G$的{ \em彩虹$k$ -连接数} $rc_k(G)$为给$G$的边着色所需的最小颜色数，使得$G$的每两个不同的顶点至少由$k$内部不相交的彩虹路径连接. Fujita et.等人提出了一个问题：什么是最小常数$α>0$，使得对于所有2-连通图$G$在$n$顶点上，我们有$rc_2(G)\leq αn$ .本文证明了$α=1$和$rc_2(G)=n$当且仅当$G$是$n$阶圈，从而解决了这个问题.
2012-04-11 math.CO
Note on the upper bound of the rainbow index of a graph
边着色图$G$中的一条路径，如果它的每两条边接收不同的颜色，则它是彩虹路径，其中相邻的边可以着色相同。连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是对$G$的边进行着色所需的最小颜色数，使得$G$的每两个顶点之间存在连接彩虹路径。类似地，$G$中的树是彩虹树，如果它的两条边没有接收到相同的颜色。在$G$的边着色中需要的颜色的最小数量被称为$V(G)$的$k$彩虹索引，其被表示为$rx_k(G)$，其中$k$是整数，使得$2\leq k\leq n$。Chakraborty等人得到了如下结果：对于每个$ε> 0$，最小度至少为$εn$的连通图有界彩虹连通，其中界仅依赖于$ε$ . Krivelevich和Yuster证明了如果$G$有$n$顶点和最小度$δ(G)$则有$rc(G)<20n/δ(G)$ .这个界限后来被Rewran等人改进为$3n/(δ(G)+1)+3$。由于$rc(G)=rx_2(G)$，一个自然的问题出现了：对于一般的$k$，确定$rx_k(G)$作为最小度$δ(G)$的函数的真实行为。本文利用$G$的最小度$δ(G)$，通过Szemerédi正则引理、连通$2$ -步控制集、连通$(k-1)$ -控制集和$k$ -控制集，给出了$rx_k(G)$的上界.
2014-07-22 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph
一个顶点有色图$G$是彩虹点连通的，如果任意一对不同的顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路相连。$G$的彩虹顶点连接数，用$rvc(G)$表示，是使$G$彩虹顶点连接所需的最小颜色数。本文给出了彩虹点连通数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。证明了当$G$和$\bar{G}$都连通时，则$2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$ .给出的例子表明，上界和下界是最好的可能所有$n\geq 5$。
2011-03-17 math.CO
Hardness and Algorithms for Rainbow Connection
一个边有色图$G$是{ \em彩虹连通}，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的{ \em rainbow connection}，记作$rc(G)$，是使$G$ rainbow连通所需的最小颜色数。在本文的第一个结果中，我们证明了计算$rc(G)$是NP-难的解决一个开放的问题从\cite{Ca-Yu}。事实上，我们证明了判定$rc(G)=2$是否为彩虹连通的问题是NP完全的，并且证明了判定一个给定的边着色图（颜色数无限）是否为彩虹连通的问题也是NP完全的。在积极的一面，我们证明了对每一个$ε>0$，最小度至少为$εn$的连通图有{ \em有界}彩虹连通，其中界仅依赖于$ε$，并且相应的着色可以在多项式时间内构造.额外的非平凡的上限，以及开放的问题和programmures也提出。
2008-09-15 math.CO
Fractionally balanced hypergraphs and rainbow KKM theorems
一个d-部超图称为分数平衡的，如果在它的边集上存在一个非负的，不全为零的函数，并且在每个顶点边都有常数度。使用拓扑版本的霍尔定理，我们证明了下界的匹配数，这样的超图。这些界限产生彩虹版本的KKM定理的产品的单纯形，这反过来又被用来获得一些结果的多蛋糕司，和彩虹匹配家庭的d-区间。
2022-08-14 math.CO
Upper bound for the rainbow connection number of bridgeless graphs with diameter 3
边着色图$G$中的一条路径，其中相邻的边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹连接数$rc(G)$是$G$存在$G$的$k$ -边染色使得$G$的每对不同的顶点通过彩虹路连接的最小整数$k$.已知对于每个整数$k\geq 2$，判定图$G$是否具有$rc(G)\leq k$是NP-困难的，且具有$rc(G)\leq k$的图$G$具有直径$diam(G)\leq k$ .在前面的文章中，我们证明了直径为2的无桥图的彩虹连接数至多为5。本文证明了直径为3的无桥图的彩虹连通数至多为9。我们还证明了对于任何半径为$r$的无桥图$G$，如果$G$的每条边都包含在三角形中，则$rc(G)\leq 3r$。作为应用，我们得到了对任意最小度至少为3的图$G$，有$rc(L(G))\leq 3 rad(L(G))\leq 3 (rad(G)+1)$ .
2011-10-13 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection number of a graph with diameter 2
设$G$是一个连通图.图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}是最近由Chartrand等人引入的，Li等人证明了对直径为2的无桥图$G$，有$rc(G)\leq 5$ .他们给出了$rc(G)\leq 4$ .然而，他们不能证明上界5是尖锐的。已知对于直径为2的图$G$，确定$rc(G)$是NP-困难的.因此，了解对于这样的图$G$的$rc(G)$的最佳上界是有趣的。本文用不同的方法得到了同一个上界，并举例说明了这个上界是最好的。
2011-09-23 math.CO
Rainbow clique subdivisions
本文证明平均度至少为 $(\nlog n)^{2+o(1)}$ 的适当边着色图必含大小为 $t$ 的完全图的彩虹细分，并由此得到循环彩虹 Turán 数的相关结果。
2023-10-13 math.CO
Some Bounds on the Rainbow Connection Number of 3-, 4- and 5-connected Graphs
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是指对连通图的边进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点都至少有一条路径连接，并且没有两条边的颜色相同。我们证明了对于$κ=3$或$κ= 4$，每个$κ$ -连通图$G$在$n$的顶点上且直径为$\frac{n}κ-c$，满足$rc(G) \leq \frac{n}κ + 15c + 18$ .我们还证明了对每个极大平面图$G$，$rc(G) \leq \frac{n}κ + 36$ .这证明了Li等人关于大直径图和极大平面图的一个猜想。
2012-12-24 math.CO
Rainbow trees in uniformly edge-coloured graphs
我们获得了充分条件的出现的跨越和几乎跨越有界度{ \sl彩虹}树在各种主机图，有他们的边缘着色独立，均匀随机，使用预定的调色板。我们的第一个结果断言，使用尺寸为$n$，a.a.s.的调色板，$\mathbb{G}(n,ω(1)/n)$的均匀着色。允许在至多$(1-\varepsilon)n$顶点上的任何给定有界度树的彩虹副本，其中$\varepsilon > 0$是任意小但固定的。这作为一个彩虹变种的经典结果阿隆，Krivelevich和Sudakov有关的嵌入有界度几乎生成规定的树在$\mathbb{G}(n,C/n)$，其中$C > 0$是独立的$n$。给定一个最小度至少为$δn$的$n$ -顶点图$G$，其中$δ> 0$是固定的，我们利用我们前面的结果证明了随机扰动图$G \cup \mathbb{G}(n,ω(1)/n)$的均匀着色，使用$(1+α)n$颜色，其中$α> 0$是任意小而固定的，a.a.s.允许任何给定的有界度{ \sl生成}树的彩虹副本。这可以看作是Krivelevich、Kwan和Sudakov的一个结果的彩虹变体，他们证明了$G \cup \mathbb{G}(n,C/n)$，其中$C > 0$独立于$n$，a.a.s.允许任何给定的有界度生成树的副本。最后，利用上述的$G$，我们证明了用$G \cup \mathbb{G}(n,ω(n^{-2}))$颜…
2021-05-23 math.CO
Nearly tight bound for rainbow clique subdivisions in properly edge-colored graphs and applications
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了在正确边着色图中存在雨色K_t子图的近似界限，并应用于加性组合学、数论和编码理论。
2026-02-09 math.CO
More on rainbow disconnection in graphs
设$G$是一个非平凡边着色连通图。$G$的边切割$R$称为彩虹切割，如果没有两个边的颜色相同。一个边着色图$G$是彩虹不连通的，如果对于每两个顶点$u$和$v$，存在一个$u-v$彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为$rd(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先解决了Chartrand等人在\cite{CDHHZ}中提出的一个猜想，该猜想确定了对于给定的整数$k$和$n$ with $1\leq k\leq n-1$，$n$ with $rd(G) = k$的连通图$G$的最大尺寸，其中$n$是奇数.其次，我们讨论了完全多部图、临界图、关于色数的极小图和正则图的彩虹不连通数的界，并给出了几种特殊图的彩虹不连通数。最后，我们得到了图的彩虹不连通数的Nordhaus-Gaddum-型定理。我们证明了如果$G$和$\overline{G}$都是连通的，那么$n-2 \leq rd(G)+rd(\overline{G})\leq 2n-5$和$n-3\leq rd(G)\cdot rd(\overline{G})\leq (n-2)(n-3)$ .此外，给出了例子，表明上界是尖锐的$n\geq 6$，和下界是尖锐的$G=\overline{G}=P_4$。
2018-10-23 math.CO
Rainbow connection number and the number of blocks
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果$G$的每对顶点都由一条边具有不同颜色的路连接.将$G$的彩虹连接数$rc(G)$定义为最小整数$t$，使得存在使$G$彩虹连接的具有$t$颜色的$G$的边着色。对于没有割点的图$G$，即，对$n$阶的2连通图，证明了它是$rc(G)\leq \lceil\frac n 2 \rceil$，并且它的界是紧的.本文证明了：对于阶为$n$的连通图$G$，有割点，有$rc(G) \leq\frac{n+r-1} 2$，其中$r$是$G$的偶数阶块的个数，且其上界是紧的.此外，我们还获得了无桥图的紧上界，即，2-边连通图。
2012-11-05 math.CO
Improved bounds for rainbow numbers of matchings in plane triangulations
给定两个图$G$和$H$，用于$H$的关于$G$的{ \it彩虹数} $rb(G,H)$被定义为最小数$k$，使得$G$的任何$k$ -边着色包含彩虹$H$，即，$H$的副本，其所有边缘具有不同的颜色。用$kK_2$表示尺寸为$k$的匹配，用$\mathcal {T}_n$表示所有$n$阶平面三角剖分的类。在[S.延德罗尔·$'$岛Schiermeyer和J. Tu，Rainbow numbers for matching in plane triangulations，Discrete Math.331（2014），158- 164]，作者确定了$2\leq k \le 4$的$rb(\mathcal {T}_n, kK_2)$的精确值，并证明了$2n+2k-9 \le rb(\mathcal {T}_n, kK_2) \le 2n+2k-7+2\binom{2k-2}{3}$对于$k \ge 5$。在本文中，我们改进了上界，并证明了$rb(\mathcal {T}_n, kK_2)\le 2n+6k-16$为$n \ge 2k$和$k\ge 5$。特别地，我们证明了$rb(\mathcal {T}_n, 5K_2)=2n+1$对于$n \ge 11$。
2018-09-26 math.CO
A Rainbow Dirac's Theorem
Dirac的一个著名定理指出，任何一个在$n$顶点上且最小度至少为$n/2$的图都有一个Hamilton圈。这样的图称为狄拉克图。加强这一结果，我们证明了存在的彩虹Hamilton圈的$μn$有界染色的Dirac图充分小的$μ>0$。
2018-09-17 math.CO
Rainbow cycles in properly edge-colored graphs
本文证明了每一个平均度至少为$100(\log n)^2$的适当边着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹圈，改进了Tomon的$(\log n)^{2+o(1)}$界.我们还证明了每一个至少有$10^5 k^2 n^{1+1/k}$边的适当着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹$2k$ -圈，这改进了Janzer所得到的$2^{ck^2}n^{1+1/k}$界.我们的方法使用同态不等式和一个不平衡的正则引理也提供了一个简单的方法来证明Erdens-Simonovits过饱和定理的偶数周期，这可能是独立的利益。
2022-11-07 math.CO
Rainbow factors in hypergraphs
对于任意的$r$ -图$H$，我们考虑在具有大的最小$\ell$ -度和适当有界的边着色的$r$ -图$G$中寻找彩虹$H$ -因子的问题.我们表明，渐近程度阈值是相同的，找到一个$H$ -因素。
2018-03-28 math.CO
The 3-rainbow index and connected dominating sets
边有色图中的树称为彩虹树，如果树的两条边不具有相同的颜色。$G$的边着色称为3-彩虹，如果对于$G$中的任意三个顶点，存在一个连接它们的彩虹树. $G$的3-彩虹指数$rx_3(G)$被定义为$G$的3-彩虹着色中所需的颜色的最小数量。这一概念由Chartrand等人提出，可以被看作是彩虹连接的一种概括。本文利用连通三向控制集和3-控制集研究了3-彩虹指标。我们证明了对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$3\leqδ\leq5$），$rx_{3}(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+4$，并且其界紧到一个加法常数;而对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$δ\geq3$），我们得到$rx_{3}(G)\leq n\frac{ln(δ+1)}{δ+1}(1+o_δ(1))+5$ .此外，我们还对一些特殊的图类，包括阈值图、链图和区间图，得到了3-彩虹指数的一些紧上界。
2014-04-14 math.CO
Upper bounds involving parameter $σ_2$ for the rainbow connection
对于图$G$，我们定义了$σ_2(G)=min \{d(u)+d(v)| u,v\in V(G), uv\not\in E(G)\}$，或者简单地用$σ_2$表示。一个边着色图是彩虹边连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接，这是由Chartrand等人提出的。连通图$G$的彩虹连通，记作$rc(G)$，是使$G$彩虹边连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rc(G)\leq 6\frac{n-2}{σ_2+2}+7$ .此外，通过Caro等人提出的一个构造，可以看出该界对加性因子是紧的。Krivelevich和Yuster最近引入的一个顶点着色图是彩虹顶点连通的，如果任何两个顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路连接。连通图$G$的彩虹顶点连通度，用$rvc(G)$表示，是为了使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rvc(G)\leq 8\frac{n-2}{σ_2+2}+10 $对于$2\leq σ_2\leq 6, σ_2\geq 28 $，而对于$ 7 \leq σ_2\leq 8, 16\leq σ_2\leq 27$，$ rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+10$，以及对于$9 \leq σ_2\leq 15, rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+A…
2011-01-17 math.CO
Rainbow number of matchings in regular bipartite graphs
给定一个图$G$和$G$的一个子图$H$，设$rb(G,H)$是使$G$的任意边染色都有彩虹子图$H$的最小数$r$。数$rb(G,H)$称为$H$相对于$G$的彩虹数。将$mK_2$表示为$m$和$B_{n,k}$的大小匹配，$k$ -正则二部图，具有二划分$(X,Y)$，使得$|X|=|Y|=n$和$k\leq n$。本文给出了$rb(B_{n,k},mK_2)$的上、下界，并证明了对于给定的$k$和$m$，如果$n$足够大，则$rb(B_{n,k},mK_2)$可以达到下界.我们还确定了路径和循环中匹配的彩虹数。
2007-11-19 math.CO
Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs
证明了边着色拟随机图到彩虹生成结构的近似分解的几个结果。更确切地说，我们说，一个图的边着色是局部$\ell$ -有界的，如果没有顶点是事件的任何给定的颜色超过$\ell$边，它是（全球）$g$ -有界的，如果没有颜色出现超过$g$次着色。注意，$n$ -顶点图的每一个真着色都是局部$1$ -有界的，并且（全局）是$n/2$ -有界的.我们的结果表明：（i）边色$K_n$的彩虹几乎生成圈的近似分解的存在性，只要边色是$\frac{n}{2}$ -有界的和局部$o(n)$ -有界的. (ii)证明了边色$K_n$到彩虹Hamilton圈的近似分解的存在性，只要边色是$(1-o(1))\frac n2$ -有界的和局部$o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$ -有界的. (iii)我们的结果的二分版本意味着每个$n\times n$阵列，其中每个符号出现$(1-o(1))n$次，并出现在每行或每列只有$o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$次，有一个近似的分解成完整的横截。我们还证明了类似物（i）和（ii）的$F$ -因子，其中$F$是任何固定的图。除了（ii）中的对数因子外，所有这些界限基本上都是最佳可能的。(i)可以看作是最近的结果的推广Alon，Pokrovskiy和Sudakov，谁显示了存在一个几乎生成圈在适当的颜色完全图。（i）和（…
2019-09-28 math.CO
Good upper bounds for the total rainbow connection of graphs
全着色图是一个图$G$，使得$G$的所有边和所有顶点都是着色的.全着色图$G$中的一条路是全彩虹路，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色。一个全着色图$G$是全彩虹连通的，如果$G$的任意两个顶点由$G$的全彩虹路连通。$G$的总彩虹连接数，用$trc(G)$表示，定义为使$G$全彩虹连接所需的最小颜色数。这些概念是由Liu等人引入的。注意，对于连通图$G$，$2diam(G)-1\leq trc(G)\leq 2n-3$，其中$diam(G)$表示$G$的直径，$n$是$G$的阶。本文证明了，对于$n$阶连通图$G$，若$G$的最小度为$δ$，则$trc(G)\leq6n/{(δ+1)}+28$为$δ\geq\sqrt{n-2}-1$，$n\geq 291$，$trc(G)\leq7n/{(δ+1)}+32$为$16\leqδ\leq\sqrt{n-2}-2$，$trc(G)\leq7n/{(δ+1)}+4C(δ)+12$为$6\leqδ\leq15$，其中$C(δ)=e^{\frac{3\log(δ^3+2δ^2+3)-3(\log3-1)}{δ-3}}-2$ .这意味着当$δ$与$n$成线性时，则总彩虹数$trc(G)$是常数。我们还表明，$trc(G)\leq 7n/4-3$为$δ=3$，$trc(G)\leq8n/5-13/5$为$δ=4$和$trc(G)\leq3n/2-…
2015-01-08 math.CO
On $k$-rainbow independent domination in graphs
本文在图$G$上定义了一个新的控制不变量，它与广义棱柱$G \Box K_k$的普通独立控制数一致，称为$k$ -彩虹独立控制数，记为$γ_{{\rm ri}k}(G)$ .确定了关于这个控制概念的一些界和精确值。作为主要结果，我们证明了关于$2$ -彩虹独立控制数和的Nordhaus-Gaddum型定理，并证明了如果G是$n \geq 3$阶图，则$5\leq γ_{{\rm ri}2}(G)+γ_{{\rm ri}2}(\overline{G})\leq n+3$，且两个界都是尖锐的.
2017-09-26 math.CO
Rainbow Turán Methods for Trees
彩虹图兰数是传统图兰数的自然扩张，由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte在2007年提出。图$H$的彩虹Turán数，$ex^{*}(n,H)$，是$n$顶点图$G$的最大边数，它可以被适当地边着色而没有彩虹$H$子图.我们探索减少方法找到彩虹图兰数的上界，并使用此通知结果的彩虹图兰数的双星，毛毛虫，和完美的二叉树。此外，我们还定义了$k$ -唯一着色和相关的$k$ -唯一图兰数.我们提供了这个新的变种上的经典问题的初步结果。
2022-03-25 math.CO
A better bound on the size of rainbow matchings
Aharoni和Howard证明了，对于正整数$n,k,t$与$n\ge k$和$n\ge t$，如果$F_1,\ldots, F_t\subseteq {[n]\choose k}$使得$|F_i|>{n\choose k}-{n-t+1\choose k}$对于$i\in [t]$，则存在$e_i\in F_i$对于$i\in [t]$使得$e_1,\ldots,e_t$是成对不相交的。Huang、Loh和Sudakov为$t<n/(3k^2)$证明了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想成立的$t\le n/(2k)$和$n$足够大。
2021-02-19 math.CO
Oriented diameter and rainbow connection number of a graph
无桥图$G$的定向直径是$\min\{diam(H)\ | H\ is\ an orientation\ of\ G\}$。边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是指$G$存在$k$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路相连的最小整数$k$.本文利用$rad(G)$和$η(G)$得到了图的定向直径和彩虹联系数的上界.其中，$rad(G)$是$G$的半径，$η(G)$是使得$G$的每条边都包含在长度至多为$η(G)$的循环中的最小整数。我们还得到了（二部）图$G$的定向直径和彩虹连接数的常数界，它们是由$G$的最小度决定的.
2011-12-05 math.CO
Rainbow connection number of dense graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。在本文中，我们表明，$rc(G)\leq 3$，如果$|E(G)|\geq {{n-2}\choose 2}+2$，和$rc(G)\leq 4$，如果$|E(G)|\geq {{n-3}\choose 2}+3$。这些界限很清晰。
2011-10-26 math.CO
Bounded degree graphs and hypergraphs with no full rainbow matchings
本文通过构造特定边染色的多超图，证明了全彩虹匹配定理的最优性，并推翻了相关猜想，同时展示了颜色度推广的Galvin定理不成立。
2025-12-18 math.CO
Two rainbow connection numbers and the parameter $σ_k(G)$
图$G$的彩虹连通数$rc(G)$和彩虹点连通数$rvc(G)$分别由Chartrand等人和Krivelevich和Yuster引入。关于最小程度$δ$的良好上限由Reynran等人报道，克里维列维奇和尤斯特，还有李和史。然而，如果一个图有一个小的最小度$δ$和大量的顶点$n$，这些上界是非常大的，在$n$中是线性的。因此，人们可能会考虑寻找一个好的参数来取代$δ$，并显着降低上限。这样一个自然参数就是$σ_k$。本文对彩虹连通数证明了：若$G$是$n$阶连通图，且$k$是独立顶点，则$rc(G)\leq 3k\frac{n-2}{σ_k+k}+6k-4$ .对于彩虹顶点连接数，证明了$rvc(G)\leq \frac{(4k+2k^{2})n}{σ_k+k}+5k $当$σ_k\leq 7k$和$σ_k\geq 8k$，$rvc(G)\leq \frac{(\frac{38k}{9}+2k^{2})n}{σ_k+k}+5k$当$7k<σ_k< 8k$ .给出的例子表明，我们的界限是远远优于现有的，即，对于这些例子，$δ$非常小，但$σ_k$非常大，并且边界是$rc(G)< 9k-3$和$rvc(G)\leq 9k+2k^{2}$或$rvc(G)\leq\frac{83k}{9}+2k^{2}$，这意味着$rc(G)$和$rvc(G)$都可以由来自我们的上界的常数来上界，但是在$…
2011-03-21 math.CO
Rainbow spanning trees in properly coloured complete graphs
本文研究了正常边着色完全图中的成对边不相交彩虹生成树，其中如果图的边具有不同的颜色，则该图是彩虹图。Brualdi和Hollingsworth证明了每一个用$n-1$颜色适当地边着色的$K_n$都有$n/2$边不相交的彩虹生成树。Kaneko、Kano和Suzuki后来建议，这应该适用于每一个边缘颜色合适的$K_n$。改进以前最好的已知的界限，我们表明，每一个正确的边着色$K_n$包含$Ω(n)$成对边不相交的彩虹生成树。Pokrovskiy和Sudakov最近独立地证明了每一个正确的边着色的$K_n$都包含$Ω(n)$同构的成对边不相交的彩虹生成树。
2017-04-24 math.CO
Rainbow independent sets on dense graph classes
给定图中的独立集族$\mathcal{I}$，彩虹独立集是独立集$I$，使得存在注入$ϕ\colon I\to \mathcal{I}$，其中对于每个$v\in I$，$v$包含在$ϕ(v)$中。Aharoni、Briggs、J. Kim和M.某些图类中的Kim [Rainbow]独立集。arXiv：1909.13143]针对各种图类$\mathcal{C}$确定$\mathcal{C}$是否满足以下性质：对于每个$n$，存在$N=N(\mathcal{C},n)$，使得$\mathcal{C}$中的图中的大小为$n$的$N$独立集的每个族包含大小为$n$的彩虹独立集。在本文中，我们增加了两个稠密的图类满足这一性质，即有界邻域多样性的图类和有界扩张类中的$r$ -权力的图类。
2021-04-09 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for rainbow triangles
证明了不含彩虹三角形的n个顶点的完全图的边的每一个3-着色都包含一个至多使用两种颜色的阶为Omega（n^{1/3}log^2 n）的集合，并且这个界是紧到常数因子的.这验证了Hajnal的猜想，这是著名的Erdens-Hajnal猜想的一个推广。我们进一步建立了这个结果的推广。对于固定的正整数s和r，其中s最多为r，我们确定一个常数c_{r,s}，使得以下成立。不含彩虹三角形的n个顶点上的完全图的边的每一个r-染色都包含一个至多使用s个颜色的阶Omega（n^{r（r-1）/s（s-1）}（\log n）^{ c_{r,s} }）的集合，并且除了隐含的常数因子外，这个界是紧的.下界的证明利用了Gallai对完全图的彩虹三角形自由边着色的分类，Ramsey定理的一个新的加权扩展，以及边加权图中的一个差异不等式。上界的证明使用Erdans关于Ramsey数的下界，考虑没有大单色团的完全图的2-边着色的字典积。
2013-03-12 math.CO
Rainbow Saturation
我们引入了彩虹饱和度的概念和相应的彩虹饱和数。这是彩虹图兰数的饱和版本，其系统研究由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte发起。我们给出的例子的图的彩虹饱和数是有界远离普通的饱和数。这包括$n\geq 4$的所有完全图$K_n$和几个二部图。值得注意的是，存在非二部图，这是这种情况，因为当涉及到彩虹极值数与传统极值数时，这不会发生。我们还表明，饱和数是线性的一大类图，提供了一个部分彩虹类似的一个著名的定理Kásonyi和Tuza。最后，我们提出了相关的开放性问题和建议。
2022-03-28 math.CO
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
2020-08-06 math.CO
