Vicsek 电缆系统上拟 Riesz 变换的逆向不等式
Reverse inequalities for quasi-Riesz transform on the Vicsek cable system
AI总结：
本文研究无界 Vicsek 电缆系统中的逆向拟 Riesz 不等式，刻画其在 γ∈(0,1)、p∈(1,∞) 下近乎完整的成立范围，并关联拟 Riesz 变换的 Lp 有界性。
摘要：
本工作致力于在某些分形式电缆系统的背景下研究所谓的“逆向 Riesz”不等式及其适当变体。L. Chen、T. Coulhon、J. Feneuil 和第二作者已经证明，在 Vicsek 电缆系统中，不等式 $\left\Vert Δ^{1/2}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$ 对所有 $p\in [1,2)$ 均不成立。根据两位作者与 M. Yang 最近的一篇合著论文，我们在（无界的）Vicsek 电缆系统中，针对 $p\in (1,+\infty)$ 和 $γ>0$，考察形如 $\left\Vert Δ^γe^{-Δ}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$ 的“逆向拟 Riesz”不等式的有效性。这些逆向不等式与算子 $\nabla e^{-Δ}Δ^{-\varepsilon}$ 的 $L^p$ 有界性问题密切相关；该算子即由 L. Chen 在其博士论文中引入的、所谓（在无穷远处的）“拟 Riesz 变换”。我们的主要结果是对使逆向拟 Riesz 不等式在 Vicsek 电缆系统中成立的 $γ\in (0,1)$ 与 $p\in (1,+\infty)$ 的参数集合给出了近乎完整的刻画。研究其他电缆系统或由其构造的流形上的逆向拟 Riesz 不等式仍是一个开放问题。
英文摘要：
This work is devoted to the study of so-called ``reverse Riesz'' inequalities and suitable variants in the context of some fractal-like cable systems. It was already proved by L. Chen, T. Coulhon, J. Feneuil and the second author that, in the Vicsek cable system, the inequality $\left\Vert Δ^{1/2}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$ is false for all $p\in [1,2)$. Following a recent joint paper by the two authors and M. Yang, we examine the validity of ``reverse quasi-Riesz'' inequalities, of the form $\left\Vert Δ^γe^{-Δ}f\right\Vert_p\lesssim \left\Vert \nabla f\right\Vert_p$, in the (unbounded) Vicsek cable system, for $p\in (1,+\infty)$ and $γ>0$. These reverse inequalities are strongly related to the problem of $L^p$ boundedness of the operators $\nabla e^{-Δ}Δ^{-\varepsilon}$, the so-called ``quasi-Riesz transforms'' (at infinity), introduced by L. Chen in her PhD thesis. Our main result is an almost complete characterization of the sets of $γ\in (0,1)$ and $p\in (1,+\infty)$ such that the reverse quasi-Riesz inequality holds in the Vicsek cable system. It remains an open question to investigate reverse quasi-Riesz inequalities for other cable systems, or for manifolds built out of these.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
