关于两两交换置换的 $\ell$ 元组的一个模 $3$ 性质
On a mod $3$ property of $\ell $-tuples of pairwise commuting permutations
AI总结：
本文研究归一化的两两交换置换 $\ell$ 元组计数序列，证明当 $\ell$ 足够大时其关于 $n$ 的对数凹性由 $n$ 模 $3$ 决定，并联系 orbifold 示性数、覆盖计数与群同态计数。
摘要：
令 $S_n$ 表示作用在 $n$ 个元素上的置换对称群。我们研究双重序列 $\{N_{\ell}(n)\}$，该序列计数对称群 $S_n$ 中各分量两两交换的元素的 $\ell$ 元组数量，并以 $S_n$ 的阶作归一化。我们的重点是考察其关于 $n$ 的对数凹性：$$N_{\ell}(n)^2-N_{\ell}(n-1)\\,N_{\ell}(n+1)\geq 0。$$我们证明，当 $\ell$ 足够大时，这取决于 $n\pmod{3}$。Bryan 和 Fulman 将这些数作为第 $n$ 个 orbifold 示性数加以研究，推广了 Macdonald 以及 Hirzebruch--Hofer 关于对称积的普通 Euler 示性数与弦论 Euler 示性数的工作。值得注意的是，$N_2(n)$ 表示分拆数 $p(n)$，而 $N_3(n)$ 表示 Liskovets 和 Medynkh 所研究的环面的不等价 $n$ 叶覆盖数。这些数也出现在代数中，因为 $|S_n|\\,N_{\ell}(n)=\left|Hom\left(\mathbb{Z}^{\ell},S_n\right)\right|$。
英文摘要：
Let $S_n$ denote the symmetric group of permutations acting on $n$ elements. We investigate the double sequence $\{N_{\ell}(n)\}$ counting the number of $\ell$ tuples of elements of the symmetric group $S_n$, where the components commute, normalized by the order of $S_n$. Our focus lies on exploring log-concavity with respect to $n$: $$ N_{\ell}(n)^2 - N_{\ell}(n-1) \,\, N_{\ell}(n+1) \geq 0.$$ We establish that this depends on $n \pmod{3}$ for sufficiently large $\ell$. These numbers are studied by Bryan and Fulman as the $n$th orbifold characteristics, generalizing work of Macdonald and Hirzebruch--Hofer concerning the ordinary and string-theoretic Euler characteristics of symmetric products. Notably, $N_2(n)$ represents the partition numbers $p(n)$, while $N_{3}(n)$ represents the number of non-equivalent $n$-sheeted coverings of a torus studied by Liskovets and Medynkh. The numbers also appear in algebra since $ \vert S_n \vert \,\, N_{\ell}(n) = \left\vert Hom \left( \mathbb{Z}^{\ell},S_n\right) \right\vert $.
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