Structure-preserving Lift & Learn: Scientific machine learning for nonlinear conservative partial differential equations
Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University of California San Diego, CA, United States（机械与航空航天工程系，加州大学圣地亚哥分校）
本文提出了一种用于非线性守恒偏微分方程的科学机器学习方法，通过能量二次化策略和混合学习方法，高效学习保持结构的二次降阶模型。
2026-01-08 cs.LG cs.NA math.NA
Reduced order modelling of nonlinear cross-diffusion systems
在这项工作中，我们提出了一个降阶模型的非线性交叉扩散问题的人口动力学，Shigesada-Kawasaki-Teramoto（SKT）方程与Lotka-Volterra动力学。SKT方程在空间中的有限差分离散化的结果是一个系统的线性-二次常微分方程（ODE）。降阶模型（ROM）具有与全阶模型（FOM）相同的线性二次结构。使用ROM的线性二次结构，降阶解的计算独立于具有适当正交分解（POD）的完整解。应用张量POD进一步加快了约化解的计算速度。SKT方程斑图的形成包括一个快速的瞬态阶段和一个长的稳态阶段。通过将时间分成两个时间间隔来计算降阶解。在数值实验中，我们证明了一维和二维SKT方程的图案形成，在时间窗口的形式，即，主分解框架（P-POD），是更准确的整体POD解决方案（G-POD）在整个时间间隔内获得。此外，我们还通过数值方法证明了约化解对熵的减少，这对于非线性交叉扩散方程（如SKT方程）的整体存在性是很重要的。
2021-02-08 cs.NA math.NA
Physics-informed regularization and structure preservation for learning stable reduced models from data with operator inference
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
算子推理从高维物理系统的轨迹中学习具有多项式非线性项的低维动态系统模型（非侵入式模型简化）。这项工作的重点是大类的物理系统，可以很好地描述的模型与二次非线性项，并提出了一个正则化算子的推理，诱导二次模型的稳定性偏差。所提出的正则化器是物理学的，在这个意义上，它惩罚具有大范数的二次项，因此显式地利用了由底层物理给出的二次模型形式。这意味着所提出的方法明智地从数据和物理见解的结合中学习，而不是单独从数据或物理学中学习。此外，提出了一种算子推理的公式，该公式强制执行模型约束，以保持线性项中的对称性和确定性等结构。数值结果表明，即使在不使用正则化或Tikhonov正则化导致模型不稳定的情况下，使用算子推理和所提出的正则化和结构保持学习的模型也是准确和稳定的。
2021-07-06 cs.LG cs.NA math.NA
Operator inference for non-intrusive model reduction with quadratic manifolds
提出了一种从高维数据中学习数据驱动的二次流形的新方法，然后利用该二次流形导出高效的基于物理的降阶模型。该方法的关键成分是高维状态和低维嵌入之间的多项式映射。该映射由两部分组成：线性子空间中的表示（在本工作中使用适当的正交分解计算）和二次分量。该方法可以被看作是一种形式的数据驱动的闭包建模，因为二次分量将方向引入到位于线性子空间的正交补中的近似中，但不向低维表示引入任何额外的自由度。将二次流形近似与基于投影的模型降阶算子推理方法相结合，提出了一种可扩展的非侵入式动力系统降阶模型学习方法.将新方法应用于运输主导的偏微分方程系统，说明了在线性子空间中近似可以实现的效率增益。
2022-12-26 cs.NA math.NA
Reduced-order modeling for Ablowitz-Ladik equation
本文针对Ablowitz-Ladik方程（含/不含阻尼）构建保持哈密顿结构（POD-Galerkin+DEIM+张量加速）的降阶模型，实现孤子解的长期稳定模拟。
2025-06-19 cs.NA math.NA
Fast Quadratic Manifold Learning For Nonlinear Dimensionality Reduction in Large-scale Systems using Riemannian Optimization
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）
提出FastQM方法，将二次流形学习中的最优基选择转化为Stiefel流形上的连续优化问题，通过旋转约简基实现坐标对齐，并利用特征空间公式使优化成本与全状态空间维度无关，在湍流翼型尾流大涡模拟中验证了有效性。
2026-05-26 cs.NA math.NA
Two classes of quadratic vector fields for which the Kahan discretization is integrable
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）；Massey University（梅西大学）；La Trobe University（拉筹伯大学）
通过Kahan离散化简化Nahm方程，获得两类可积映射，揭示了特定二次向量场的可积性条件
2017-01-31 cs.NA math.NA
Operator inference with roll outs for learning reduced models from scarce and low-quality data
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Siemens Industrial Software GmbH（西门子工业软件有限责任公司）
数据驱动建模已经成为计算科学和工程中的关键构件。然而，科学和工程领域的可用数据通常很少，经常受到噪声污染，并受到测量误差和其他扰动的影响，这使得学习系统的动态具有挑战性。在这项工作中，我们建议通过操作员推理将数据驱动的建模与通过神经常微分方程的推出进行动态训练相结合。具有推出的操作员推理继承了传统操作员推理的可解释性，可扩展性和结构保留，同时利用多个时间步长上通过推出的动态训练来提高从低质量和噪声数据中学习的稳定性和鲁棒性。用描述浅水波和表面准地转动力学的数据进行的数值实验表明，即使数据在时间上被稀疏采样并且被高达10%的噪声污染，操作员对滚动的推断也可以从训练轨迹提供预测模型。
2022-12-02 cs.LG cs.NA math.NA
Advances in Reduced Order Methods for Parametric Industrial Problems in Computational Fluid Dynamics
SISSA, International School of Advanced Studies（国际高等研究院）
本文总结了降阶方法在计算流体力学中的应用进展，包括本征正交分解和降阶基方法的改进，以及动态模态分解和参数空间缩减的最新发展。
2018-11-20 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Beyond linear subspaces: Nonlinear moment matching meets quadratic manifolds
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出一种与系统无关、无需优化的二次投影矩阵构造框架，结合非线性矩匹配与二次流形，在输运主导基准问题中实现高保真轨迹重构并节省在线计算量。
2026-08-21 cs.NA math.NA math.OC
POD-Galerkin Model Order Reduction for Parametrized Time Dependent Linear Quadratic Optimal Control Problems in Saddle Point Formulation
本文将受偏微分方程约束的参数化时间依赖最优控制问题重构为鞍点形式，提出基于POD-Galerkin的时空降阶方法，并通过Graetz流和Stokes方程实验验证其高效性。
2020-05-06 cs.NA math.NA
Entropy-Stable Model Reduction of One-Dimensional Hyperbolic Systems using Rational Quadratic Manifolds
本文提出在非线性降阶流形上构造熵稳定降阶模型的方法，通过局部丰富切空间保证精度，并推广至有理多项式流形，在多个双曲方程实验中验证了改进的结构保持性和精度。
2024-07-17 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Quadratic Optimization with Orthogonality Constraints: Explicit Lojasiewicz Exponent and Linear Convergence of Line-Search Methods
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
矩阵最优化问题的一个基本类别出现在许多领域的科学和工程是二次优化与正交约束。这样的问题可以解决使用线搜索法的Stiefel流形，这是已知的全局收敛条件下温和的。为了确定这些方法的收敛速度，我们给出了一个明确的估计指数的Lojasiewicz不等式的（非凸）集的临界点的上述类问题。通过结合这样的估计与已知的参数，我们能够建立一个大类的线搜索法的线性收敛。在我们的证明中的一个关键步骤是建立一个局部误差界的临界点，这可能是独立的利益。
2015-10-05 cs.LG cs.NA math.NA
Multi-view Bayesian optimisation in an input-output reduced space for engineering design
University of Cambridge（剑桥大学）
本文提出了一种基于多视图学习的贝叶斯优化方法，通过降维空间提升工程设计中的优化效率。
2025-12-03 cs.NA math.NA stat.AP
Energy-Preserving Reduced Operator Inference for Efficient Design and Control
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
针对能量保持二次算子的PDE，提出能量保持算子推断（EP-OpInf）方法，通过约束优化在降阶模型中保留能量结构，实现高效准确的多查询设计与控制。
2024-02-07 cs.LG cs.NA math.DS
Craig-Bampton-based Quadratic Manifold for Nonlinear Substructuring
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出一种非线性扩展的 Craig-Bampton 方法，通过构造二次降阶流形，有效捕捉几何非线性效应，保持模拟能量一致性和计算效率。
2026-04-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Symplectic model reduction of Hamiltonian systems using data-driven quadratic manifolds
University of California San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）；University of Twente（屯特大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）；University of Texas at Austin（得克萨斯大学奥斯汀分校）
针对高维哈密顿系统线性辛模型降阶基规模大的问题，提出两种基于数据驱动二次流形的辛降阶方法，通过引入二次项提升低维表征能力，外推预测精度优于线性辛降阶模型。
2023-08-24 cs.LG cs.NA math-ph
Complexity reduction of large-scale stochastic systems using linear quadratic Gaussian balancing
本文针对可稳可检测的大规模随机系统，提出基于线性二次高斯平衡的模型降阶方法，利用Gramian识别主导子空间构建降阶模型，证明其保留关键特性并给出先验误差准则，通过数值实验验证。
2023-11-06 cs.NA math.NA math.OC
Nonlinear Model Order Reduction on Quadratic Manifolds via Greedy Algorithms with Dimension-Dependent Regularization
Shanghai University（上海大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）
本文提出一种改进的二次流形方法，结合双贪心算法和物理参数贪心算法，平衡降阶模型的精度与稳定性，提升计算效率。
2026-03-26 cs.NA math.NA
Model Reduction For Parametrized Optimal Control Problems in Environmental Marine Sciences and Engineering
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；National Institute of Oceanography and Experimental Geophysics（海洋学与实验地球物理学国家研究所）
本文提出了一种降阶方法，用于解决由偏微分方程 governed 的参数化最优控制问题，应用于环境海洋科学与工程。通过引入一般的参数化线性二次最优控制问题及其最优系统的鞍点结构，提出了一种POD-Galerkin降阶方法，并在两个环境应用中测试了该方法：意大利特里este湾的污染物控制和大西洋海洋动态的准地转方程的解跟踪。
2018-04-06 cs.NA math.NA math.OC
Tree-based solution representations for quadratic bilinear systems and their consequences in model order reduction
University of Rostock（罗斯托克大学）
研究二次双线性系统，提出基于树的解表示框架，分解解为耦合双线性子系统，给出全局解存在条件等。基于此引入相关Gram矩阵，开发平衡截断方法并证明误差界，填补了此类系统Gram矩阵模型降阶分析的理论空白。
2026-07-10 cs.NA math.NA math.OC
Reduced order models from computed states of physical systems using non-local calculus on finite weighted graphs
基于偏微分方程的初边值问题和边值问题的数值解框架已经达到了高度的复杂性。这些方法应用于广泛的物理学，最终目标是实现工程解决方案，包括一系列利用求解器技术和高性能计算的时空离散化技术。虽然使用这些方法可以实现高保真解决方案，但它们的计算成本和复杂性很高。具有数十亿个未知解的系统现在是常规的。费用和复杂性不适合典型的工程设计和决策，而必须依赖于降阶模型。在这里，我们提出了一种降阶建模的方法，该方法建立在最近的图论工作的基础上，用于表示、探索和分析物理系统的计算状态（Banerjee等人，比较方法应用机械工程师，351，501-530，2019）。我们扩展了非局部演算有限加权图建立这样的模型，利用一阶动力学，多项式展开，泰勒级数。一些方面的非本地演算相关的模型的一致性进行了探讨。详细的数值实现和软件库，已开发的非本地演算图上进行了说明。最后，我们提出的应用程序的例子，以各种数量的机械化学系统的利益。
2021-05-09 cs.CE cs.NA math.NA
A Quadratic Order Reduction -- Gaussian Process Ordinary Differential Equation framework for the inference of Large Continuous Dynamical Systems
SISSA（的里雅斯特社会科学高等学院）；University of Palermo（巴勒莫大学）
提出结合高斯过程与二次降阶的框架，实现复杂动力系统的高精度、稳定预测与不确定性量化。
2026-06-12 cs.NA math.NA stat.ML
