Vertex Splitting, Coincident Realisations and Global Rigidity of Braced Triangulations
本文给出了Jordan和Tanigawa的一个结果的一个简短证明：一个以生成平面三角剖分为真子图的4-连通图在R^3中是一般全局刚性的。我们的证明是基于一个新的充分条件，所谓的顶点分裂操作，以保持一般的整体刚性R^d。
2022-03-21 math.CO
Angular constraints on planar frameworks
本文研究基于斜率数据的角约束系统，探讨其在何种条件下是刚性的，并通过矩阵方法提出精确的必要条件和特殊情形的组合学刻画。
2026-04-24 math.CO math.MG
Generic combinatorial rigidity of periodic frameworks
给出了平面周期框架类属最小刚度的组合刻画。该特征是一个真正的模拟麦克斯韦-拉曼定理从刚性理论：它是在一个有限的组合对象和条件是检查多项式时间的组合算法。为了证明我们的刚性定理，我们引入并发展了周期方向网络和Z 2-分次稀疏有色图。
2012-10-23 math.CO math.GT
Planar Minimally Rigid Graphs and Pseudo-Triangulations
点伪三角剖分是嵌入在平面中的具有点顶点的平面最小刚性图（邻近大于180度的角）。在本文中，我们证明了相反的说法也是正确的，即平面极小刚性图总是承认点嵌入，即使在某些自然的拓扑和组合约束。我们提供了两个证明，都产生有效的嵌入算法。一个是基于组合刚性理论的Henneberg归纳结构，另一个是基于Tutte的重心嵌入到有向图的推广。
2003-07-25 math.CO math.MG
Pseudo-Triangulations - a Survey
伪三角形是具有三个凸顶点的简单多边形，而伪三角剖分是将平面区域面对面平铺成伪三角形。伪三角剖分在计算几何中作为数据结构出现，在刚性理论中作为平面杆-关节框架出现，在局部凸曲面上作为投影出现。这一调查目前的文献包括组合性质和计数的特殊类，刚性理论的结果，表示为多面体，直线图纸从抽象版本称为组合伪三角，算法和应用程序的伪三角。
2007-10-17 math.CO math.MG
Rigidity of polytopes with edge length and coplanarity constraints
Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；Lancaster University（兰卡斯特大学）；Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences（马普科学数学研究所）
研究了在保持边长和面平面性的情况下多面体的灵活性，并证明了三维凸多面体在通用情况下的刚性
2026-03-09 cs.DM math.CO math.MG
Square roots of nearly planar graphs
本文证明判定图是否为6-apex图的平方属于NP难问题，揭示稀疏图乃至真次图闭包类图的平方根问题不可处理。
2023-07-13 cs.DM math.CO
Bar 1-Visibility Graphs and their relation to other Nearly Planar Graphs
一个图被称为一个强（或。弱）条1-可见性图，如果其顶点可以被表示为平面中的水平段（条），使得其边缘全部（分别顶点对的子集），这些顶点对的条具有连接它们的$ε$粗垂直线，该垂直线至多与另一条相交。我们探讨了弱（分别）之间的关系。强）棒1-可见性图和其他近平面图类。特别是，我们研究了它们的关系1-平面图，这有一个图纸，最多有一个交叉每边;准平面图，这有一个图纸，没有三个相互交叉的边缘;平面1-流网络的平方，这是向上有向图与在或出度最多为1。我们的主要结果是，1-平面图和平面1-流网络的（无向）平方是弱棒1-可见性图，这些是准平面图。
2013-12-19 cs.CG cs.DS math.CO
On torsional rigidity and ground-state energy of compact quantum graphs
我们开发的理论的扭转刚度-一个数量经常考虑的Dirichlet Laplacians有界平面域-Laplacians度量图至少有一个Dirichlet顶点。使用变分表征，可以追溯到波利亚，我们开发的外科手术原则，反过来，使我们能够证明等周型不等式：因此，我们可以比较扭转刚度的一般度量图的区间相同的总长度。在科勒-乔宾不等式的精神下，我们还得到了量子图的基态能量在其扭转刚度方面的严格界限：这是特别有吸引力的，因为计算扭转刚度简化为求逆矩阵，其大小是图的顶点数，因此比计算特征值容易得多。
2022-08-19 math.AP math.CO math.SP
The excluded minor structure theorem with planarly embedded wall
一个图几乎是嵌入在一个表面，如果它是由图$G_0$，嵌入在表面上，连同有界数量的涡没有大的交易。它表明，每一个大的墙（或网格子）在几乎嵌入图，其中许多行相交的嵌入子图$G_0$的近嵌入，包含一个大的子墙是平面嵌入在$G_0$。这个结果提供了一些隐藏的细节需要一个强版本的Robertson和Seymour的排除子定理，如[K。河原林，B. Mohar，图子式理论的一些最新进展和应用，图组合。23（2007）1-46]。
2009-10-17 math.CO
Rigid Components of Random Graphs
平面刚性问题的问题是，给定n个未知点的集合P之间的m个成对距离的集合，是否有可能重建P，直到可能性的有限集（平面的模刚性运动）。著名的麦克斯韦-拉曼定理从刚性理论说，一般来说，刚性问题有一个组合的答案：潜在的组合结构必须包含一个生成最小刚性图（拉曼图）。在系统不是刚性的情况下，它的包含式最大刚性子结构（刚性分量）也可以通过麦克斯韦-拉曼定理组合地表征，并且可以有效地找到。物理学家们已经利用平面组合刚性来研究网络玻璃中液体和固体之间的相变。该方法是通过随机过程生成图，然后通过实验分析其刚度特性。特别令人感兴趣的是最大刚性部件的尺寸。本文研究了Erdos-Renyi随机图G（n，p）中刚性分支的出现问题.我们的第一个结果是，对于所有c>0，几乎肯定所有刚性分支的尺寸为2，3或Ω（n）。我们还表明，对于c>4，几乎肯定最大的刚性组件的大小至少为n/10。虽然G（n，p）模型比物理学文献中出现的模型简单，但这些结果是这种类型的第一个，其中分布是在n个顶点上的所有图上的，并且预期的边数是O（n）。
2008-12-04 cs.CG math.CO
Generic 3-connected planar constraint systems are not soluble by radicals
我们证明了平面可嵌入3-连通CAD图是一般不可解的。CAD图形表示欧几里德平面上的点的配置，它们之间的距离尺寸刚好足以确保刚性。形式上，CAD图是最大独立图，即满足顶点-边计数2 v- 3 = e以及每个子图的相应不等式的图。本文的主要定理解决了欧文在平面情形下的一个猜想。设G是一个顶点数大于3的极大独立3连通可平面图，G中的边具有可实现的类属维数，其中包含一个归一化的单位长度（基）边.然后，对于平面上这些维度的任何解配置，当基边顶点位于有理点时，并非所有顶点的坐标都位于维度域的根延拓中。
2003-11-04 math.AC math.CO
A note on nearly Platonic graphs with connectivity one
一个k-正则可平面图G当除一个面外其余面度数相同而其余面度数不同时称为近柏拉图图.我们表明，没有这样的图的连通性可以存在。这补充了Keith，Froncek和Kreher最近关于2-连通近柏拉图图不存在的结果。
2020-06-11 math.CO
Combinatorial and Geometric Properties of Planar Laman Graphs
拉曼图自然出现在结构力学和刚性理论中。具体来说，他们的特点是最低限度的刚性平面杆和关节系统，这是经常需要在机器人技术，以及在分子化学和聚合物物理。本文介绍了平面Laman图的三种新的组合结构：角结构、角标号和边标号。后两种结构与极大可平面图的Schnyder实现子有关。证明了平面Laman图是一类角结构为树的图，称之为角树，并且每个角树都有一个对应的同位角标号和边标号.使用这些强大的组合结构的组合，我们表明，每个平面拉曼图有一个L-接触表示，即平面拉曼图是轴对齐的L-形状的接触图。此外，我们表明，平面拉曼图及其子图是唯一的图，可以表示这种方式。我们提出了有效的算法，计算，为每个平面拉曼图G，角树，角标签，边标签，并最终的L-接触表示的G。总的运行时间是O（n^2），其中n是G的顶点数，并且L-接触表示在n × n网格上实现。
2012-09-28 cs.DM cs.DS math.CO
Absence of $1$-Nearly Platonic Graphs
一个$t$ -近似柏拉图图是一个有限的、连通的、正则的、简单的可平面图，其中除了恰好$t$个数之外，所有的面都具有相同的长度。证明了不存在2-连通$1$ -近柏拉图图。本文证明了不存在$1$ -近柏拉图图。
2020-03-07 math.CO
A note on nearly platonic graphs
几乎柏拉图图是k-正则的简单可平面图，其中除少数面外，所有面都具有相同的度。我们表明，这是不可能的有限图有一个完全不同的脸，并提供了一些illustrations，包括猜想，图有两个不同的脸来在一个小的家庭。
2016-07-30 math.CO
2-nearly Platonic graphs are unique
一类（k）型2-几乎柏拉图图|d）是k-正则的可平面图，f-2是d度面，其余两个是m_1;m_2，都不同于d.如果m_1=m_2，则称这样的图为平衡图。我们证明了所有的2-近柏拉图图必然是平衡的。这证明了Keith、Froncek和Kreher最近的一个猜想。
2020-02-28 math.CO
Two critical periods in the evolution of random planar graphs
设$P(n,M)$是从所有具有$M$边和$n$点的标记可平面图族中随机均匀选取的图.本文研究了$P(n,M)$的组件结构。结合计数参数与分析技术，我们表明，有两个关键时期的演变$P(n,M)$。第一个，宽度$Θ(n^{2/3})$，是类似于在标准的随机图模型中观察到的相变，并发生在$M=n/2+O(n^{2/3})$，当最大的复杂组件形成。然后，对于$M=n+O(n^{3/5})$，当复分量几乎覆盖所有顶点时，宽度$n^{3/5}$的第二个临界期出现。从该时刻开始，$M$的增加主要影响复杂组件的密度，而不是其大小。
2010-11-08 math.CO
On the number of perfect matchings in planar graphs
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Western Sydney University（西悉尼大学）
本文研究平面图中非零完美匹配的最小数量，证明在最小度为3的2连通平面图和3连通平面图中该数为常数，并给出无限族，最后构造反例反驳Zaks猜想。
2026-06-23 math.CO
The Density of Fan-Planar Graphs
一个图的拓扑图是扇平面的，如果对于每个边$e$，与$e$交叉的边形成星形，并且没有$e$的端点被$e$及其交叉边包围。一个扇平面图是一个图承认这样的绘图。等价地，这可以由三种禁止模式来表示，其中一种是其中$e$被两个独立边缘交叉的配置，而另外两种是其中$e$被两个入射边缘以包围$e$的某个端点的方式交叉的配置。如果任意两条边至多有一个公共点，则拓扑图是简单的。Fan-planar图是由禁止交模式定义的拓扑图中的一个新成员，如平面图及其推广，Turán-图和Conway的thrackle猜想。因此，扇平面图是组合几何中的一个重要领域，在离散数学的各个领域都有应用。由于每一个$1$ -平面图都是扇平面图，每一个扇平面图都是$3$ -拟平面图，所以它们也完全适合于最近一系列关于图的绘制和组合嵌入的近平面图的工作.在本文中，我们证明了每一个扇平面图上的$n$顶点最多有$5n-10$的边缘，即使扇平面图可能有一个平方数的交叉。我们的界限，这是紧的每$n \geq 20$，表明如何很好地扇平面图适合在行与平面图（$3n-6$边缘）和$1$ -平面图（$4n-8$边缘）。由此，扇平面图形成了由禁止模式定义的最大的非平凡拓扑图类，其中$n$顶点上的最大边数是精确已知的。
2021-07-15 cs.CG cs.DM math.CO
