组合丰富集的大小概念
A concept of largeness of combinatorially rich sets
AI总结：
本研究利用组合丰富集（$CR$-集）的等价定义，证明了整数空间中由有理矩阵定义的原像集合继承$CR$-集的性质，完善了组合数论中集合大性的相关结论。
摘要：
在文献\textit{F}的第169页命题8.2中，H. Furstenberg利用拓扑动力学方法引入了中心集（central set）的概念，并证明了著名的中心集定理。随后，D. De、H. Hindman和D. Struss在文献\textit{DHS}中提出了强中心集定理，同时引入了$J$-集的概念。与$J$-集类似，V. Bergelson和D. Glasscock在文献\textit{BG}中提出了组合丰富集（combinatorially rich set，简称$CR$-集）的概念。设$u,v$为正整数，$A$是元素为有理数的$u\times v$矩阵。N. Hindman和D. Strauss在文献\textit{HS23}中证明：若$B$是整数集$\text{Z}$中的分段 syndetic 集（或$J$-集），则集合$\bigl\{\boldsymbol{x}\text{∈}\text{Z}^v:A\boldsymbol{x}\text{∈}B^u\bigr\}$是$\text{Z}^v$中的分段 syndetic 集（或$J$-集）。本文利用N. Hindman、H. Hosseini、D. Strauss和M. Tootkaboni在文献\textit{HHST}中给出的$CR$-集的等价定义，证明了$CR$-集也满足上述结论。
英文摘要：
In \cite[Proposition 8.21 Page-169]{F} Using the methods of topological dynamics, H. Furstenberg introduced the notion of central set and proved the famous Central Sets Theorem. Later, in \cite{DHS}, D. De, H. Hindman and D. Struss established a strong Central Sets Theorem, where they introduced the notion of $J$-set. Like $J$-set, in \cite{BG} V. Bergelson and D. Glasscock introduced the notion of combinatorially rich set ( $CR$-set). Let $u,v\in\mathbb{N}$ and $A$ be a $u\times v$ matrix with rational entries. In \cite{HS23}, N. Hindman and D. Strauss established that whenever $B$ is a piecewise syndetic set (resp. $J$-set) in $\mathbb{Z}$, $\left\{ \vec{x}\in\mathbb{Z}^{v}:A\vec{x}\in B^{u}\right\} $ is a piecewise syndetic set ( resp. $J$-set) in $\mathbb{Z}^{v}$. In this article, we prove the same result for $CR$-sets using an equivalent definition of $CR$-set in \cite{HHST} by N. Hindman, H. Hosseini, D. Strauss and M. Tootkaboni.
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