滑动窗口模型中的正则语言
Regular Languages in the Sliding Window Model
AI总结：
本文研究滑动窗口模型下正则语言成员测试的空间复杂度，证明确定性算法空间复杂度为常数、对数或线性，随机化算法还可能出现双重对数，并提出只需对数或常数空间的滑动窗口测试器。
摘要：
我们研究以下问题的空间复杂度：对于一个固定的正则语言 $L$，我们接收一个符号流，并希望测试大小为 $n$ 的滑动窗口是否属于 $L$。对于确定性流算法，我们证明了一个三分定理，即（最优）空间复杂度以窗口大小 $n$ 度量时要么是常数、要么是对数、要么是线性的。此外，我们给出了这些空间类别的自然语言理论刻画。然后我们将结果扩展到随机化流算法，并证明在该设定下，任何正则语言的空间复杂度要么是常数、要么是双重对数、要么是对数、要么是线性的。最后，我们引入滑动窗口测试器，它可以区分大小为 $n$ 的滑动窗口是属于语言 $L$，还是与 $L$ 的汉明距离大于 $εn$。我们证明每个正则语言都有一个确定性（分别为随机化）滑动窗口测试器，它只需要对数（分别为常数）空间。
英文摘要：
We study the space complexity of the following problem: For a fixed regular language $L$, we receive a stream of symbols and want to test membership of a sliding window of size $n$ in $L$. For deterministic streaming algorithms we prove a trichotomy theorem, namely that the (optimal) space complexity is either constant, logarithmic or linear, measured in the window size $n$. Additionally, we provide natural language-theoretic characterizations of the space classes. We then extend the results to randomized streaming algorithms and we show that in this setting, the space complexity of any regular language is either constant, doubly logarithmic, logarithmic or linear. Finally, we introduce sliding window testers, which can distinguish whether a sliding window of size $n$ belongs to the language $L$ or has Hamming distance $> εn$ to $L$. We prove that every regular language has a deterministic (resp., randomized) sliding window tester that requires only logarithmic (resp., constant) space.
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