通过极小极大优化求解非线性最小二乘问题的鲁棒解
Robust Solutions of Nonlinear Least Squares Problems via Min-max Optimization
AI总结：
本文通过极小极大优化方法研究非线性最小二乘问题的鲁棒解，提出平滑方法寻找全局极小极大点并给出复杂度界，证明了其对不确定数据的鲁棒性。
摘要：
本文使用极小极大优化方法考虑一类非线性最小二乘问题的鲁棒解。我们给出了内部最大化问题值函数的显式公式，并证明了全局极小极大点的存在性。我们建立了从非线性最小二乘问题的任意解到鲁棒非线性最小二乘问题解集的误差界。此外，我们提出了一种利用该公式寻找极小极大问题全局极小极大点的平滑方法，并证明寻找极小极大问题的 $ε$ 极小极大临界点最多需要 $O(ε^{-2} +δ^2 ε^{-3})$ 次目标函数的函数值和梯度评估，其中 $δ$ 是噪声容差。具有不确定数据的积分方程数值结果证明了我们方法解的鲁棒性，以及忽略数据不确定性的最小二乘解的不稳定行为。
英文摘要：
This paper considers robust solutions to a class of nonlinear least squares problems using min-max optimization approach. We give an explicit formula for the value function of the inner maximization problem and show the existence of global minimax points. We establish error bounds from any solution of the nonlinear least squares problem to the solution set of the robust nonlinear least squares problem. Moreover, we propose a smoothing method for finding a global minimax point of the min-max problem by using the formula and show that finding an $ε$ minimax critical point of the min-max problem needs at most $O(ε^{-2} +δ^2 ε^{-3})$ evaluations of the function value and gradients of the objective function, where $δ$ is the tolerance of the noise. Numerical results of integral equations with uncertain data demonstrate the robustness of solutions of our approach and unstable behaviour of least squares solutions disregarding uncertainties in the data.
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