Legendre 符号分拆数
Legendre-signed partition numbers
AI总结：
本文研究由 Legendre/Kronecker 符号诱导的符号分拆数，推导其渐近公式，解释模 5 的周期消失，并给出相关双无穷级数上界。
摘要：
设 $f:\mathbb{N}\to\{0,\pm 1\}$，对 $n\in\mathbb{N}$，令 $Π[n]$ 为 $n$ 的所有分拆组成的集合，并对所有分拆 $\pi=(a_1,a_2,\ldots,a_k)\inΠ[n]$ 定义 $f(\pi):=f(a_1)f(a_2)\cdots f(a_k)$。由此定义 $f$-符号分拆数 $\mathfrak{p}(n,f)=\sum_{\pi\inΠ[n]}f(\pi)$。本文中，对于奇素数 $p$，我们推导了当 $n\to\infty$ 时 $\mathfrak{p}(n,\chi_p)$ 的渐近公式，其中 $\chi_p(n)$ 是与 $p$ 相关的 Legendre 符号 $(\frac{n}{p})$。文中还建立了 $\mathfrak{p}(n,\chi_2)$ 的类似渐近公式，其中 $\chi_2(n)$ 是 Kronecker 符号 $(\frac{n}{2})$。我们特别关注序列 $(\mathfrak{p}(n,\chi_5))_\mathbb{N}$，并讨论了 $\mathfrak{p}(n,\chi_5)$ 的一个公式，该公式支持近期的一项发现：对所有 $j\geq0$，均有 $\mathfrak{p}(10j+2,\chi_5)=0$。作为推论，我们的主要结果表明，$(\mathfrak{p}(n,\chi_5))_\mathbb{N}$ 所呈现的周期性消失现象，不会出现在任何满足 $p\neq5$ 且 $p\not\equiv1\\ (\mathrm{mod}\\,8)$ 的序列 $(\mathfrak{p}(n,\chi_p))_\mathbb{N}$ 中。此外，本文应用 Montgomery 和 Vaughan 关于带乘法系数指数和的工作，对某些涉及满足 $|f|\leq1$ 的乘法函数 $f$ 的双无穷级数建立了上界。
英文摘要：
Let $f:\mathbb{N}\to\{0,\pm 1\}$, for $n \in \mathbb{N}$ let $Π[n]$ be the set of partitions of $n$, and for all partitions $π= (a_1,a_2,\ldots,a_k) \in Π[n]$ let \[ f(π) := f(a_1)f(a_2) \cdots f(a_k). \] With this we define the $f$-signed partition numbers \[ \mathfrak{p}(n,f) = \sum_{π\inΠ[n]} f(π). \] In this paper, for odd primes $p$ we derive asymptotic formulae for $\mathfrak{p}(n,χ_p)$ as $n\to\infty$, where $χ_p(n)$ is the Legendre symbol $(\frac{n}{p})$ associated $p$. A similar asymptotic formula for $\mathfrak{p}(n,χ_2)$ is also established, where $χ_2(n)$ is the Kronecker symbol $(\frac{n}{2})$. Special attention is paid to the sequence $(\mathfrak{p}(n,χ_5))_\mathbb{N}$, and a formula for $\mathfrak{p}(n,χ_5)$ supporting the recent discovery that $\mathfrak{p}(10j+2,χ_5)=0$ for all $j\geq 0$ is discussed. Our main results imply, as a corollary, that the periodic vanishing displayed by $(\mathfrak{p}(n,χ_5))_\mathbb{N}$ does not occur in any sequence $(\mathfrak{p}(n,χ_p))_\mathbb{N}$ for $p \neq 5$ such that $p\not\equiv 1\,\,(\mathrm{mod}\,8)$. In addition, work of Montgomery and Vaughan on exponential sums with multiplicative coefficients is applied to establish an upper bound on certain doubly infinite series involving multiplicative functions $f$ with $|f| \leq 1$.
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