全复纯八次域的单演性
On the monogenity of totally complex pure octic fields
AI总结：
本文研究了全复纯八次域的幂积分基生成元问题，提出了一种高效计算方法，并在 $0>m>-5000$ 范围内的 2024 个域中验证了是否存在与 $α$ 不等价的生成元。
摘要：
设 $0,1\ne m\in Z$ 且 $α=\sqrt[8]{m}$。根据 I. Gaál 和 L. El Fadil 的结果，$α$ 在 $K=Q(α)$ 中生成幂积分基，当且仅当 $m$ 无平方因子且 $m\not\equiv 1\\;(\bmod\\; 4)$。本文考虑全复纯八次域，即 $m<0$ 且满足上述性质的情况。此时 $(1,α,α^2,\ldots,α^7)$ 构成一个积分基。我们的目的是研究 $K$ 是否还存在与 $α$ 不等价的幂积分基生成元。我们提出了一种高效方法，用于计算此类域中在上述积分基下系数 $<10^{200}$ 的幂积分基生成元。我们报告了对此类域在 $0>m>-5000$ 范围内的计算结果，共得到 2024 个域。
英文摘要：
Let $0,1\ne m\in Z$ and $α=\sqrt[8]{m}$. According to the results of I. Gaál and L. El Fadil, $α$ generates a power integral basis in $K=Q(α)$, if and only if $m$ is square-free and $m\not\equiv 1\;(\bmod\; 4)$. In the present paper we consider totally complex pure octic fields, that is the case $m<0$, with $m$ satisfiying the above property. In this case $(1,α,α^2,\ldots,α^7)$ is an integral basis. Our purpose is to investigate whether $K$ admits any other generators of power integral bases, inequivalent to $α$. We present an efficient method to calculate generators of power integral bases in this type of fields with coefficients $<10^{200}$ in the above integral basis. We report on the results of our calculation for this type of fields with $0>m>-5000$, which yields 2024 fields.
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