关于量子球面与双曲面的几何
On the geometry of quantum spheres and hyperboloids
AI总结：
本文研究量子正交群SO_q(3)的两类量子球面和双曲面，构造SO(2)不变元素的量子齐性空间上的线丛，给出有限生成射影模及幂等元，并对偶Hopf代数的Casimir算子对角化。
摘要：
我们研究了两类量子球面和双曲面，它们是量子正交群 $\mathcal{O}(SO_q(3))$ 的 $*$-量子空间。我们为量子子群 $SO(2)$（$SO_q(3)$ 的子群）的不变元素所构成的量子齐性空间构造了线丛。这些线丛通过 $SO(2)$ 的余表示与量子主丛相关联，并由有限生成的秩为 $1$、偶次数为 $-2n$ 的射影模 $\mathcal{E}_n$ 给出。相应的幂等元（表示 K-理论中的类）被明确地计算出来。对于实数 $q$，我们对偶于 $\mathcal{O}(SO_q(3))$ 的 Hopf 代数 ${\mathcal{U}_{q^{1/2}}(sl_2)}$ 的 Casimir 算子进行了对角化。
英文摘要：
We study two classes of quantum spheres and hyperboloids which are $*$-quantum spaces for the quantum orthogonal group $\mathcal{O}(SO_q(3))$. We construct line bundles over the quantum homogeneous space of invariant elements for the quantum subgroup $SO(2)$ of $SO_q(3)$. These are associated to the quantum principal bundle via corepresentations of $SO(2)$ and are given by finitely-generated projective modules $\mathcal{E}_n$ of rank $1$ and even degree $-2n$. The corresponding idempotents, representing classes in K-theory, are explicitly worked out. For $q$ real, we diagonalise the Casimir operator of the Hopf algebra ${\mathcal{U}_{q^{1/2}}(sl_2)}$ dual to $\mathcal{O}(SO_q(3))$.
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