Ramanujan's $_{1}ψ_1$ summation, Hecke-type double sums, and Appell-Lerch sums
利用Ramanujan的${}_1ψ_1$求和的特殊化，给出了Hickerson和Mortenson最近的一个公式的一个新的证明，该公式用Appell-Lerch和和θ函数推广了一类特殊的Heck型二重和.
2012-08-07 math.NT
Bilateral sums related to Ramanujan-like series
我们定义双边系列相关的拉马努金系列$1/π^2$。然后，我们猜想了它们的一个性质，并给出了一些应用。
2019-06-03 math.NT
Finite trigonometric sums arising from Ramanujan's theta functions
两类有限三角和，每类只涉及$\sin$的，在封闭形式下进行评估。以前和原来的证明来自拉马努金的θ函数和模方程。
2022-10-10 math.NT
Certain weighted averages of generalized Ramanujan sums
我们推导出某些身份涉及各种已知的算术函数和广义版本的Ramanujan和。L.托特构造了某些加权平均的拉马努金和各种算术函数的权重。我们选择了E.科恩，并得出相应的版本的加权平均数的加权平均数由托特建立。
2016-01-26 math.NT
Averages of Ramanujan sums: Note on two papers by E. Alkan
本文给出了E.阿尔坎关于加权平均的拉马努金总和。我们推导出其他加权平均数的Ramanujan和与权重有关的矩阵，值的算术函数的GCD的，Γ函数，伯努利多项式，和二项式系数的身份。
2014-09-21 math.NT
On the distribution of Ramanujan Sums over number fields
对于数域$\mathbb{K}$，以及它的数环$\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$中的整理想$\mathcal{I}$和$\mathcal{J}$，Nowak研究了理想$\mathcal{I}$和$\mathcal{J}$上Ramanujan和$C_{\mathcal{J}}({\mathcal{I}})$的平均的渐近行为.在这篇文章中，我们扩展这项调查建立的二阶渐近公式的平均Ramanujan总和在二次和立方数域，从而推广以前的作品陈，Kumchev，罗伯斯和罗伊的平均Ramanujan总和在有理数的时刻。此外，利用某些整环的一个特殊性质，我们得到了其他数域上Ramanujan和的二阶矩结果。
2021-09-20 math.NT
The average size of Ramanujan sums over quadratic number fields(II)
本文研究了Ramanujan和$c_{\bf m}(\bf n)$，其中$ {\bf m}$和${\bf n}$是任意二次数域上的整理想.本文给出了$c_{\bf m}(\bf n)$在$ {\bf m}$和$ {\bf n}$上的和的渐近性质的一些新结果.
2021-09-23 math.NT
Extensions of Euler Type Sums and Ramanujan Type Sums
定义了一类新的经典双Γ函数，并建立了它的一些基本恒等式.然后，我们应用得到的公式，并扩展Flajolet和Salvy开发的工具，以研究更一般的欧拉型和。Flajolet和Salvy的论文\cite{FS1998}的主要结果是本文主要结果的直接推论.此外，我们提供了一些参数化扩展的Ramanujan型恒等式，涉及双曲级数。一些有趣的新的后果和说明性的例子。
2020-09-02 math.NT
On the Polynomial Ramanujan Sums over Finite Fields
多项式Ramanujan和首先由Carlitz [7]引入，并由Cohen [10]推广。本文研究了这些和的算术性质和分析性质，得到了各种基本恒等式，如H older公式、互易公式、正交关系和Davenport{Hasse}型公式。特别地，我们证明了含有多项式Ramanujan和的特殊狄利克雷级数确实是整个复平面上的整函数，并给出了一个平方均值估计.本文的主要结果对我们来说是新的，它表明了多项式Ramanujan和的特殊性。
2016-12-26 math.NT
Remarks on generalized Ramanujan sums and even functions
本文证明了$r$ -偶函数的主值的一个简单公式，并给出了它的应用.考虑到广义Ramanujan和$c_A(n,r)$涉及正规系统$A$，我们表明，它是不可能发展的傅立叶理论关于$c_A(n,r)$，像在通常情况下的经典Ramanujan和$c(n,r)$ .
2006-10-11 math.NT
Some remarks on Ramanujan sums and cyclotomic polynomials
我们研究多项式$\sum_{k=0}^{n-1} c_n(k)x^k$和$\sum_{k=0}^{n-1} |c_n(k)| x^k$，其中$c_n(k)$表示Ramanujan和。我们指出的联系和类比的分圆多项式。
2010-02-17 math.NT
Arithmetical properties of Multiple Ramanujan sums
本文引入了算术函数的多重Ramanujan和，它是D. R. Anderson和T. M.阿波斯托然后，我们发现的基本算术性质的多重Ramanujan和和研究几种类型的狄利克雷级数涉及的多重Ramanujan和。作为应用，我们评估高维矩阵的高维行列式，其中的条目是由多个Ramanujan和的值。
2007-01-19 math.NT
Rogers-Ramanujan Type Identities Involving Double Sums
本文利用常数项方法和 Rogers-Szegő 多项式的性质，从经典 Rogers-Ramanujan 恒等式出发，证明了四个新的双重级数 Rogers-Ramanujan 型恒等式。
2024-11-19 math.NT
On a generalization of arithmetic functions and the Ramanujan sums
设$K$为数字字段。本文考虑$K$上的算术函数，即$K$中非零整理想上的复值函数.首先推广了关于算术函数的一些基本结果。接下来我们定义了$K$上的广义Ramanujan和并给出了一些性质。
2014-04-27 math.NT
Expansions of arithmetic functions of several variables with respect to certain modified unitary Ramanujan sums
我们引入了新的类似物的Ramanujan和，表示为$\widetilde{c}_q(n)$，与酉因子，并获得有关的结果展开的算术函数的几个变量的总和$\widetilde{c}_q(n)$。我们将这些结果应用到与$σ^*(n)$和$ϕ^*(n)$相关的某些函数，分别表示酉σ函数和酉phi函数。
2018-06-11 math.NT
Generalisations of Ramanujan sums for Polynomial rings over finite fields
本文考虑了有限域上多项式环上Ramanujan和的模拟的一般形式。我们首先证明这类函数的一些乘法性质，然后考虑它们的有限傅里叶级数和一些具体的例子。最后，我们还证明了关于这类函数的狄利克雷级数的一个结果。
2019-09-27 math.NT
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions
对于两个数论函数$f$和$g$，我们研究了形式为$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$的卷积和，给出了其具有显式误差项的渐近公式.在这里，我们介绍了有限拉马努金展开的算术函数的概念，并延长我们以前的工作在这个设置。
2016-12-09 math.NT
Supercharacter theory and applications to Ramanujan sums over a finite Frobenius ring
Elmhurst University（埃尔姆赫斯特大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科学技术大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
本文利用有限Frobenius环上的超特征理论统一推广Ramanujan和的算术性质，并给出判定有限交换环为Frobenius的新准则。
2026-09-28 math.NT
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions, II
我们继续我们的研究卷积和两个算术函数$f$和$g$，形式$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$，在启发式渐近公式的上下文中。这里，整数$h\ge 0$通常被称为卷积和的{ \it移位}。为了研究广义$f,g$的有限Ramanujan展开式的卷积和，我们进一步研究了广义$f,g$的有限Ramanujan展开式.此外，我们介绍了另一种Ramanujan扩展的卷积和的$f$和$g$，即在其移位$h$方面，我们比较这个\lq \lq移位Ramanujan扩展\rq \rq，与我们以前的有限扩展的$f$和$g$参数。最后但并非最不重要的，我们给出了这样的移位扩展的例子，在经典文献中，启发式公式。
2017-05-19 math.NT
The second moment of Ramanujan sums
School of Mathematics, Renmin University of China（中国人民大学数学学院）
本文在黎曼假设下，改进了拉马努金求和二阶矩 $C(x, y)$ 的渐近公式，并通过平滑截断函数优化了计算复杂度。
2026-01-16 math.NT
Sums of two squares and the tau-function: Ramanujan's trail
本文为综述，梳理了拉马努金在两平方数和计数、tau函数素数不可整除性方面的论断，补充相关历史细节并介绍后续进展，展现其在数论领域的探索性贡献。
2025-09-05 math.NT
The Average Size of Ramanujan Sums over Cubic Number Fields
设K是一个立方数域。本文研究了Ramanujan和c_{J}（I），其中I和J是O_{K}中的整理想.研究了c_{J}（I）在I和J上的和的渐近性质.
2021-05-25 math.NT math.RA
An Algebraic Generalization of the Ramanujan Sum
本文通过多项式取余法推广拉马努金和，将其表示为带互质条件的有限三角和，还给出了带奇偶条件的Levenshtein码大小的显式公式，解决了SVT码的重要开放问题。
2025-07-08 math.NT
On near orthogonality of certain $k$-vectors involving generalized Ramanujan sums
本文将 Alkan 关于含 Ramanujan 和的 $k$-向量近似正交性推广到 Cohen 的广义 Ramanujan 和，并证明相关加权平均恒正及部分和最大值的下界。
2023-12-12 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
A reciprocity theorem for the Cohen-Ramanujan sums and its application to Cohen-Ramanujan expansions in the second variable
本文证明 Cohen-Ramanujan 和的互反定理，并据此刻画某些算术函数在第二变量上的两类 Cohen-Ramanujan 展开的等价存在性。
2023-12-10 math.NT
On solving a restricted linear congruence using generalized Ramanujan sums
考虑$b,n\in\mathbb{Z}$的一次同余方程方程$x_1+\ldots+x_k \equiv b\,(\text{mod } n)$。$(a,b)_s$是指同时划分$a$和$b$的最大的$l^s\in\mathbb{N}$。对于每个$d_j|n$，定义$\mathcal{C}_{j,s} = \{1\leq x\leq n^s | (x,n^s)_s = d^s_j\}$。Bibak等人用Ramanujan和给出了上述同余方程在$x_i$上的一些gcd限制下的解的个数的公式。我们推广了他们的结果，在$x_i$上引入了广义gcd限制，证明了对于上述一次同余方程，解的个数为$$\frac{1}{n^s}\sum\limits_{d|n}c_{d,s}(b)\prod\limits_{j=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s})\right)^{g_j}$$，其中$g_j = |\{x_1,\ldots, x_k\}\cap \mathcal{C}_{j,s}|$对$j=1,\ldots τ(n)$，$c_{d,s}$表示E.科恩
2017-08-15 math.NT
Ramanujan expansions of arithmetic functions of several variables over $\mathbb{F}_{q}[T]$
设$\mathbb{A}=\mathbb{F}_{q}[T]$是有限域$\mathbb{F}_{q}$上的多项式环，$\mathbb{A}_{+}$是$\mathbb{A}$中的首一多项式集.本文证明了$\mathbb{A}_{+}$上的一大类多元算术函数可以通过多项式Ramanujan和与酉多项式Ramanujan和展开.这些结果与Winter，Delange和Tóth关于$\mathbb{N}$的经典结果类似.
2019-09-29 math.NT
Analogues of the Ramanujan--Mordell Theorem
将偶数平方和的Ramanujan-Mordell定理推广到其它二次型和二次多项式。
2016-05-21 math.NT
A simple extension of Ramanujan-Serre derivative map and some applications
如果$f(z)$是权$k$的模形式，则由$\vartheta_k(f) = \frac{1}{2πi} \frac{d}{dz}f(z) - \frac{k}{12} E_2(z) f(z)$定义的微分算子$\vartheta_k$（称为Ramanujan-Serre导数映射）是权$k+2$的模形式。本文得到了这个映射的一个单扩张，并利用它得到了一个一般的方法来导出某些除数函数的卷积和（利用模形式的理论）.给出了四种卷积和的显式表达式，并给出了许多例子。
2023-03-06 math.NT
Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers
设$\Bbb Z$和$\Bbb N$分别是整数集和正整数集。对于$a_1,a_2,\ldots,a_k,n\in\Bbb N$，令$N(a_1,a_2,\ldots,a_k;n)$为$n$由$a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdots+a_kx_k^2$表示的数量，令$t(a_1,a_2,\ldots,a_k;n)$为$n$由$a_1\frac{x_1(x_1-1)}2+a_2\frac{x_2(x_2-1)}2+\cdots+a_k\frac{x_k(x_k-1)}2$ $(x_1,\ldots,x_k\in\Bbb Z$表示的数量）。本文利用Ramanujan的θ函数$φ(q)$和$ψ(q)$，揭示了$k=3,4$的$t(a_1,a_2,\ldots,a_k;n)$和$N(a_1,a_2,\ldots,a_k;8n+a_1+\cdots+a_k)$之间的许多联系。
2017-12-06 math.NT
Universal quaternary mixed sums involving generalized 3-, 4-, 5- and 8-gonal numbers via products of Ramanujan's theta functions
本文利用Ramanujan theta函数恒等式理论，系统确定了由广义3-、4-、5-和8-角数构成的四元混合和何时能表示所有非负整数，即其通用性。
2025-07-18 math.NT
$N$-tuple sum analogues for Ramanujan-type congruences
本文证明了基本超几何级数的截断$N$ -元组和的超同余关系。作为应用，我们给出了一些Ramanujan型超同余的二重、三重、四重和类似物。
2021-12-01 math.NT
Ramanujan sums as supercharacters
最近由Diaconis-Isaacs和Andre发展的超特征标理论可以用来推导Ramanujan和的基本代数性质。这台机器经常产生单线证明困难的身份，并提供了许多新的公式。除了展示一个新的应用程序的超字符理论，这篇文章也作为未来工作的蓝图，因为我们开发的一些抽象的结果是适用于更大的普遍性。
2012-12-14 math.NT math.RT
Universal sums via products of Ramanujan's theta functions
Hodeidah University（荷台达大学）；Nanjing University（南京大学）
本文通过拉马努金θ函数的恒等式，证明了两种特定形式的多项式在整数范围内是通用的。
2026-02-25 math.NT
Value distribution of Ramanujan sums and of cyclotomic polynomial coefficients
第n阶分圆多项式的第k个系数的Ramanujan和c_n（k）与a_n（k）是关于第n阶本原单位根的完全对称表达式。对于固定的k，我们研究了c_n（k）的值分布（继A. Wintner）和a_n（k）（部分遵循H. Moller）。特别是我们反驳了1970年的猜想H。Moller关于a_n（k）的平均（在n上）。我们证明了Dence兄弟所考虑的原根中的某些对称函数与c_{p-1}（k）和a_{p-1}（k）在素数上的p范围的行为有关，并研究了它们的值分布。本文是第二作者的硕士论文项目的产物，在第一作者的监督下在Korteweg-de Vries研究所（阿姆斯特丹大学）进行，并以硕士论文风格撰写。我们感谢Yves Gallot提供的数字援助。
2003-07-27 math.NT
Ramanujan sums analysis of long-period sequences and 1/f noise
Ramanujan和是指数和，其指数定义在不可约分数上。到目前为止，它们已经被用来提供收敛展开的一些算术函数出现在数论的背景下。在本文中，我们提供了一个应用程序的Ramanujan和扩展到周期，准周期和复杂的时间序列，作为一个重要的替代傅立叶变换。13年来道琼斯指数的Ramanujan-Fourier光谱和69年来太阳活动日冕指数的Ramanujan-Fourier光谱被作为说明性的例子。可以用明显的长周期来代替傅里叶变换的1/f ^α谱。
2008-12-11 math-ph math.MP math.NT
Remainder in Modified Mertens Formula and Ramanujan Inequality
为了Ramanujan不等式成立，证明了素数倒数和的修正渐近公式中的一个非常强的上估计是必要的（也是充分的）。还得到了其他一些类似的准则。
2022-01-07 math.NT
Constancy of an Infinite Cyclotomic Product via Ramanujan Sums
本文通过拉马努金求和证明了无限循环多项式乘积在单位圆内的恒定性，并揭示了相关恒等式对无限乘积的进一步影响。
2026-01-06 math.CO math.NT
Classical Kloosterman sums: representation theory, magic squares, and Ramanujan multigraphs
研究了一类以Kloosterman和为特征值的有限群的表示论.这使我们考虑一个具体的家庭交换埃尔米特矩阵的Kloosterman和特征值。这些矩阵满足一些“神奇的”组合性质，它们编码Kloosterman和的各种算术性质。这些矩阵也可以被看作是多重图的邻接矩阵，显示Ramanujan样行为。
2010-07-02 math.CO math.NT math.RT
Ramanujan's trigonometric sums and para-orthogonal polynomials on the unit circle
拉马努金的三角和$c_q(n)$可以解释为一组三角矩的有限措施集中在原$q$次单位根具有相同的质量。这产生了在单位圆上正交的相应多项式的集合。我们提出了明确的表达式，这些多项式的$q$的特殊值，例如，当$q=p$或$q=2p$或$q=p^k$，其中$p$是一个素数。我们推广了这个过程，而不是分圆的克罗内克多项式。在这种情况下，力矩表示为具有不同$q$的$c_q(n)$的有限和。
2021-07-27 math.CA math.NT
Moments of averages of generalized Ramanujan sums
本文通过计算带有改进误差项的 $k$ 阶矩，研究了由 Cohen 提出的广义 Ramanujan 和 $c_{q,β}(n)$ 平均值的分布，给出了比前人更精确的主项结果，以及除数问题和 Ramanujan 公式推广的渐近结果。
2015-08-07 math.NT
Rogers-Ramanujan type identities involving double, triple and quadruple sums
本文使用Maple搜索发现了多个涉及二重、三重和四重和的Rogers-Ramanujan型恒等式，并通过直接求和或常数项法将其转化为已知恒等式进行证明，同时得出新的单重和恒等式。
2023-08-01 math.CO math.NT
On divisor sums due to Erdős and Ramanujan
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文研究了埃尔多斯和拉马努金除数和的混合形式，通过结合戈尔本的估计和塔兰的定量化形式，证明了除数和的渐进行为。
2026-10-19 math.NT
Transcendental formulas for the coefficients of Ramanujan's mock theta functions
本研究证明了拉马努金最后一封信中全部17个伪θ函数的精确系数公式，同时给出了奇秩格相伴韦伊表示的克洛斯特曼和之和的界定理，推进了伪θ函数系数的精确表达研究。
2025-09-02 math.NT
Berndt-Type Integrals and Series Associated with Ramanujan and Jacobi Elliptic Functions
本文以闭式求解含双曲与三角函数的Berndt型无穷积分，通过Gamma函数特殊值及椭圆函数展开求双曲和，并给出显式公式与猜想。
2026-11-10 math.NT
Generalization of Ramanujan's formula for sums of half-integer powers of consecutive integers via formal Bernoulli series
The George Washington University（乔治华盛顿大学）；Lehman College of the City University of New York（纽约市立大学莱曼学院）；Icahn School of Medicine at Mount Sinai（西奈山伊坎医学院）；Medgar Evers College of the City University of New York（纽约市立大学梅加尔埃弗斯学院）
本文通过形式Bernoulli级数推广了Ramanujan关于连续整数半整数次幂求和的公式，扩展了原有结果到所有正半整数次幂。
2026-02-10 math.CO math.NT
Galois-Orbit Structure, Ramanujan Sums, and Stable-Range Collapse for Cyclotomic Cosine Formulas
Departamento de Matemáticas, Sede Medellín, Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学麦德林校区数学系）；Departamento de Matemáticas, Universidad EAFIT（伊法蒂大学数学系）
本文结合伽罗瓦轨道与有限频率展开，研究分圆余弦求值，揭示值层面伽罗瓦不变性缺乏稳定范围刚性，并证明特定模式族在足够大水平下坍缩为仿射函数，最终用拉马努金和给出精确轨道公式。
2026-09-24 math.NT
Ramanujan graphs and exponential sums over function fields
证明了$q+1$ -正则Morgenstern Ramanujan图$X^{q,g}$（依赖于$g\in\mathbb{F}_q[t]$）的直径至多为$\left(\frac{4}{3}+\varepsilon\right)\log_{q}|X^{q,g}|+O_{\varepsilon}(1)$（至少对于奇数$q$和不可约$g$），条件是$\mathbb{F}_q(t)$上的扭曲Linnik-Selberg猜想成立.这将打破30年前的$2\log_{q}|X^{q,g}|+O(1)$的上界，这是Lubotzky、Phillips和Sarnak使用模形式的傅里叶系数的Ramanujan界证明的正则Ramanujan图直径的一个著名上界的结果。我们还无条件地构造了Ramanujan图的无限族，证明了$\frac{4}{3}$不能被改进。
2020-04-25 math.AG math.CO math.NT
Asymptotic identities for additive convolutions of sums of divisors
在1916年的一篇论文中，Ramanujan研究了因子和函数$σ_a(n)$和$σ_b(n)$的加法卷积$S_{a, b}(n)$，并证明了当$a$和$b$是正奇数时的渐近公式。他还强调，他的渐近公式应持有所有积极的真正的$a$和$b$。Ramanujan猜想随后被Ingham证明，然后由Halberlane用省电误差项证明。本文给出了Ramanujan猜想的一个新的证明，得到了在大多数参数范围内渐近性的低阶项。我们还描述了一个连接到一个计数问题的几何拓扑，在第二作者的论文中进行了研究，并作为我们最初的动机在研究这个总和。
2021-05-26 math.NT
Two-parameter Identities for Divisor Sums in Algebraic Number Fields
在与他丢失的笔记本一起发表的一页纸的片段中，拉马努金陈述了两个二重级数恒等式，分别与著名的高斯圆和狄利克雷除数问题相关。这些恒等式包含一个“额外”的参数，拉马努金可能是为了攻击这些著名的问题而推导出这些恒等式的。类似的著名未解决的问题与$f_K(n)$有关，$f_K(n)$是代数数域$K$中范数$n$的整理想的个数。本文建立了包含一个“额外”参数的涉及$f_K(n)$或与$K$相关的除数函数的Riesz和恒等式.当上指数趋于无穷大时，也建立了上界。
2021-04-13 math.NT
Landau and Ramanujan approximations for divisor sums and coefficients of cusp forms
本文通过计算 Euler-Kronecker 常数得到除数和函数计数函数渐近展开的二阶项，并确定 Ramanujan 逼近优于 Landau 逼近的条件，进而研究六个尖形式 Fourier 系数的不可整除性。
2021-09-07 math.NT
Ramanujan Summation and the Exponential Generating Function $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}ζ^{\prime}(-k)$
在第六章他的笔记本拉马努金介绍了一种方法，总结发散系列分配给该系列的价值相关联的欧拉-麦克劳林常数所产生的应用欧拉-麦克劳林求和公式的部分和系列。这种方法现在被称为拉马努金求和过程。本文计算了指数母函数$\sum_{n\geq 1}\log n e^{nz}$和$\sum_{n\geq 1}H_n^{(j)} e^{-nz}$的Ramanujan和，其中$H_n^{(j)}=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^j}$ .我们发现一个令人惊讶的关系，两个总和时，$j=1$从以下公式连接的衍生物的黎曼zeta函数在负整数的Ramanujan求和的分歧欧拉和$\sum_{n\ge 1} n^kH_n, k \ge 0$，其中$H_n= H_n^{(1)}$。此外，我们表示我们的结果在拉马努金求和的经典求和过程称为波莱尔和。
2009-01-22 math.CA math.NT
Modular equations and lattice sums
我们突出的模块化方程发现Somos和Ramanujan，并使用它们来证明格和和超几何函数之间的新关系。我们还讨论了Boyd的Mahler测度解的进展，并推测了导体17椭圆曲线的$L(E,2)$的新公式。
2011-07-31 math.NT
