Machine learning moment closure models for the radiative transfer equation III: enforcing hyperbolicity and physical characteristic speeds
Michigan State University（密歇根州立大学）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
这是我们为辐射传输方程（RTE）开发机器学习（ML）矩闭合模型的系列论文中的第三篇。在我们之前的工作\cite{huang2021gradient}中，我们提出了一种学习未闭合高阶矩的梯度的方法，该方法比学习矩本身和传统的$P_N$闭包要好得多。然而，虽然ML矩闭合具有更好的精度，但它不能保证双曲性并且具有长时间稳定性的问题。在我们的第二篇论文\cite{huang2021hyperbolic}中，我们确定了一个对称化子，它导致了基于梯度的ML闭包是可对称化的双曲型和长时间稳定的条件。这种方法的局限性在于，在实践中，最高时刻只能与四个或更少的较低时刻相关。在本文中，我们提出了一种新的方法来加强ML闭包模型的双曲性。出于观察，封闭系统的系数矩阵是一个较低的Hessenberg矩阵，我们将其特征值的根相关联的多项式。基于这种关系，我们设计了两种新的神经网络结构。由第一神经网络产生的ML闭合模型是弱双曲线的，并且保证了物理特征速度，即，本征值受光速限制。第二个模型是严格双曲型的，不能保证特征值的有界性。包括高斯信源问题和双材料问题在内的多个基准测试表明，我们的双曲ML封闭模型具有良好的精度、稳定性和推广性。
2021-09-02 cs.LG cs.NA math.NA
A unified fourth-order Bhatnagar-Gross-Krook lattice Boltzmann model for high-dimensional linear hyperbolic equations
本文提出高维线性双曲方程的统一四阶 BGK 格子 Boltzmann 模型，通过矩条件、边界格式和熵稳定性分析实现四阶精度与稳定性，并验证 full-way 边界格式更稳定。
2024-10-17 cs.NA math-ph math.MP
Asymptotic-preserving and positivity-preserving implicit-explicit schemes for the stiff BGK equation
Purdue University（普渡大学）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出一种二阶隐式显式方案，用于解决刚性BGK动力方程，该方案具有渐近保持和正性保持特性，且支持熵衰减性质，同时可推广至其他抛物型松弛系统。
2018-02-22 cs.NA math.NA
Positivity-Preserving Lax-Wendroff Discontinuous Galerkin Schemes for Quadrature-Based Moment-Closure Approximations of Kinetic Models
基于矩量法（QRST）提供了一类很有前途的近似技术，用于将动力学方程简化为在热力学平衡之外有效的流体方程。在这项工作中，我们研究了一个特定的五个时刻的变体称为HyQeroes的Qeroes，并建立该系统是在解空间的凸区域的时刻可逆。然后，我们开发了一个高阶不连续Galerkin（DG）计划解决由此产生的流体系统。该计划是基于预测-校正方法，其中的预测是一个本地化的空间-时间DG计划。预测中的非线性代数系统采用Picard迭代求解。修正是基于发展方程的时间积分的直接显式更新，其中时空预测取代了精确解的所有实例。在没有限制器的情况下，高阶格式并不能保证解保持在HyQdom矩可实现的凸集中。为了克服这一点，我们引入新的限制器，严格保证计算的解决方案不会离开可实现的解决方案的凸集，从而保证系统的双曲性。我们在预测和校正步骤中开发了保正限制器，并开发了一个振荡限制器，用于抑制冲击附近的非物理振荡。我们还开发了一种新的扩展，该计划包括BGK碰撞算子，所提出的方法被证明是渐近保持在高碰撞极限。的HyQNOW和HyQMOM-BGK求解器进行了验证，在几个测试用例，表现出高阶精度光滑的问题和冲击捕捉能力的问题与冲击。数值验证了HyQMOM-BGK求解器的渐近保持特性。
2022-10-24 cs.NA math.NA
Machine learning moment closure models for the radiative transfer equation IV: enforcing symmetrizable hyperbolicity in two dimensions
Department of Mathematical Sciences, University of Delaware（德克萨斯大学数学科学系）
本文提出在二维空间中扩展机器学习动量闭合模型，通过保持经典P_N模型的主部并修改最高阶块行，利用对称性和块三对角结构引入对角对称化算子，从而保证系统对称可超几何性。
2026-04-22 cs.LG cs.NA math.NA
A stable multiplicative dynamical low-rank discretization for the linear Boltzmann-BGK equation
University of Würzburg（维尔茨堡大学）；University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）；Norwegian University of Life Sciences（挪威生命科学大学）
针对线性Boltzmann-BGK方程的高维挑战，提出一种基于乘性分裂和基更新的秩自适应动态低秩近似方案，通过额外基增强保证数值稳定性，并推导了双曲CFL条件，数值实验验证了其精度和效率。
2026-05-29 cs.NA math.NA
A high-order relaxation method with projective integration for solving nonlinear systems of hyperbolic conservation laws
Ecole Centrale Paris（巴黎中央理工学院）；K.U. Leuven（荷语鲁汶大学）
本文提出一种高阶显式松弛方案，用于求解多维非线性双曲守恒律系统。该方案分为两步：首先将非线性双曲守恒律近似为具有刚性BGK源项的动能方程，然后利用投影积分法进行时间积分。通过少量小步长的简单显式方法抑制解的刚性部分，并在外层使用任意阶的Runge-Kutta方法估计时间导数。
2016-09-03 cs.NA math.NA
A Collision-Based Hybrid Method for the BGK Equation
针对BGK方程，提出基于非碰撞-碰撞分解的混合方法，采用任意阶DG空间离散与半隐式时间步进，隐式处理源项以克服刚性，无需渐近保持性质即可高效准确求解。
2023-06-20 cs.NA math.NA
Micro-macro kinetic flux-vector splitting schemes for the multidimensional Boltzmann-ES-BGK equation
Iowa State University（爱荷华州立大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
研究多维玻尔兹曼-ES-BGK方程，基于分布函数微观-宏观分解开发有限体积法，通过特定投影算子及离散处理碰撞和输运项，应用于测试案例并并行化，给出缩放研究。
2026-07-17 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
A Hyperbolic Neural Closure for M1 Radiation Transfer
Purdue University（普渡大学）；University of Notre Dame（圣母大学）
针对辐射传输模拟中M1方法简化系统不封闭问题，提出双曲神经封闭模型。通过两个神经网络对雅可比矩阵参数化确保实特征值，经数值积分重建封闭模型。该模型提高了封闭及解的精度，在相关模拟中保持稳定。
2026-07-14 cs.AI cs.CE cs.LG
An Adaptive-rank Approach with Greedy Sampling for Multi-scale BGK Equations
本研究提出带贪婪采样的自适应秩方法用于多尺度BGK方程模拟，拓展原有半拉格朗日自适应秩框架，引入局部宏观守恒校正保证守恒性与条件渐近保持性，支持大时间步长，数值验证了其捕捉激波的精度和宽克努森数混合区域的鲁棒性。
2025-09-05 cs.NA math.NA
High Order Asymptotic Preserving Nodal Discontinuous Galerkin IMEX Schemes for the BGK Equation
University of Houston（休斯顿大学）；University of California Riverside（加州大学河滨分校）；Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）
本文提出高阶渐近保持方案用于超声学尺度下的BGK方程，通过微-宏观分解和高阶IMEX时间离散化方法，实现高精度计算。
2014-06-17 cs.NA math.NA
Provably realizability-preserving finite volume method for quadrature-based moment models of kinetic equations
本文针对 Gaussian-EQMOM 与 HyQMOM 封闭的五矩双曲系统，构造带严格波速和状态约束的 HLL 有限体积格式，证明其在显式 CFL 及 BGK 条件下保持矩可实现性。
2025-10-21 cs.NA math.NA
Design Principle for Mode-Consistent Galerkin Closure under a Physical Energy Metric for Hyperbolic Systems
RIKEN Center for Computational Science（理化学研究所计算科学中心）
研究双曲系统伽辽金近似设计原理，基于荒川理念，通过引入物理能量密度度量\(H(U)\)，结合伽辽金投影与能量相容性封闭构造，使有限模式系统恢复模式能量交换结构，给出相关估计与方程。
2026-10-02 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Stability analysis of an extended quadrature method of moments for kinetic equations
本文针对一维BGK方程，开展扩展矩量积分离散方法（EQMOM）推导的矩封闭系统的稳定性分析，给出核函数的严格双曲充分条件，研究方法可实现性，并建立两节点系统的相关充要条件。
2023-06-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Dissipativeness of the hyperbolic quadrature method of moments for kinetic equations
本文针对一维BGK方程的HyQMOM求积矩方法，通过多项式封闭技术证明其矩封闭系统的严格双曲性，验证了数值格式的可实现性保持与系统的耗散性，完善了该方法的数学理论基础。
2024-06-20 cs.NA math.NA
Gaussian-Moment Relaxation Closures for Verifiable Numerical Simulation of Fast Magnetic Reconnection in Plasma
UNIVERSITY OF WISCONSIN – MADISON（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究了等离子体流体模型中最小要求以实现与动能模拟一致的收敛模拟，提出高斯矩两流体MHD模型并引入压力张量各向同性以解决奇异问题，提出10时刻旋向热通量闭合以提高模拟稳定性。
2014-09-25 cs.NA math.NA physics.plasm-ph
Data-driven, structure-preserving approximations to entropy-based moment closures for kinetic equations
我们提出了一个数据驱动的方法来构建基于熵的封闭的时刻系统的动力学方程。所提出的闭包通过拟合矩系统的矩和熵之间的映射来学习熵函数，因此不依赖于矩系统的时空离散化和特定的问题配置，例如初始和边界条件。通过凸近似和$C^2$近似，这个数据驱动的闭包继承了基于熵的闭包的几个结构属性，例如熵耗散、双曲性和H定理。我们构造凸近似的麦克斯韦-玻尔兹曼熵使用凸样条和神经网络，测试他们的平面源基准问题的线性运输板几何形状，并比较结果的标准，基于优化的M $_N$封闭。数值结果表明，这些数据驱动的闭包提供准确的解决方案，在更少的计算时间比M $_N$闭包。
2021-06-16 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Hyperbolic quadrature method of moments for the one-dimensional kinetic equation
对动力学理论中一个长期存在的开放问题提出了一种解决方法，即给定任意一组可实现的速度矩，构造了2n+1阶矩的封闭，使得从一维动力学方程的自由输运项中得到的矩系是全局双曲的，并且是保守形式的.在以前的工作中，双曲型矩量法（HyQ）被引入到四阶（n $\le$ 2）关闭这个时刻系统。在这里，HyQerk是重新制定和扩展到任意偶数阶的时刻。的HyQnovel封闭定义的基础上的唯一的速度矩的阶2n - 1定义的一元正交多项式Qn的属性。因此，HyQerk是严格的矩闭合，并且不依赖于具有相同矩的速度分布函数的重建。在矩空间的边界上，特征多项式P2 n +1的n个二重根是Qn的根，而在内部，P2 n +1与Qn共有n个根. P2 n +1的其余n + 1个根结合并分离Qn的根。本文在Chebyshev算法的基础上，提出了一种计算2n阶矩中2n + 1阶矩的有效算法。利用一维黎曼问题的解析解证明了HyQdom闭包随n的增加而收敛.
2021-03-18 cs.NA math.AP math.NA
Restoring Convergence Order in Explicit Runge-Kutta Integration of Hyperbolic PDE with Time-Dependent Boundary Conditions
Department of Engineering, City St George’s, University of London（伦敦城市圣乔治大学工程学院）
本文提出一种纯空间修正方法，通过重新设计边界邻近的前两个导数算子，解决显式龙格-库塔积分在处理时间依赖边界条件时的阶降问题，并通过约束微分进化算法优化五点闭合算子，恢复三阶收敛性。
2026-04-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Entropy conserving/stable schemes for a vector-kinetic model of hyperbolic systems
本文针对矢量动力学模型提出熵守恒与熵稳定数值格式，并证明其矩可分别导出宏观模型的对应格式，通过标量和浅水方程基准测试验证了动力学熵与宏观熵的守恒性和稳定性。
2023-10-26 cs.NA math-ph math.MP
On the rotational invariance and hyperbolicity of shallow water moment equations in two dimensions
本文研究二维浅水矩方程的旋转不变性与双曲性，通过两种方法证明旋转不变性，并分析特征多项式以确定双曲性，针对弱双曲情形提出修正，并推广至更一般的闭合关系，保持两种性质。
2024-11-07 cs.NA math.AP math.NA
Machine learning-based moment closure model for the linear Boltzmann equation with uncertainties
本文针对线性 Boltzmann 方程矩层级不封闭问题，提出神经网络学习最高阶矩空间梯度的 ML 矩封闭模型，并结合双曲性约束与 gPC 随机 Galerkin 方法处理确定性及不确定性情形。
2025-07-28 cs.NA math.NA
Stability Analysis of Quadrature-based Moment Methods for Kinetic Equations
Zhou Pei-Yuan Center for Applied Mathematics, Tsinghua University（清华大学周培源应用数学研究中心）；Department of Energy and Power Engineering, Tsinghua University（清华大学能源与动力工程系）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文针对一维Boltzmann方程中的二次法矩方法（QBMM）进行系统稳定性分析，探讨了在BGK或Shakhov模型下，该方法在非平衡流建模中的潜力，并证明了当用δ函数近似分布函数时，矩系统可能非双曲，而用高斯近似时则严格双曲且保持耗散性。
2018-12-14 cs.NA math.NA
Moment-enhanced shallow-water equations with an effective wall closure for no-slip bottoms
Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Delaware（特拉华大学）
该研究针对无滑移底部，推导了矩增强浅水方程的有效壁面闭合条件，通过与OpenFOAM的两相不可压缩Navier-Stokes计算对比，验证了其可减少过度阻尼、提升速度诊断一致性的效果。
2026-09-04 cs.NA math-ph math.MP
Neural network-based, structure-preserving entropy closures for the Boltzmann moment system
本文提出了基于神经网络的Boltzmann方程矩量系统的最小熵闭包，它保留了偏微分方程偏微分方程组的固有结构，如熵耗散和双曲性。所描述的方法嵌入凸性的时刻熵映射的神经网络近似，以保持最小熵闭包的结构。使用两种技术来实现这些方法。第一种方法近似矩和矩系统的最小熵之间的映射，并且通过设计是凸的。第二种方法近似的矩和拉格朗日乘子的对偶的最小熵最优化问题，它表示的熵的梯度相对于时刻之间的映射，并强制单调通过引入一个罚函数。我们推导了在Sobolev范数下训练的凸神经网络的泛化间隙的误差界，并利用所得结果构造了用于神经网络训练的数据采样方法。数值实验结果表明，基于神经网络的熵闭包为动力学求解器提供了显着的加速，同时保持了足够的精度。所描述的实现的代码可以在Github仓库中找到。
2022-01-25 cs.NA math-ph math.MP
3D B_2 Model for Radiative Transfer Equation Part I: Modelling
Peking University（北京大学）；Chinese Academy of Sciences（中国科学院）
本文扩展了之前研究的 slab 几何中的近似 M_2 模型到三维空间，提出 B₂ 模型作为第二种扩展四阶矩方法（EQMOM）的特例，证明其全局超几何性，并研究了模型的旋转不变性、可实现性和双曲性。
2017-05-30 cs.NA math.AP math.NA
A relaxation system for the low-Mach limit of kinetic equations: Stability and higher order asymptotic preserving scheme
本文提出一种基于微观-宏观分解和Grad 13矩系统的双曲松弛系统，用于低马赫数极限动力学方程模拟，并开发了高阶IMEX-WENO渐近保持格式，在保证结构稳定性的同时显著降低计算成本。
2026-10-02 cs.NA math.NA
