Solving forward and inverse problems in a non-linear 3D PDE via an asymptotic expansion based approach
本文利用渐近展开有效地求解了一类非线性奇摄动含时反应扩散平流方程的正问题和反问题。利用局部坐标在过渡层区域的渐近展开，证明了一类三维偏微分方程具有尖锐过渡层的光滑解的存在唯一性.此外，借助于渐近展开，导出了相应的源反问题的简化模型，该模型在除窄过渡层外的整个区域上都接近于原反问题。我们表明，这样的简化不降低精度的反演结果时，测量数据包含噪声。在此基础上，提出了一种渐近展开正则化算法，有效地解决了三维情况下的源反问题。一个模型问题表明所提出的数值方法的可行性。
2023-02-14 cs.NA math.NA
Laplace-fPINNs: Laplace-based fractional physics-informed neural networks for solving forward and inverse problems of subdiffusion
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出Laplace-fPINNs方法，通过避免引入辅助点和简化损失函数，有效解决了分数阶扩散方程正反问题中自动微分不适用于分数阶导数的挑战。
2023-04-03 cs.LG cs.NA math.NA
Normalizing field flows: Solving forward and inverse stochastic differential equations using physics-informed flow models
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Tongji University（同济大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
在这项工作中，我们介绍了归一化场流（NFF）学习随机场从分散的测量。更准确地说，我们构建了一个双射变换（一个归一化流表征的神经网络）之间的高斯随机场与Karhunen-Loève（KL）展开结构和目标随机场，其中KL展开系数和可逆网络的训练，通过最大化的对数似然分散的测量。该NFF模型可以在统一的框架下求解数据驱动的正、逆以及正/逆混合随机偏微分方程。我们证明了所提出的NFF模型学习非高斯过程和不同类型的随机偏微分方程的能力。
2021-09-07 cs.LG cs.NA math.NA
Variational regularisation for inverse problems with imperfect forward operators and general noise models
我们研究变分正则化方法的反问题，不完美的前向运营商的错误可以建模的序区间的部分顺序的巴拿赫格。我们进行了分析的存在性和凸对偶的一般数据保真度项和正则化泛函。对于先验和后验的参数选择规则，我们得到了正则解的收敛速度的Bregman距离。我们的研究结果适用于保真度条款，如Wasserstein距离，f-分歧，规范，以及这些的总和和无穷卷积。
2020-10-23 cs.NA math.NA math.OC
Inverse Problems with Learned Forward Operators
University College London（伦敦大学学院）；University of Oulu（奥卢大学）；University of Bath（巴斯大学）
本章回顾了具有学习型前向算子的反问题重建方法，涵盖两种范式：完全未知前向算子并学习其在数据子空间上的限制，以及基于简化物理模型并学习修正；两者均需或受益于前向算子及其伴随算子的训练数据。
2024-03-18 cs.LG cs.NA math.NA
Multi-variance replica exchange stochastic gradient MCMC for inverse and forward Bayesian physics-informed neural network
物理信息神经网络（PINN）已成功地应用于解决各种非线性非凸正、逆问题。然而，由于贝叶斯逆问题中的非凸损失函数和多个最优解，训练具有挑战性。在这项工作中，我们提出了一个多方差副本交换随机梯度Langevin扩散方法来解决的挑战，多个局部最优的优化和多模态后验分布的反问题。数据交换方法能够跳出局部陷阱，加快收敛速度。然而，它可能不是有效的解决数学反演问题，直接使用香草副本方法，因为该方法加倍的计算成本，在评估前向求解器（似然函数）在两个链。为了解决这个问题，我们建议对能量函数估计做出不同的假设，这使得人们可以在似然函数评估中使用不同的解算器。我们给出了交换率的无偏估计和方案的离散化误差的估计。为了验证我们的想法，我们设计并解决了四个具有多个模式的反问题。所提出的方法也被用来训练贝叶斯PINN来解决正问题和逆问题;与随机梯度Langevin扩散（SGLD）方法和香草副本交换方法相比，收敛速度更快，精度更高。
2021-07-13 cs.NA math.NA
A POD-DeepONet Framework for Forward and Inverse Design of 2D Photonic Crystals
Purdue University（普渡大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出一种POD-DeepONet框架，用于高效设计二维光子晶体的正向和逆向带结构，通过结合POD与神经网络实现高精度预测和稳定优化。
2026-01-01 cs.NA math.NA physics.optics
A domain decomposition preconditioning for the integral equation formulation of the inverse scattering problem
我们提出了区域分解预处理器的解决方案的积分方程制定的正、逆声散射问题的点散射体。我们研究了正问题和反问题，并提出了预处理技术，以加快迭代求解器。对于前向散射问题，我们扩展了{ \em“A restricted additive Schwarz preconditioner for general sparse线性系“，SIAM Journal on Scientific Computing，21（1999），pp. 792--797}，到积分方程。我们结合这个区域分解预条件与低秩校正，这是很容易构建，形成一个新的预条件。对于逆散射问题，我们使用的前向问题的预处理器作为一个积木构建一个预处理器的高斯-牛顿海森。我们提出的数值结果表明，这两个预处理策略的性能。
2019-09-16 cs.NA math.NA
Graph-based Prior and Forward Models for Inverse Problems on Manifolds with Boundaries
本文发展了流形学习技术，用于边界流形上偏微分方程约束贝叶斯反问题的数值解。我们引入图形Matérn型高斯场先验，使灵活的建模附近的边界，表示通过叠加适当的狄利克雷边界条件的调和函数的边界值。我们还研究了基于图形的逼近的正演模型从PDE参数观测量。在基于图的先验和前向模型的构建中，我们利用鬼点扩散映射算法来近似具有经典边界条件的二阶椭圆算子。数值结果验证了我们的基于图形的方法，并证明了需要设计先验协方差模型，考虑边界条件。
2021-06-12 cs.NA math.NA stat.CO
Reduced-order modeling for nonlinear Bayesian statistical inverse problems
贝叶斯统计反问题常采用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）型方法求解.当问题由大规模离散非线性偏微分方程（PDE）控制时，它们在计算上具有挑战性，因为需要在每个样本点处求解正问题。在本文中，使用离散经验插值方法（DEIM）被认为是在MCMC例程的正向解决。提出了DEIM模型的预处理策略，以加速正向求解。将预处理后的DEIM模型应用于MCMC模型中非线性偏微分方程的有限差分离散。数值实验表明，该方法可以得到精确的正演结果。此外，解决相关的统计逆问题的计算成本降低了70%以上。
2019-08-30 cs.NA math.NA
Self-adaptive physics-informed neural network for forward and inverse problems in heterogeneous porous flow
Department of Mathematics, University of Alabama at Birmingham（阿拉巴马大学伯明翰分校数学系）；Department of Mathematics and Statistics, and Center for Trustworthy Artificial Intelligence through Model Risk Management (TAIMing AI), University of North Carolina (UNC) at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校数学与统计系及通过模型风险管理建立可信人工智能中心（TAIMing AI））
本文提出了一种自适应物理信息神经网络，用于解决异质多孔流的正向和反向问题，通过自学习损失权重和交错优化策略提升求解精度与鲁棒性。
2025-12-16 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
A residual weighted physics informed neural network for forward and inverse problems of reaction diffusion equations
本研究提出残差加权物理信息神经网络RW-PINN，通过将与PDE残差成正比的重缩放权重纳入损失函数提升训练稳定性，建立广义误差界并分析收敛性，经数值实验验证其在反应扩散方程正反问题上的性能优于传统PINN。
2025-09-02 cs.NA math.NA
An inverse-free fixed-time stable dynamical system and its forward-Euler discretization for solving generalized absolute value equations
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Fujian Normal University（福建师范大学数学与统计学院）；Institute for Optimization and Decision Analytics, Liaoning Technical University（辽宁工业大学优化与决策分析研究所）；School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
提出无逆固定时间稳定动力系统及前向欧拉离散化迭代方法求解GAVE，前者收敛时间有限且初始点一致有界，后者有限步内全局收敛到解的任意小邻域，数值结果验证有效性。
2025-11-19 cs.NA math.NA math.OC
Forward--Inverse Interplay in FEM-Based EEG Source Imaging: Distributional Signatures of Advanced Source Models and Inverse Solvers
Mathematics Research Center, Faculty of Information Technology and Communication Sciences Tampere University（坦佩雷大学信息与传播科学学院数学研究中心）
研究正反问题交互对EEG源成像的影响，分析不同源模型对反演方法成功率的影响，通过分布特征评估源模型与反演方法的匹配性。
2026-07-30 cs.NA math.NA
Isogeometric multilevel quadrature for forward and inverse random acoustic scattering
研究了三维空间中任意形状障碍物声散射正、逆问题的快速等几何边界元法数值解。在等几何框架内，随机散射体的实现可以通过简单地更新表示散射体的NURBS映射来有效地计算。这样，我们就得到了一个随机变形场。特别是，我们表明，变形场的期望和协方差在散射体的表面的知识已经足以计算表面的Karhunen-Loève展开。利用等几何框架，我们利用多层次的求积方法的有效近似感兴趣的数量，如散射波的期望值和方差。计算波的柯西数据在一个人为的，固定的界面包围随机障碍，我们也可以直接推断出在自由空间感兴趣的数量。采用贝叶斯范式，我们最终计算预期的形状和方差的散射体从噪声测量的散射波在人工界面。正问题和反问题的数值结果证明了所提出的方法的可行性。
2020-10-27 cs.NA math.NA
Bayesian Inversion with Neural Operator (BINO) for Modeling Subdiffusion: Forward and Inverse Problems
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
分数阶扩散方程是模拟复杂系统中反常扩散的有效工具。然而，传统的数值方法由于时间分数阶导数卷积积分带来的记忆效应，需要昂贵的计算成本和存储资源。我们提出了一个贝叶斯反演与神经算子（BINO），以克服在传统方法的困难如下。我们采用深度算子网络来学习分数扩散方程的解算子，使我们能够快速精确地解决给定输入（包括分数阶，扩散系数，源项等）的正问题。此外，我们将深度算子网络与贝叶斯反演方法相结合，用于通过子扩散过程对问题进行建模并解决逆子扩散问题，从而显着降低了时间成本（而不会遭受存储资源过载）。大量的数值实验表明，本文提出的算子学习方法可以有效地求解次扩散方程的正问题和贝叶斯反问题.
2022-11-22 cs.LG cs.NA math.NA
Physics informed neural network for forward and inverse radiation heat transfer in graded-index medium
针对梯度折射率介质辐射传热的精度问题，提出基于PINNs的机器学习算法求解正逆问题，提供理论上界，数值实验证明其准确鲁棒且能缓解振荡误差。
2024-12-24 cs.NA math.NA
Random forward models and log-likelihoods in Bayesian inverse problems
我们考虑使用随机正向模型和对数似然内的贝叶斯方法来反问题。当使用更便宜的随机替代来近似计算上昂贵的模型时，如在高斯过程仿真（克里金法）中或在概率数值方法领域中，自然会出现对精确正演模型或对数似然的这种随机近似。我们证明了精确和近似贝叶斯后验之间的Hellinger距离是由真实和近似对数似然之间的差异的矩所限定的。这些稳定性结果的应用实例给出随机失配模型在大数据应用和概率解的常微分方程。
2018-09-28 cs.NA math.NA math.PR
A bilinear inverse problem with forward operator inaccuracy applied to neonatal atlas-based diffuse optical tomography
Aalto University（阿尔托大学）
本文提出一种双线性张量逆问题模型，结合PCA分析前向算子的变异，改进了新生儿扩散光学层析成像中因图谱模型不准确导致的重建问题。
2026-10-02 cs.NA math.NA
Efficient evaluation of forward and inverse energy-based magnetic hysteresis operators
本文针对基于能量的矢量磁滞模型中非光滑最小化问题求解困难，提出正则化近似并结合牛顿法高效求解正向与逆向磁滞算子，使逆向求解成本与正向相当，并通过基准测试验证了方法有效性。
2025-07-21 cs.NA math.NA
Data-driven forward-inverse problems for Yajima-Oikawa system using deep learning with parameter regularization
研究了数据驱动的Yajima-Oikawa（YO）系统的正逆问题，采用了两种提高深度物理信息神经网络（PINN）中神经网络性能的技术，即神经元局部自适应激活函数和$L^2$范数参数正则化.实际上，我们不仅在YO系统的正问题中利用三种不同的初始边值条件恢复了三种不同形式的矢量无赖波（RWs），包括亮-亮RWs、中-亮RWs和暗-亮RWs，而且利用不同噪声强度的训练数据研究了YO系统的反问题。针对YO系统逆问题中，仅采用局部自适应激励函数的PINN利用有噪声干扰的训练数据时，学习未知参数的能力不理想的问题，在具有局部自适应激励函数的PINN中引入了$L^2$范数正则化，使权值更接近原点，然后用有噪声干扰的训练数据研究YO系统的逆问题，发现两种策略的PINN模型表现出惊人的训练效果。
2021-12-28 cs.NA math.NA nlin.SI
Finite Element Method-enhanced Neural Network for Forward and Inverse Problems
Siemens AG（西门子股份公司）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）
我们介绍了一种新的混合方法，结合经典的有限元法（FEM）与神经网络创建一个性能良好的和可推广的代理模型的正问题和反问题。该算法将有限元法的残差和神经网络的自定义损失函数相结合。有限元法-增强型神经网络混合模型（FEM-NN hybrid）具有数据高效、物理符合等优点。所提出的方法可用于代理模型的实时仿真，不确定性量化和优化的情况下，向前的问题。它可用于在逆问题的情况下更新模型。通过实例验证了该方法的有效性，并与传统的网络训练方法和经典的有限元法进行了比较。最后给出了正解算法在高层建筑风效应不确定性量化中的应用。将该逆算法应用于流体轴承转速相关的轴承系数辨识。这种混合的方法将作为一个范式转变，在目前使用的模拟方法。
2022-05-17 cs.CE cs.LG cs.NA
Probabilistic Numerical Methods for PDE-constrained Bayesian Inverse Problems
本文发展了概率描述偏微分方程数值解中离散误差的无网格方法。这种结构使贝叶斯逆问题的解决方案，同时考虑到正向问题的离散化的影响。特别地，这使得统计推断在存在显著求解器误差的情况下更加保守。理论结果描述的收敛速度的后验的正问题和反问题。该方法是一个具有挑战性的反问题与非线性正演模型进行测试。
2017-01-15 cs.NA math.NA math.ST
Self-supervised learning for a nonlinear inverse problem with forward operator involving an unknown function arising in photoacoustic tomography
在这篇文章中，我们关注的是一个非线性反问题的前向算子涉及一个未知的功能。这个问题出现在不同的应用中，并且在存在未知函数的情况下具有挑战性，这使得它不适定。此外，问题的非线性性质使得难以使用传统方法，因此，该研究通过线性化或假设未知函数的知识来解决问题的简化版本。在这里，我们提出了自监督学习来直接解决涉及未知函数的非线性逆问题。特别是，我们专注于一个逆问题，在光声断层扫描（PAT），这是一个混合的医学成像具有高分辨率和对比度。PAT可以基于波动方程建模。所测量的数据提供了对方程的解，该方程被限制为包含关于感兴趣对象的生物信息的方程的表面和初始压力。方程中声波的速度是未知的。我们的目标是同时确定声波的初始压强和速度。在简单假设声速是初始压力的函数的情况下，该问题变成涉及未知函数的非线性反问题。实验结果表明，该框架执行成功。
2023-02-04 cs.NA math.NA
Sampling Methods for Bayesian Inference Involving Convergent Noisy Approximations of Forward Maps
我们提出了贝叶斯技术解决逆问题，其中涉及均方收敛随机近似的正向映射。前向映射的噪声近似出现在多尺度问题和概率数值方法等领域。在这些领域中，随机近似可以提高推理过程的质量或效率，但由于前向映射的随机性，需要额外的理论和计算困难。解决这个问题的标准技术是将蒙特卡洛平均与马尔可夫链蒙特卡洛采样器相结合，例如在伪边缘Metropolis-Hastings方法中。在本文中，我们考虑均方收敛的随机近似，并量化如何蒙特卡罗误差传播的正向映射的反问题的解决方案。此外，我们回顾和描述简单的技术来解决这样的反问题，并比较性能与一系列的数值实验。
2021-11-05 cs.NA math.NA
Physics-informed neural networks for solving forward and inverse problems in complex beam systems
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
本文提出利用物理信息神经网络求解基于欧拉-伯努利和铁木辛柯理论的单梁及温克勒地基连接双梁系统的正反问题，正问题误差低于1e-3%，反问题在含噪声数据下仍能稳健识别未知参数和外力。
2023-08-29 cs.LG cs.NA math.NA
An Efficient Approach for Computing Optimal Low-Rank Regularized Inverse Matrices
用于计算不适定逆问题的解的标准正则化方法需要了解正演模型。在许多现实应用中，前向模型是未知的，但训练数据很容易获得。在本文中，我们开发了一个新的框架，使用训练数据作为前向模型知识的替代品，直接计算最佳低秩正则化逆矩阵，从而可以非常快速地计算正则化解。我们考虑一个基于贝叶斯和经验贝叶斯风险最小化的统计框架来分析问题的理论性质。我们提出了一种有效的秩更新方法来计算各种误差测量的最佳低秩正则逆矩阵。数值实验表明，我们的方法在信号和图像处理的问题的好处和潜在的应用。
2014-04-06 cs.NA math.NA
Efficient forward and inverse uncertainty quantification for dynamical systems based on dimension reduction and Kriging surrogate modeling in functional space
针对有限训练样本下复杂动力系统高精度代理建模难的问题，提出基于函数降维的Kriging框架KFDR，通过函数空间映射降维构建代理模型，实现高效准确的动力系统正逆不确定性量化。
2025-03-19 cs.NA math.DS math.NA
Inexact Generalized Golub-Kahan Methods for Large-Scale Bayesian Inverse Problems
本文针对正演算子不精确且先验协方差难以分解的大规模贝叶斯反问题，提出不精确广义Golub-Kahan分解与混合迭代投影方法，实现Tikhonov正则化参数自动选择，并通过模拟层析成像实验验证其稳定性和有效性。
2024-11-21 cs.NA math.NA
Deep Neural Network Approach to Forward-Inverse Problems
Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学）；California State University Long Beach（加州州立大学长滩分校）
在本文中，我们使用深度神经网络（DNN）构造微分方程（DE）的近似解。此外，我们提出了一个架构，其中包括通过实验数据，反问题，找到模型参数的过程。也就是说，我们提供了DNN架构的统一框架，该框架同时近似于分析解及其模型参数。该架构包括一个前馈DNN与非线性激活函数依赖于DE，自动微分，降阶，和梯度的最优化方法。我们还从理论上证明了所提出的DNN解决方案收敛到一个分析解在一个合适的函数空间的基本DE。最后，我们进行了数值实验，以验证我们的简化DNN架构的鲁棒性的一维输运方程，二维热方程，二维波动方程，和Lotka-Volterra系统。
2019-07-27 cs.LG cs.NA math.AP
SwitchNet: a neural network model for forward and inverse scattering problems
Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, CA 94305.（斯坦福大学数学系）；Department of Mathematics（数学系）；ICME, Stanford University, Stanford, CA 94305. Facebook AI Research, Menlo Park, CA 94025.（斯坦福大学计算数学与工程系，Facebook人工智能研究实验室）
SwitchNet通过建立散射体与散射场之间的映射，解决基于波方程的反散射问题，利用低秩结构和稀疏连接的切换层减少参数量并提升训练效率。
2018-10-23 cs.LG cs.NA math.NA
Forward and Inverse Problems in Nonlinear Acoustics
针对超声人体组织成像需利用非线性效应和处理分数阶衰减的需求，本文阐述非线性与分数阶阻尼建模、分析相关偏微分方程的挑战及参数渐近性，并探讨非线性参数成像这一拟线性波动方程系数识别逆问题。
2025-02-12 cs.NA math.AP math.NA
Physics and Equality Constrained Artificial Neural Networks: Application to Forward and Inverse Problems with Multi-fidelity Data Fusion
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
物理信息神经网络（PINN）已经被提出来学习偏微分方程（PDE）的解。在PINN中，感兴趣的PDE的残差形式及其边界条件被集中到一个复合目标函数中作为软惩罚。在这里，我们表明，这种特定的方式制定的目标函数的PINN方法的严重局限性时，适用于不同种类的偏微分方程的来源。为了解决这些限制，我们提出了一个通用的框架，基于约束优化问题的制定，在那里我们使用增广拉格朗日方法（ALM）来约束PDE的解决方案，其边界条件和任何高保真数据，可能是可用的。我们的方法是善于多保真度数据融合的正问题和逆问题。我们通过将其应用于涉及多维偏微分方程的几个正问题和逆问题，展示了我们的物理和等式约束深度学习框架的有效性和多功能性。与最先进的物理信息神经网络相比，我们的框架在准确性水平上实现了数量级的提高。
2022-05-21 cs.LG cs.NA math.NA
Nonlinear RMM-GKS for Large-Scale Dynamic and Streaming Inverse Problems with Uncertain Forward Operators
Tufts University（塔夫茨大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Emory University（埃默里大学）
本文提出非线性RMM-GKS框架，用于处理具有不确定正向算子的大规模动态反问题，通过交替最小化和变量投影方法，结合流式处理和时间正则化策略，实现高质量重建。
2026-05-07 cs.NA math.NA
GAIA: Geometry-Adaptive Operator Learning for Forward and Inverse Problems
University of Maryland, College Park（马里兰大学学院公园分校）；University of Delaware, Newark（特拉华大学新伯伦分校）
提出几何自适应积分自编码器(GAIA)，通过几何令牌和交叉注意力机制，统一处理任意几何上的正问题和反问题，在七个基准上取得最优结果。
2026-07-02 cs.LG cs.NA math.NA
Space-time shape uncertainties in the forward and inverse problem of electrocardiography
在心电图中，“经典”逆问题是从体表的远程记录和解剖结构的准确描述重建包围心脏的表面处的电势。后者受到噪声的影响，并且由于临床约束而以有限的分辨率获得，可能在逆重建中存在很大的不确定性。本工作的目的是研究形状不确定性对心电图正问题和逆问题的影响。为此，首先将问题转化为边界积分公式，然后用配置法离散化，以实现高收敛速度和快速求解。该域的形状不确定性由定义在参考位形上的随机变形场表示。我们提出了一个时间协方差核的随机场和近似的Karhunen-Loève展开使用低秩技术的快速采样。用各向异性稀疏求积方法计算了期望势及其方差的时空不确定性，并用拟蒙特卡罗方法进行了验证。我们提出了几个数值实验上的简化，但生理接地的二维几何形状，以说明该方法的有效性。测试的参数尺寸范围为100至600。对于正问题，稀疏求积是非常有效的。在反问题中，稀疏求积和拟蒙特卡罗方法的表现与预期一致，除了全变差正则化，收敛性受到缺乏规律性的限制。最后，我们调查的$H^{1/2}$正规化，这自然源于边界积分制定，并比较它更经典的方法。
2021-06-28 cs.CE cs.NA math.NA
Monte Carlo PINNs: deep learning approach for forward and inverse problems involving high dimensional fractional partial differential equations
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Tongji University（同济大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
我们介绍了一种基于采样的机器学习方法，蒙特卡罗物理告知神经网络（MC-PINNs），用于求解正向和逆分数阶偏微分方程（FPDE）。作为物理信息神经网络（PINN）的推广，我们的方法依赖于深度神经网络代理以及用于计算DNN输出的分数阶导数的随机近似策略。在我们的MC-PINN的一个关键成分是构造一个无偏估计的物理软约束的损失函数。与\cite{pang2019fpinns}中提出的fPINN相比，我们的直接采样方法可以产生更少的总计算成本，从而为求解高维分数偏微分方程提供了机会。我们通过几个例子验证了MC-PINNs方法的性能，包括高维分数阶Laplacian积分方程，时间-空间分数阶偏微分方程的参数识别，分数阶扩散方程的随机输入。结果表明，MC-PINNs是灵活的，有希望解决高维FPDE。
2022-03-16 cs.LG cs.NA math.NA
A Consistent Bayesian Formulation for Stochastic Inverse Problems Based on Push-forward Measures
University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出了一种基于推进测度的随机反问题一致贝叶斯方法，通过贝叶斯更新方法求解确定性模型参数的反问题，并通过数值方法验证了该方法的正确性和有效性。
2017-04-03 cs.NA math.NA stat.CO
Convergence analysis for forward and inverse problems in singularly perturbed time-dependent reaction-advection-diffusion equations
利用渐近展开法证明了一类含小尺度参数的不定常非线性奇摄动偏微分方程光滑解的存在唯一性.作为一个副产品，我们得到一个近似的光滑的解决方案，构造从一系列减少平稳偏微分方程消失的高阶导数项。我们证明了所构造的近似解的精度在整个区域内可以是这个小尺度参数的任意阶，除了可以忽略的过渡层。此外，基于一个更简单的链接方程之间的近似解和源函数，我们提出了一个有效的算法，称为渐近展开正则化（AER），解决非线性反源问题的原始偏微分方程。证明了AER的收敛速度，并在源函数的一些先验假设下研究了AER的后验误差估计。各种数值例子来证明我们的新方法的效率。
2022-10-10 cs.NA math.NA
Data-Driven Forward Discretizations for Bayesian Inversion
本文提出了一个框架，学习昂贵的前向模型的离散化贝叶斯逆问题。其主要思想是将离散化的参数作为贝叶斯机器中待估计的未知数的一部分。我们数值计算表明，在机械工程，信号处理和地球科学中出现的各种反问题，观测包含有用的信息，以指导离散化的选择。
2020-08-21 cs.NA math.NA stat.CO
Posterior error bounds for prior-driven balancing in linear Gaussian inverse problems
Institut für Mathematik, Universität Potsdam（波茨坦大学数学研究所）
针对线性高斯逆问题，利用逆的摄动理论推导近似后验均值和协方差的误差界，并应用于线性时不变动力系统的平滑问题，建立系统理论与逆问题的新联系，给出基于平衡截断的模型降阶方法的先验误差界。
2026-06-15 cs.NA cs.SY eess.SY
Convergence analysis of multi-step one-shot methods for linear inverse problems
针对正问题可迭代求解的线性逆问题，研究分析两类多步单次法的收敛条件并通过数值实验验证其相比经典梯度下降法的优势，发现极少正问题内迭代即可保障反演收敛效果。
2022-07-26 cs.NA math.NA math.OC
Learning-guided Kansa collocation for forward and inverse PDEs beyond linearity
Department of Computer Science and Technology（计算机科学与技术系）；Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics（应用数学与理论物理系）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文提出基于学习的Kansa配点法，用于解决超越线性的正向和反向PDEs问题，通过扩展CNF框架并应用到耦合和非线性场景，实现高效求解与自调技术。
2026-03-03 cs.AI cs.CE cs.LG
Solving Forward and Inverse Problems of Contact Mechanics using Physics-Informed Neural Networks
Institute for Mathematics and Computer-Based Simulation (IMCS), University of the Bundeswehr Munich（慕尼黑联邦国防军大学数学与计算机模拟研究所）；Institute for the Protection of Terrestrial Infrastructures, German Aerospace Center (DLR)（德国航空航天中心陆地基础设施保护研究所）
本研究探索物理信息神经网络（PINNs）求解小变形弹性接触力学正反问题的能力，采用混合变量公式结合输出变换处理边界硬约束，用Fischer-Burmeister函数将KKT条件作为软约束纳入损失，验证了PINNs的多种应用场景及优化器组合的重要性。
2023-08-24 cs.LG cs.NA math.NA
Deep neural network methods for solving forward and inverse problems of time fractional diffusion equations with conformable derivative
物理信息神经网络（PINNs）在求解偏微分方程方面显示出巨大的优势。本文首次提出用PINNs研究保形时间分数阶扩散方程。通过解决监督学习任务，我们设计了一个新的时空函数逼近器，具有较高的数据效率。采用L-BFGS算法对损失函数进行优化，采用反向传播算法对参数进行更新，得到数值解。对于正问题，我们可以用IC/BC作为数据，用PINN求解相应的偏微分方程。三个数值例子证明了我们的方法的有效性。特别地，当保形分数阶导数$α$的阶数趋于$1$时，引入一类加权PINN来克服解的奇异性所引起的精度下降.对于反问题，我们利用所获得的数据对神经网络进行训练，并详细阐述了方程中参数$λ$的估计。同样，我们给出了三个数值例子，表明即使训练数据中含有1%的不相关噪声，我们的方法也能准确地识别参数。
2021-08-17 cs.NA math.AP math.NA
Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in parametric PDEs
University of Cambridge（剑桥大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
本文提出物理驱动的深度隐变量模型PDDLVM，通过概率建模和变分推断同时学习参数化PDE的正问题与反问题映射，训练后无需独立求解即可实时预测，并在多个PDE问题上实现比FEM快三个数量级的加速及不确定性估计。
2023-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Conforming and Nonconforming Finite Element Methods for Biharmonic Inverse Source Problem
本文讨论了有限维测量数据的双调和源反问题的数值逼近。这个统一的框架，特别是涵盖了协调和非协调有限元法（FEM）。反问题通过正问题进行分析。正解的误差估计是在一个抽象的设置，适用于符合和Morley的有限元。由于反问题是不适定的，Tikhonov正则化被认为是获得一个稳定的近似解。针对不同的正则化方案，建立了正则化解的误差估计。数值结果证实了理论结果。
2021-06-14 cs.NA math.FA math.NA
When is the combined load identifiable from a stress-intensity profile? A coupled forward-inverse study on SIFBench finite-element data
Université de Picardie Jules Verne（皮卡第儒勒·凡尔纳大学）
研究从裂纹应力强度因子分布恢复载荷大小的反问题，核心方法是利用已知几何形状的线性正向映射及裂纹前沿算子，主要贡献是刻画载荷可识别条件、给出估计器并验证其在SIFBench角裂纹场景中的表现。
2026-07-16 cond-mat.mtrl-sci cs.AI cs.LG
Random Inverse Problems with Structural and Probabilistic Ambiguities
Munich University of Applied Sciences（慕尼黑应用科学大学）
该论文针对含结构与概率歧义的随机逆问题，提出结合混合模型密度的贝叶斯反演算法，经数值实验验证其可解决此类逆问题的概率歧义。
2026-08-13 cs.NA math.NA stat.CO
