代数 de Rham 定理与 Baker-Akhiezer 函数
Algebraic de Rham theorem and Baker-Akhiezer function
AI总结：
本文证明代数曲线上的代数 de Rham 定理，用非特殊有效除子构造辛基，并据此刻画 Picard/Jacobian 切空间、导出对应 Dubrovin 方程的向量场及 Baker-Akhiezer 函数。
摘要：
对于代数曲线——即紧 Riemann 曲面——的情形，本文证明了亏格为 g 的 Riemann 曲面 X 的 de Rham 上同调群 $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$ 具有自然的辛向量空间结构。在 X 上每选取一个次数为 g 的非特殊有效除子 D，都会定义 $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$ 的一组辛基，该基由在 D 上带极点的全纯微分和第二类微分组成。这一结果即代数 de Rham 定理，被用于通过第二类微分描述 X 的 Picard 簇与 Jacobian 簇的切空间，并在 X 的 Jacobian 簇上定义使除子 D 的各点移动的自然向量场。按照代数曲线上的 Lax 形式体系，这些向量场对应于可积系统理论中的 Dubrovin 方程，而 Baker-Akhiezer 函数可通过沿积分曲线积分自然得到。
英文摘要：
For the case of algebraic curves - compact Riemann surfaces - it is shown that de Rham cohomology group $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$ of a genus $g$ Riemann surface $X$ has a natural structure of a symplectic vector space. Every choice of a non-special effective divisor $D$ of degree $g$ on $X$ defines a symplectic basis of $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$, consisting of holomorphic differentials and differentials of the second kind with poles on $D$. This result, the algebraic de Rham theorem, is used to describe the tangent space to Picard and Jacobian varieties of $X$ in terms of differentials of the second kind, and to define a natural vector fields on the Jacobian of $X$ that move points of the divisor $D$. In terms of the Lax formalism on algebraic curves, these vector fields correspond to the Dubrovin equations in the theory of integrable systems, and the Baker-Akhierzer function is naturally obtained by the integration along the integral curves.
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