经典刘维尔作用量与轨道黎曼曲面的均匀化
Classical Liouville Action and Uniformization of Orbifold Riemann Surfaces
AI总结：
本文在亏格大于1的轨道黎曼曲面上研究经典刘维尔场论，通过广义肖特基空间定义正则化刘维尔作用量，证明其指数给出重言线丛张量积上的埃尔米特度量，并揭示该作用量生成辅助参数且其负值作为 Weil-Petersson 与 Takhtajan-Zograf 度量组合的 Kähler 势。
摘要：
我们研究亏格 $g>1$ 的黎曼曲面上的经典刘维尔场论，其中存在与阶数 $m_i>1$ 的分支点相关联的顶点算子。为此，我们考虑广义肖特基空间 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$，它作为（紧化后的）底层黎曼曲面的肖特基空间 $\mathfrak{S}_g$ 上的全纯纤维化而得到。这些纤维对应于 $n$ 个阶数为 $\boldsymbol{m}=(m_1,\dots,m_n)$ 的轨道点的构型空间。借鉴 Park、Teo 和 Takhtajan \cite{park2015potentials} 以及 Takhtajan 和 Zograf \cite{ZT_2018} 的先前工作，我们为 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上的重言线丛 $\mathscr{L}_i$ 定义了埃尔米特度量 $\mathsf{h}_i$。这些度量用肖特基域的覆盖映射 $J$ 的展开式首项系数表示。此外，我们利用亏格 $g>1$ 的黎曼轨道曲面上的肖特基全局坐标定义了正则化经典刘维尔作用量 $S_{\boldsymbol{m}}$。我们证明 $\exp{S_{\boldsymbol{m}}/π}$ 是 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上的 $\mathbb{Q}$-线丛 $\mathscr{L}=\bigotimes_{i=1}^{n}\mathscr{L}_i^{\otimes (1-1/m_i^2)}$ 上的一个埃尔米特度量。进一步地，我们显式计算了肖特基形变空间 $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ 上光滑实值函数 $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}=S_{\boldsymbol{m}}-π\sum_{i=1}^n(m_i-\tfrac{1}{m_i})\log\mathsf{h}_{i}$ 的一阶和二阶变分。我们建立了两个关键结果：(i) $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 生成辅助参数与附加参数的组合；(ii) $-\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ 作为 Weil-Petersson 度量和 Takhtajan-Zograf 度量特定组合的 Kähler 势，这些度量出现在轨道黎曼曲面的局部指标定理中 \cite{ZT_2018}。
英文摘要：
We study the classical Liouville field theory on Riemann surfaces of genus $g>1$ in the presence of vertex operators associated with branch points of orders $m_i>1$. In order to do so, we consider the generalized Schottky space $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$ obtained as a holomorphic fibration over the Schottky space $\mathfrak{S}_g$ of the (compactified) underlying Riemann surface. Those fibers correspond to configuration spaces of $n$ orbifold points of orders $\boldsymbol{m}=(m_1,\dots,m_n)$. Drawing on the previous work of Park, Teo, and Takhtajan \cite{park2015potentials} as well as Takhtajan and Zograf \cite{ZT_2018}, we define Hermitian metrics $\mathsf{h}_i$ for tautological line bundles $\mathscr{L}_i$ over $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$. These metrics are expressed in terms of the first coefficient of the expansion of covering map $J$ of the Schottky domain. Additionally, we define the regularized classical Liouville action $S_{\boldsymbol{m}}$ using Schottky global coordinates on Riemann orbisurfaces with genus $g>1$. We demonstrate that $\exp{S_{\boldsymbol{m}}/π}$ serves as a Hermitian metric on the $\mathbb{Q}$-line bundle $\mathscr{L}=\bigotimes_{i=1}^{n}\mathscr{L}_i^{\otimes (1-1/m_i^2)}$ over $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$. Furthermore, we explicitly compute the first and second variations of the smooth real-valued function $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}=S_{\boldsymbol{m}}-π\sum_{i=1}^n(m_i-\tfrac{1}{m_i})\log\mathsf{h}_{i}$ on the Schottky deformation space $\mathfrak{S}_{g,n}(\boldsymbol{m})$. We establish two key results: (i) $\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ generates a combination of accessory and auxiliary parameters, and (ii) $-\mathscr{S}_{\boldsymbol{m}}$ acts as a Kähler potential for a specific combination of Weil-Petersson and Takhtajan-Zograf metrics that appear in the local index theorem for orbifold Riemann surfaces \cite{ZT_2018}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
