超越色临界图的超饱和问题
Supersaturation beyond color-critical graphs
AI总结：
本文研究超饱和问题，构造反例反驳Mubayi猜想，扩展Pikhurko-Yilma结果至更广图族，并证明存在图F使等式成立的阈值q=Θ(n^{1-1/s})。
摘要：
给定图 $F$ 的超饱和问题要求确定在具有 $ex(n,F)+q$ 条边的 $n$ 顶点图中 $F$ 的副本数的最小值 $h_F(n,q)$。Rademacher、Erdős 以及 Lovász 和 Simonovits 的后续工作确定了团 $F$ 的最优范围 $q$（关于 $n$ 是线性的），使得 $h_F(n,q)$ 等于从最大 $F$-free $n$ 顶点图添加 $q$ 条新边所得到的 $F$ 的副本数的最小值 $t_F(n,q)$。Mubayi 的突破性结果将这一研究路线从团扩展到色临界图 $F$，Pikhurko 和 Yilma 进一步强化了这一结果，他们证明了对于 $1\leq q\leq ε_F n$ 且 $n$ 足够大时，等式 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 成立。在本文中，我们提出了关于超饱和问题的若干结果，这些结果超越了现有框架。首先，我们显式构造了无穷多个具有受限性质的图 $F$，使得当 $n\gg q\geq 4$ 时，$h_F(n,q)<q\cdot t_F(n,1)$ 成立，从而反驳了 Mubayi 的一个猜想。其次，我们扩展了 Pikhurko-Yilma 的结果，证明对于多样且丰富的图族（包括色临界图、团 $K_r$ 的不交并以及 Petersen 图）中的任意成员 $F$，在范围 $1\leq q\leq ε_F n$ 内等式 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 成立。最后，我们证明对于任意正整数 $s$，存在一个图 $F$，使得当 $1\leq q\leq ε_F n^{1-1/s}$ 时 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 成立，而当 $n^{1-1/s}/ε_F\leq q\leq ε_F n$ 时 $h_F(n,q)<t_F(n,q)$，这表明 $q=Θ(n^{1-1/s})$ 是等式 $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ 成立的阈值。我们还讨论了一些附加评论和相关的开放问题。
英文摘要：
The supersaturation problem for a given graph $F$ asks for the minimum number $h_F(n,q)$ of copies of $F$ in an $n$-vertex graph with $ex(n,F)+q$ edges. Subsequent works by Rademacher, Erdős, and Lovász and Simonovits determine the optimal range of $q$ (which is linear in $n$) for cliques $F$ such that $h_F(n,q)$ equals the minimum number $t_F(n,q)$ of copies of $F$ obtained from a maximum $F$-free $n$-vertex graph by adding $q$ new edges. A breakthrough result of Mubayi extends this line of research from cliques to color-critical graphs $F$, and this was further strengthened by Pikhurko and Yilma who established the equality $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ for $1\leq q\leq ε_F n$ and sufficiently large $n$. In this paper, we present several results on the supersaturation problem that extend beyond the existing framework. Firstly, we explicitly construct infinitely many graphs $F$ with restricted properties for which $h_F(n,q)<q\cdot t_F(n,1)$ holds when $n\gg q\geq 4$, thus refuting a conjecture of Mubayi. Secondly, we extend the result of Pikhurko-Yilma by showing the equality $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ in the range $1\leq q\leq ε_F n$ for any member $F$ in a diverse and abundant graph family (which includes color-critical graphs, disjoint unions of cliques $K_r$, and the Petersen graph). Lastly, we prove the existence of a graph $F$ for any positive integer $s$ such that $h_F(n,q)=t_F(n,q)$ holds when $1\leq q\leq ε_F n^{1-1/s}$, and $h_F(n,q)<t_F(n,q)$ when $n^{1-1/s}/ε_F\leq q\leq ε_F n$, indicating that $q=Θ(n^{1-1/s})$ serves as the threshold for the equality $h_F(n,q)=t_F(n,q)$. We also discuss some additional remarks and related open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
