自由格的基本性质
Elementary Properties of Free Lattices
AI总结：
本文系统分析自由格的一阶模型论，证明有限秩自由格的正不可区分性，探讨其profinite-bounded completion与Dedekind-MacNeille completion的同构关系，并揭示相关格的正泛一阶理论一致性。
摘要：
我们开始系统分析自由格的一阶模型论。首先，我们证明有限秩的自由格不是正不可区分的，因为存在一个正 $\exists \forall$-句子在 $\mathbf F_3$ 中为真而在 $\mathbf F_4$ 中为假。其次，我们证明 $\mathrm{Th}(\mathbf F_n)$ 的每个模型都允许一个典范同态映射到 $\mathbf F_n$ 的 profinite-bounded completion $\mathbf H_n$ 中。第三，我们证明 $\mathbf H_n$ 同构于 $\mathbf F_n$ 的 Dedekind-MacNeille completion，且 $\mathbf H_n$ 与 $\mathbf F_n$ 不是正初等等价的，因为存在一个正 $\forall\exists$-句子在 $\mathbf H_n$ 中为真而在 $\mathbf F_n$ 中为假。最后，我们证明 $\mathrm{DM}(\mathbf F_n)$ 是 $\mathrm{Id}(\mathbf F_n)$ 的一个收缩，且对于满足 Whitman 条件 $\mathrm{(W)}$ 并由 join prime 元素生成的任意格 $\mathbf K$，三个格 $\mathbf K$、$\mathrm{DM}(\mathbf K)$ 和 $\mathrm{Id}(\mathbf K)$ 都共享相同的正泛一阶理论。
英文摘要：
We start a systematic analysis of the first-order model theory of free lattices. Firstly, we prove that the free lattices of finite rank are not positively indistinguishable, as there is a positive $\exists \forall$-sentence true in $\mathbf F_3$ and false in $\mathbf F_4$. Secondly, we show that every model of $\mathrm{Th}(\mathbf F_n)$ admits a canonical homomorphism into the profinite-bounded completion $\mathbf H_n$ of $\mathbf F_n$. Thirdly, we show that $\mathbf H_n$ is isomorphic to the Dedekind-MacNeille completion of $\mathbf F_n$, and that $\mathbf H_n$ is not positively elementarily equivalent to $\mathbf F_n$, as there is a positive $\forall\exists$-sentence true in $\mathbf H_n$ and false in $\mathbf F_n$. Finally, we show that $\mathrm{DM}(\mathbf F_n)$ is a retract of $\mathrm{Id}(\mathbf F_n)$ and that for any lattice $\mathbf K$ which satisfies Whitman's condition $\mathrm{(W)}$ and which is generated by join prime elements, the three lattices $\mathbf K$, $\mathrm{DM}(\mathbf K)$, and $\mathrm{Id}(\mathbf K)$ all share the same positive universal first-order theory.
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