Trace Finite Element Methods for PDEs on Surfaces
University of Houston（休斯顿大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文探讨了用于曲面偏微分方程离散化的迹有限元方法，分析了该方法在稳态和时变曲面上的应用，介绍了高阶TraceFEM的细节，并回顾了方法的误差分析和代数性质。
2017-07-05 cs.NA math.AP math.NA
A stabilized trace finite element method for partial differential equations on evolving surfaces
University of Göttingen（哥廷根大学）；University of Houston（休斯顿大学）；Sechenov University（谢切诺夫大学）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, NCMIS, AMSS, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所，国家数学与交叉科学中心）
本文提出一种稳定迹有限元方法用于求解演化曲面上的偏微分方程，结合有限元空间和有限差分方法，证明了数值稳定性和最优误差估计。
2018-03-22 cs.NA math.NA
Inf-sup stability of the trace P2-P1 Taylor-Hood elements for surface PDEs
本文研究了一种求解闭光滑曲面上Stokes方程组的数值解的几何非拟合有限元法，即迹有限元法或割有限元法。提出了一种基于标准Taylor-Hood（连续P2-P1）体单元的迹有限元法。一个所谓的体积法向导数稳定，已知从文献中的跟踪有限元，是这种方法的一个重要组成部分。证明了迹P2-P1有限元对的inf-sup稳定性，其稳定常数关于离散参数和曲面在体网格中的位置一致有界。从这个新的稳定性结果和迹有限元的插值性质，得到了有限元法的一致变形的最优阶收敛性。数值例子说明了该方法的性质。
2020-04-10 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of a high order Trace Finite Element Method for PDEs on level set surfaces
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根大学）
本文提出一种高阶有限元方法，用于在隐式描述为水平集函数零水平的平稳光滑表面上的偏微分方程离散化。方法基于迹有限元技术，利用体积网格的等参数映射提高离散精度，并分析了该方法的误差界和稳定性。
2017-04-13 cs.NA math.NA
Arbitrary order stationarity preserving stabilized finite elements for multidimensional nonlinear hyperbolic problems. Application to the Euler equations with gravity
Dip. di Matematica G. Castelnuovo, Università di Roma La Sapienza（罗马第一大学数学G.卡斯特鲁诺沃系）；LaR2A Laboratory, Dep. of Mathematics, Faculty of Sciences, Abdelmalek Essaadi Univ.（阿卜杜勒马利克·埃萨迪大学理学院数学系LaR2A实验室）；Inria, Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, IMB, UMR 5251（法国国家信息与自动化研究所、波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、IMB）
本文提出任意高阶稳定性保持稳定有限元方法，用于多维非线性双曲守恒律问题，通过局部预处理物理通量，实现高精度稳态近似，并应用于欧拉方程与重力问题，提升鲁棒性和精度。
2026-10-20 cs.NA math.NA
Auto-Stabilized Weak Galerkin Finite Element Methods for Biharmonic Equations on Polytopal Meshes without Convexity Assumptions
提出一种带内置稳定子的自动稳定WG有限元方法，可在无凸性假设的多面体网格上求解双调和方程，支持任意维度与灵活多项式次数，并建立相应误差估计。
2024-08-26 cs.NA math.NA
Mortaring for linear elasticity using mixed and stabilized finite elements
本文的目的是利用标准低阶有限元空间研究线弹性力学的砂浆法。基于残余稳定化原理，提出了一种稳定砂浆法，并与未稳定混合砂浆法进行了比较。为了简单起见，这两种方法都使用拉格朗日乘子，该拉格朗日乘子定义在仅从接口的一侧继承的跟踪网格上。我们得到了稳定化方法的拟最优性估计，并给出了混合$P_1-P_1$逼近的稳定性准则。数值结果证明了该方法的稳定性和收敛性。此外，结果表明，混合方法可以成功地推广到三维问题。
2022-10-27 cs.NA math.NA
An adaptive octree finite element method for PDEs posed on surfaces
Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院计算数学研究所）；Department of Mathematics, University of Houston（休斯顿大学数学系）
本文提出了一种用于表面上的偏微分方程的有限元方法，利用八叉树网格进行局部细化或粗化，以适应误差指标和曲率估计值，无需对表面进行参数化，通过隐式水平集函数给出表面，并通过改进的 marching cubes 方法实现高阶精度，证明了在 H^1 和 L^2 表面范数下的最优收敛性。
2014-08-18 cs.NA math.NA
A Neural-network-based multiscale Hybridizable Discontinuous Galerkin method for solving PDEs in porous media
ECPI University（ECPI大学）；Old Dominion University（老道明大学）
该研究提出NN-MsHDG方法，用神经网络预测局部算子替代细尺度求解，中等对比度下可降低5至16倍在线计算成本，同时指出高对比度下需改进粗空间及算子表示。
2026-09-07 cs.NA math.NA
Analysis of a space-time unfitted finite element method for PDEs on evolving surfaces
本文分析了演化曲面上标量PDE的时空非拟合有限元方法，利用水平集表示和（等）参数映射实现高阶曲面逼近，并基于几何特征关系完成了高阶时空TraceFEM的误差分析。
2024-11-24 cs.NA math.NA
Are implicit schemes needed in adaptive time stepping for PDEs?
Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院凯尔迪什应用数学研究所）
本文针对自适应时间步长求解偏微分方程的场景，通过数值测试探究是否需用隐式格式，以及切换至稳定显式格式的时间步长损失，为大规模并行计算的格式选择提供依据。
2026-10-14 cs.CE cs.NA math.NA
Best approximation results and essential boundary conditions for novel types of weak adversarial network discretizations for PDEs
本文对高维偏微分方程的弱对抗网络（WAN）方法做理论分析，证明离散解存在性与拟最佳逼近估计，提出两种稳定化WAN公式，分析其Dirichlet边界问题有效性，还设计出收敛更快的伪时间XNODE神经网络。
2024-01-29 cs.NA math.NA
Stabilized Morley FEM for surface Stokes in stream-function formulation: Optimal convergence via a new geometric estimate
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文提出一种稳定化Morley有限元方法求解流函数形式的闭合曲面Stokes问题，通过新几何估计获得最优收敛性，数值实验验证了理论结果。
2026-07-30 cs.NA math.NA
Optimal experimental design under irreducible uncertainty for linear inverse problems governed by PDEs
我们提出了一种方法来计算A-最优传感器放置的无限维贝叶斯线性逆问题的偏微分方程与不可约的模型不确定性。这里，不可约不确定性是指除了反问题中的参数之外，还存在于模型中的不确定性，并且不能通过观察来减少。具体来说，给定模型不确定性的统计分布，我们计算使后验协方差迹线的期望值最小化的最优设计。期望值离散化使用蒙特卡洛导致一个目标函数组成的跟踪运营商和二进制诱导罚款的总和。这个目标的最小化需要在每一步中进行大量的PDE求解。为了使这个问题的计算容易处理，我们构建了一个复合低秩的基础上使用随机测距算法，以消除向前和伴随PDE解决方案。我们还提出了一种新的配方的A-最优设计目标，需要跟踪的操作员在观察，而不是参数空间。使用加权正则化$\ell_0$ -稀疏化方法来强制执行二进制结构。我们提出的数值结果推断的初始条件在地下流问题的固有的不确定性，在流场和初始时间。
2020-03-30 cs.NA math.NA math.OC
PDE Identification Using Noise Adaptive Differentiation in Strong Form (S-IDENT)
City University of Hong Kong（香港城市大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
提出S-IDENT方法，通过自适应窗口Savitzky-Golay微分和SURE准则，从噪声观测中识别强形式PDE，在高噪声下优于现有方法。
2026-07-01 cs.NA math.NA
Error analysis of a space-time finite element method for solving PDEs on evolving surfaces
University of Houston（休斯顿大学）；RWTH-Aachen University（亚琛工业大学）
本文研究了在演化超曲面上求解抛物型偏微分方程的欧拉有限元方法，证明了该方法在能量范数下具有一阶收敛性，在弱范数下具有二阶收敛性，并推导了演化曲面上抛物型PDE解的正则性结果。
2014-04-09 cs.NA math.NA
Stabilized Time Series Expansions for High-Order Finite Element Solutions of Partial Differential Equations
针对高阶有限元求解扩散方程和Navier-Stokes方程时的时间序列展开不稳定问题，提出在各级数项方程中引入人工扩散项的变分稳定化方法，并证明其系数满足可最小化条件数的递推关系，从而扩大BPL积分器的稳定域。
2024-05-16 cs.NA math.NA
Stabilized Lagrange Multipliers for Dirichlet Boundary Conditions in Divergence Preserving Unfitted Methods
本研究将达西界面问题的散度守恒切割有限元法扩展至非拟合外边界，采用高次拉格朗日乘子空间的稳定对称方法，实现了最优收敛阶、适定线性系统和最优散度近似，且高阶单元下性质仍成立。
2024-08-19 cs.NA math.NA
Hutchinson Trace Estimation for High-Dimensional and High-Order Physics-Informed Neural Networks
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Brown University（布朗大学）；Pacific Northwest National Laboratory（西北太平洋国家实验室）
本文提出用 Hutchinson 迹估计将高维高阶 PINN 中的 Hessian 或高阶张量计算转化为 HVP/TVP，以降低内存与计算成本，并证明其无偏性和收敛性。
2024-03-03 cs.AI cs.LG cs.NA
Localization of trace norms in two and three dimensions
本文将 Faermann 的 $H^{1/2}$ 范数局部化结果推广到更广泛的子空间，并证明 $H^{-1/2}$ 范数的类似结论，从而获得二维和三维情形下两类迹范数的等价且更优局部化范数，可应用于预条件子与稳定化方法设计。
2023-12-02 cs.NA math.NA
Bulk-surface virtual element method for systems of PDEs in two-space dimension
在本文中，我们考虑了一个耦合体表面偏微分方程在两个空间维。该模型由一个偏微分方程的散装耦合到另一个偏微分方程的表面上，通过一般的非线性边界条件。对于这样的系统，我们提出了一种基于耦合虚拟元件方法的新方法[Beirão da Veiga等人，2013年]在体域的表面有限元法[Dziuk & Elliott，2013年]。所提出的方法，我们称之为体表面虚拟单元法（BSVEM），包括作为特例的三角形网格上的体表面有限元法（BSFEM）[Madzvamuse & Chung，2016]。该方法在空间上具有二阶收敛性，只要精确解是体积上的$H^{2+1/4}$和表面上的$H^2$，其中仅在同时存在表面曲率和非三角形元的情况下才需要额外的$\frac{1}{4}$。在我们的分析中引入的两种新技术是（i）用于边界条件分析的$L^2$ -保持逆迹算子和（ii）Sobolev扩展作为足够光滑精确解的提升算子的替代[Elliott & Ranner，2013]。多边形网格的通用性可以用来优化矩阵装配的计算时间。该方法采用优化的矩阵矢量形式，也简化了三角形网格上BSFEM的已知特殊情况[Madzvamuse & Chung，2016]。三个数值例子说明了我们的研究结果。
2021-01-31 cs.NA math.NA
Inf-Sup Stability of Parabolic TraceFEM
本文针对稳态曲面热方程的修正 TraceFEM 半离散化发展了抛物型 inf-sup 理论，通过引入体积与时间导数稳定化，证明了其 inf-sup 稳定的充要条件及一致有界性，并推导出一致适定性、离散极大抛物型正则性和最优误差估计等推论。
2024-09-20 cs.NA math.NA
Boundary-compatible interacting approximations of quasilinear PDEs on bounded domains
CNRS Laboratoire Ypatia des Sciences Mathématiques LYSM（法国国家科学研究中心耶帕迪亚数学科学实验室）；Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL（雅克-路易·利翁斯实验室）
本文提出一种算子理论框架，通过正则化和离散化两步构造，将Banach尺度上的Kato型拟线性发展系统逼近为有限维交互常微分方程，并给出误差的定量估计，特别针对有界Lipschitz域上的拟线性偏微分方程，利用Burenkov变步长磨光算子实现边界兼容的正则化。
2026-06-02 cs.NA math.NA
A penalty-free bulk--surface CutFEM stabilized by lattice Green's function extensions
College of Science, Mathematics and Technology, Wenzhou-Kean University（温州肯恩大学理学院）
本文提出一种用于光滑闭合曲线Γ上的拉普拉斯-贝特拉米方程的CutFEM方法，结合离散的体调和扩展，通过晶格格林函数实现无显式稳定化，解决迹有限元空间的病态问题，并证明最优误差估计和鲁棒性。
2026-08-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A multi-mesh finite element method for Lagrange elements of arbitrary degree
TU Dresden（德累斯顿工业大学）
针对非线性时变偏微分方程组中不同变量使用不同自适应网格，提出任意次拉格朗日单元的多网格有限元方法，可大幅降低计算量，并应用于枝晶生长、固-固相变及不可压缩Navier-Stokes方程。
2010-05-26 cs.NA math.NA
Unified $hp$-HDG Frameworks for Friedrichs' PDE systems
提出Friedrichs型PDEs的统一$hp$-HDG框架，利用mortar结构实现无参数通量，并通过数值实验验证了两种自适应准则在收敛速度上的可比性。
2023-04-07 cs.NA math.NA
Flux-corrected transport stabilization of an evolutionary cross-diffusion cancer invasion model
针对趋化项占优时交叉扩散癌症侵袭模型直接数值求解可能不稳定的问题，提出结合非线性通量校正输运的隐式有限元格式，证明其可解且保持正性，并通过二维实验验证性能。
2023-07-16 cs.NA math.AP math.NA
An unfitted finite element method for the Darcy problem in a fracture network
本文发展了一种求解多孔介质中裂隙网络的Darcy方程组的非拟合有限元法。该方法建立在Hughes-Masud稳定化的达西问题和跟踪有限元法的制定。允许裂缝系统以任意方式切割背景网格。此外，裂缝不是按通常意义上的三角形划分的，裂缝的连接处不适合网格。为了耦合在多个裂缝交界处的流动变量，我们扩展了休斯-马苏德制定包括惩罚条款处理交界条件。这里的一个观察结果是，通过过度惩罚压力连续性交界条件，可以避免包括沿着裂缝接合处的附加跳跃项。这简化了公式，同时确保了方法的最佳收敛阶。迹有限元的应用允许以相同的容易处理平面和曲线裂缝。本文介绍了收敛性分析和评估的性能的方法在一系列的数值实验。对于背景网格，我们使用一个八叉树网格与立方体细胞。裂缝中的流动可以很容易地与基质中的流动相耦合，但是我们在这里不追求离散化这样的耦合系统的主题。
2019-09-03 cs.NA math.NA
Error Estimates and Physics Informed Augmentation of Neural Networks for Thermally Coupled Incompressible Navier Stokes Equations
物理信息神经网络（PINNs）是求解偏微分方程（偏微分方程）的一种有效方法。PINN通过在给定域上最小化基于物理的损失函数来近似PDE解。尽管PINN的应用范围的问题类，调查的误差估计和收敛性能的PINN，这是很重要的建立背后的理由，他们的良好的经验表现，一直缺乏实质性的进展。本文对热耦合不可压Navier-斯托克斯方程的多物理场问题进行了PINNs的收敛性分析和误差估计。通过Beltrami流的模型问题，它表明，一个小的训练误差意味着一个小的泛化误差。给出了总误差关于训练残差和配置点的后验收敛速度。这对确定合适的训练参数和训练残差阈值，得到良好的热耦合稳态层流PINN预测具有实际意义。然后将这些收敛速度推广到不同的空间几何形状以及层流状态中的不同流动参数。在PINN的PDE残差中加入压力泊松方程形式的压力稳定项。这种物理信息增强被证明是通过数量级的压力场的精度提高相比，没有增强的情况下。将PINNs的结果与稳定化有限元法的结果进行了比较，突出了PINNs的良好性能。
2022-09-10 cs.NA math.NA
Complexes from Complexes: Finite Element Complexes in Three Dimensions
本文基于BGG框架，通过约化与增广运算，系统构造三维有限元Hessian、弹性及divdiv复形，为PDE求解提供有效框架。
2025-02-27 cs.NA math.NA
Mapped coercivity for the stationary Navier-Stokes equations and their finite element approximations
本文提出映射强制性新概念，通过连续映射统一分析 Banach 空间中非线性算子，并将其应用于稳态 Navier-Stokes 方程及多种稳定化有限元方法，给出简洁的解存在性证明。
2024-11-30 cs.NA math.NA
Multisymplecticity in finite element exterior calculus
本文将 FEEC 方法应用于涉及微分形式的典型哈密顿偏微分方程系统，刻画了满足多辛守恒律的混合 FEEC 方法，并发现 HDG 等非协调方法比协调方法在更强意义下具备多辛性质，推广了已有研究。
2025-05-30 cs.NA math.NA
