Goal-oriented error analysis of iterative Galerkin discretizations for nonlinear problems including linearization and algebraic errors
考虑非线性偏微分方程线性化迭代解的目标定向误差估计。对于伴随问题和迭代求解器，我们认为，而不是原始问题的微分，一个合适的线性化，保证伴随的数值方案的一致性。我们推导出误差估计，并开发了一种有效的自适应算法，该算法平衡了离散化和使用迭代求解器所产生的误差。数值算例表明了该算法的有效性。
2023-01-23 cs.NA math.NA
An Integer Arithmetic-Based Sparse Linear Solver Using a GMRES Method and Iterative Refinement
在本文中，我们开发了一个（预处理）GMRES求解器的整数运算的基础上，并介绍了一个迭代精化框架的求解器。我们描述了基于整数或定点数的求解器的系数矩阵和向量的数据格式。为了避免计算中的溢出，我们在算术运算中引入了初始缩放和操作数的逻辑移位（调整）。针对GMRES算法的特点，提出了操作数移位的方法。数值试验表明，基于整数算法的求解器与迭代精化具有可比的求解器性能的收敛性的标准求解器的基础上浮点运算。此外，我们表明，预处理是很重要的，不仅可以提高收敛性，但也减少了溢出的风险。
2021-03-03 cs.MS cs.NA math.NA
A Discretization-Accurate Stopping Criterion for Iterative Solvers for Finite Element Approximation
本文介绍了求解由有限元逼近得到的代数方程组的对称迭代法的离散精确停止准则。停止准则由离散化和代数误差估计的评估，这是基于各自的对偶误差估计和两个连续迭代的差异。当代数估计量与离散化估计量具有相同的量值时，终止迭代。本文给出了多重网格$V(1,1)$ -循环和对称Gauss-Seidel迭代法对泊松方程的线性有限元逼近的数值结果。与标准的基于残差的停止准则相比，观察到计算成本的大幅降低。
2019-09-18 cs.NA math.NA
Efficient iterative linearised solvers for numerical approximations of stochastic Stefan problems
本文针对随机 Stefan 问题的数值格式，提出从 Newton 技术到线性化求解器的多种迭代方法，通过敏感性分析和自适应容差策略，为不同场景下高效选择最优求解器提供了依据。
2025-08-09 cs.NA math.NA
Illustration of iterative linear solver behavior on simple 1D and 2D problems
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；Université de Lorraine（洛林大学）
研究经典线性求解器在1D和2D网格上求解平方梯度和平方拉普拉斯能量问题的行为，通过不同迭代方法分析求解过程。
2015-10-05 cs.NA math.NA
Fast randomized least-squares solvers can be just as accurate and stable as classical direct solvers
针对现有随机最小二乘求解器无向后稳定性的问题，提出SPIR和FOSSILS两种可证明向后稳定的求解器，结合迭代精化与预条件迭代方法，收敛速度与现有算法相同，有望整合到软件库中替代经典求解器。
2025-08-20 cs.NA math.NA
On the Geometry Transferability of the Hybrid Iterative Numerical Solver for Differential Equations
快速数值求解器的发现促使了许多应用中，特别是计算力学中，由于求解非常大的线性系的必要性增加，迭代技术的明确和快速的转变。大多数数值求解器高度依赖于问题的几何形状和离散化，当这些属性中的任何一个发生变化时都会面临问题。新开发的混合迭代数值可转移求解器（HINTS）将标准求解器与神经运算符相结合，以实现更好的性能，每次专注于单个几何形状。在这项工作中，我们探讨了HINTS中的“T”，即，HINTS的几何可转换性。我们首先建议直接采用HINTS建立一个特定的几何形状到一个不同的，但相关的几何形状没有任何调整。此外，我们提出了一个运营商级的迁移学习与HINTS的集成，甚至进一步提高新的几何形状和离散化的HINTS的收敛。我们进行了达西流问题和平面应变弹性问题的数值实验。结果表明，无论是直接应用的HINTS和迁移学习增强的HINTS能够准确地解决这些问题的不同的几何形状。此外，使用迁移学习，HINTS能够比直接应用HINTS更快地收敛到机器零。
2022-10-31 cs.NA math.NA
eHDG:An Exponentially Convergent Iterative Solver for HDG Discretizations of Hyperbolic Partial Differential Equations
提出了一种求解双曲型偏微分方程高阶杂交间断Galerkin（HDG）离散的可扩展、高效的迭代求解器。它是区域分解方法和HDG离散化之间的相互作用。特别是，该方法是一个固定点的方法，只需要独立的元素，元素的局部解决在每次迭代。因此，它非常适合当前和未来的大规模并发计算系统。我们严格证明了所提出的方法是指数收敛的迭代次数为运输和线性化浅水方程。此外，收敛性与解的阶数无关。各种二维和三维数值结果的稳定和时间相关的问题，以验证我们的理论研究结果。
2016-01-27 cs.NA math.NA
On the convergence of iterative solvers for polygonal discontinuous Galerkin discretizations
本文研究了多边形网格元素对不连续Galerkin离散化超几何守恒律系统迭代求解器收敛性的影响，通过von Neumann分析和数值实验验证了六边形和正方形网格在块Jacobi方法中具有更小的特征值，从而加快收敛速度。
2018-01-12 cs.NA math.NA
Spectral Analysis and Preconditioned Iterative Solvers for Large Structured Linear Systems
本文研究了三类不同类型问题的数值解。具体而言，新的技术已经提出，并进行了理论分析，伴随着一系列的数值实验，进一步调查和比较所提出的方法的有效性和性能。前两部分属于数值线性代数的研究领域，涉及大型结构线性系系数矩阵的Krylov子空间方法的谱分析和预处理。第三个问题涉及金融计算领域，即美式看跌期权的定价。
2022-04-30 cs.NA math.NA
Accelerating iterative solvers via a two-dimensional minimum residual technique
本文提出通过在二维子空间最小化残差范数来加速两步迭代法求解线性方程组的收敛，并扩展至不适定问题的正则化正规方程，数值实验验证了其精确与不精确变体的有效性。
2024-04-22 cs.NA math.NA
Analysis of a new implicit solver for a semiconductor model
我们提出并分析了一个新的迭代求解器的隐式离散的简化Boltzmann-Poisson系统。该算法建立在最近的工作，纳入了一个扫描算法的弗拉索夫-泊松方程的一部分，嵌套的内-外迭代求解的玻尔兹曼-泊松方程。新方法消除了嵌套的需要，并且每次迭代只需要一次传输扫描。它出现作为一个新的不动点制定的离散系统，我们证明是收缩对于一个给定的电势。我们还推导出一个加速器，以提高系统的收敛速度的漂移扩散制度。我们数值比较新的求解器的效率，有和没有加速，最近开发的嵌套迭代求解器。
2020-09-11 cs.NA math.NA
Parallel solution of saddle point systems with nested iterative solvers based on the Golub-Kahan Bidiagonalization
本文研究了Golub-Kahan双对角化算法在求解具有2 × 2块结构的对称不定线性系的并行迭代问题中的可扩展性。该算法已在并行数值库PETSc中实现。由于嵌套的外迭代策略可能是必要的，我们研究了内部求解器的不同选择，包括并行稀疏直接和多重网格加速迭代法。我们展示了强大的和弱的可扩展性的Golub-Kahan双对角化的迭代法时，适用于一个二维Poiquillille流和二维和三维Stokes测试问题。
2020-01-28 cs.DC cs.NA math.NA
Global convergence of iterative solvers for problems of nonlinear magnetostatics
本文研究非线性磁静力学问题的迭代求解器收敛性，利用等价的最小化问题证明了阻尼牛顿法等方法的全局线性收敛性，并验证了理论结果在多种近似方案中的适用性。
2024-03-27 cs.NA math.NA
Randomized Iterative Solver as Iterative Refinement: A Simple Fix Towards Backward Stability
本文将随机迭代求解器视为迭代细化，提出结合迭代与递归细化的新算法SIRR，仅通过重组计算顺序即实现后向误差四个数量级改进，是首个兼具前向和后向稳定性的渐近快速单阶段随机最小二乘求解器。
2024-10-16 cs.NA math.NA stat.CO
Stable Iterative Solvers for Ill-conditioned Linear Systems
本文提出可改造 Krylov 子空间迭代法的通用稳定化框架，防止其在病态线性系统上发散，并在 SciPy 实现及多类合成、真实系统实验中验证有效性。
2025-07-23 cs.DS cs.NA math.NA
An iterative solver for the HPS discretization applied to three dimensional Helmholtz problems
本文提出了一种求解三维变系数Helmholtz问题的分层Poincaré-Steklov（HPS）离散化的线性系的有效方法。HPS方法的先前工作将其与直接求解器绑定。这项工作是第一个有效的迭代求解器的线性系，结果从HPS离散。该解决方案的技术利用GMRES加上一个局部均匀化块雅可比预条件。离散化和预条件子的局部性质自然地产生线性系的无矩阵应用。数值结果说明了性能的解决方案技术。这包括一个实验，其中一个问题在每个方向上大约100个波长，需要超过10亿个未知数，以实现大约4位数的精度，需要小于20分钟来解决。
2023-01-16 cs.DC cs.NA math.NA
A Numerical Analysis of Sketched Linear Squares Problems and Stopping Criteria for Iterative Solvers
Tsinghua University（清华大学）
本文通过分析sLS问题的理论性质，提出新的可靠终止准则，提升迭代求解器效率并减少计算成本。
2026-02-11 cs.NA math.NA
A reduced basis warm-start iterative solver for the parameterized linear systems
本文提出首个参数化线性系统的降基热启动迭代方法，利用降基方法生成高质量初始猜测以减少迭代步数，并在两个3D稳态扩散方程上验证了其有效性。
2024-01-05 cs.NA math.NA
A Hybrid Iterative Neural Solver Based on Spectral Analysis for Parametric PDEs
本文提出傅里叶神经求解器（FNS），通过从谱角度学习特征值和特征向量，使混合迭代方法在参数化PDE上实现与网格尺寸和物理参数无关的收敛速率。
2025-06-06 cs.NA math.NA
Iterative solvers in adaptive FEM
本章综述二阶椭圆型 PDE 的自适应有限元方法，阐明局部加密与压缩迭代求解的耦合如何通过准误差的完全 R-线性收敛保证最优复杂度，并扩展到多类 PDE。
2024-04-10 cs.NA math.NA
Hybrid Iterative Solvers with Geometry-Aware Neural Preconditioners for Parametric PDEs
Division of Applied Mathematics（应用数学系）；Brown University（布朗大学）；Ansys UK Ltd（Ansys英国有限公司）
本文提出Geo-DeepONet，结合几何信息的神经预置条件器，提升混合迭代求解器在参数PDEs中的鲁棒性和效率。
2025-12-16 cs.LG cs.NA math.NA
A domain decomposing parallel sparse linear system solver
Middle East Technical University（中东科技大学）
针对大规模稀疏线性系统求解，提出一种结合直接法与迭代法的并行混合求解器，在分布式内存架构上实现更好的可扩展性和鲁棒性。
2011-08-26 cs.MS cs.NA math.NA
An Implicit Representation and Iterative Solution of Randomly Sketched Linear Systems
随机线性系求解器已经变得流行，因为它们具有降低浮点复杂度的潜力，同时仍然实现期望的收敛速度。一类特别有前途的方法，随机草绘求解器，已经实现了理论上最著名的计算复杂性界限，但由于两个实际考虑因素而变得迟钝：没有明确的方法来选择草绘矩阵的大小先验;以及草绘系统的存储成本不小。在这项工作中，我们取得了进展，通过隐式生成的草图系统，并通过迭代过程同时解决这些问题。因此，我们取代了问题的大小的草图矩阵确定适当的停止标准，我们也避免了显式表示的草图线性系的成本，我们的隐式表示也解决了系统在同一时间，这控制了每次迭代的计算成本。此外，我们的方法允许我们生成随机草图方法和随机迭代求解器之间的连接（例如，随机化Kaczmarz方法，随机化Gauss-Seidel）。因此，我们利用这种联系来（1）为任意采样方案下的这种随机迭代求解器产生更强，更精确的收敛理论（i.i.d.，自适应、置换、依赖等），以及（2）以用户确定的每次迭代计算和存储成本的增加为代价来提高随机化迭代求解器的收敛速率。我们证明了这些概念的数值例子上的49个不同的线性系。
2020-12-22 cs.NA math.NA
Parallel iterative solvers for discretized reduced optimality systems
针对椭圆跟踪型分布最优控制问题有限元离散得到的大规模约化最优性系统，构建了适配正则参数与网格尺寸关系的高效并行迭代求解器，并可推广至变正则参数及抛物、双曲问题的时空离散场景。
2023-12-19 cs.NA math.NA
Iterative Calculation of Characteristic Modes Using Arbitrary Full-wave Solvers
本文提出一种基于迭代激励隐式评估散射响应的特征模迭代计算方法，无需显式系统矩阵，可与FDTD、FEM、MLFMA等无矩阵全波求解器兼容，相比直接构造转换矩阵或散射并矢显著加速，适用于任意形状和材料分布障碍物的特征模分解。
2022-08-31 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Fixed-point iterative linear inverse solver with extended precision
求解线性系是科学和工程中普遍存在的问题。由于直接反演大规模线性系可能在计算上是昂贵的，因此迭代算法通常用于数值地求逆。为了适应动态范围和精度要求，这些迭代算法通常在浮点处理单元上执行。低精度、不动点处理器每次操作所需的能量仅为浮点处理器的一小部分，但由于不动点运算产生的计算误差，它们目前的使用不包括迭代求解器。在这项工作中，我们表明，对于一个简单的迭代算法，如Richardson迭代，使用不动点处理器可以提供相同的收敛速率，并实现高精度的解决方案时，结合剩余迭代超过其原生精度限制。这些结果表明，由模拟计算设备组成的节能计算平台可以用于解决广泛的问题，而不会影响速度或精度。
2021-07-17 cs.NA math.NA math.OC
El-WaveHoltz: A Time-Domain Iterative Solver for Time-Harmonic Elastic Waves
考虑了Wave-Holtz迭代法在能量守恒边界条件下时谐弹性波方程中的应用。声波亥姆霍兹问题的原始WaveHoltz迭代是一个固定点迭代，它用时谐强迫和边界数据过滤波动方程的解。在原来的WaveHoltz方法中，我们重新制定的不动点迭代作为一个正定的线性系的方程，迭代求解的Krylov方法。我们提出了两个时间步进计划，一个显式和一个（新的）隐式，它完全消除时间离散化误差从WaveHoltz解决方案进行一个简单的修改的初始数据和时间步进计划。数值实验表明，类似于原来的WaveHoltz方法的迭代缩放，和收敛速度是由最短的（剪切）波速度的问题。我们还表明，隐格式计划可以在实践中具有不同的元素大小的网格是有利的。
2022-08-23 cs.NA math.NA
Iterative solvers for Biot model under small and large deformation
University of Bergen（卑尔根大学）；Karlstad University（卡尔斯特德大学）
本文研究了Biot模型在小变形和大变形下的L方案和牛顿法求解器，采用Saint Venant-Kirchoff本构定律描述机械变形，并假设流体可压缩性为非线性，通过拉格朗日参考系跟踪变形，采用隐式时间离散化（后向欧拉）并提出两种线性化方案（牛顿法和L方案）以求解非线性问题，分析了所有方案在小变形情况下的收敛性，并通过数值示例验证了方案在大变形中的适用性。
2019-05-30 cs.NA math.NA
Fast iterative solvers for an optimal transport problem
Technische Universität Chemnitz（开姆尼茨工业大学）；The University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文研究了在图像形态学建模中出现的特定传输方程约束下的优化问题，提出非线性优化问题的求解方法，并通过Gauss-Newton方法进行离散化和非线性处理，同时设计了适用于该方法的预条件器。
2018-01-12 cs.NA math.NA
Convergence and quasi-optimal cost of adaptive algorithms for nonlinear operators including iterative linearization and algebraic solver
考虑一类具有强单调Lipschitz连续非线性项的二阶椭圆型边值问题。我们设计和研究其自适应数值逼近互连的有限元离散，Banach Picard线性化，和压缩线性代数求解器。我们特别确定停止标准的代数求解器，一方面不要求一个过于严格的公差，但另一方面是足够的不精确（扰动）巴拿赫-皮卡德线性化保持收缩。同样，我们确定适当的停止标准的巴拿赫-皮卡德迭代，留下的线性化误差量是无害的残余后验误差估计，以可靠地引导自适应网格细化。对于所得到的算法，我们证明了一个收缩的（双重）不精确迭代后，一些数量的网格细化/线性化/代数求解器的步骤，导致其线性收敛。此外，对于通常的网格细化规则，我们还证明了整体误差衰减的最佳速率相对于添加的元素（自由度）的数量相对于初始网格。最后，我们证明了我们的完全自适应算法驱动器的整体误差下降，具有相同的最优速率也相对于整体算法成本表示为累计总和的网格元素的数量在所有网格细化，线性化，代数求解步骤。数值实验支持这些理论研究结果，并说明了最佳的整体算法成本的完全自适应算法在几个测试用例。
2020-04-27 cs.NA math.NA
A Family of Independent Variable Eddington Factor Methods with Efficient Preconditioned Iterative Solvers
我们提出了一个家庭的离散化的可变爱丁顿因子（VEF）方程，具有高阶精度的曲面网格和高效的预处理迭代求解器。VEF离散相结合的高阶不连续Galerkin运输离散，形成一个有效的高阶，线性运输方法。通过将求解椭圆问题的间断Galerkin方法的统一分析推广到VEF方程，导出了VEF离散格式。这个框架是用来定义类似的内部处罚，第二方法的Bassi和Rebay，最小耗散局部不连续Galerkin，和连续有限元法。子空间校正预处理器的分析，它使用一个连续的操作迭代预处理的不连续离散化，扩展到非对称的VEF系统的情况下。数值结果表明，该方法在曲面网格上具有任意阶精度，保持了厚扩散极限，并且在外输运迭代和内预处理线性求解器迭代中对热辐射传递的代理问题都是有效的.此外，一个并行的内部惩罚VEF离散化弱标度的研究表明，该方法的可扩展性到1152处理器。
2022-10-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
$O(N)$ Iterative and $O(NlogN)$ Fast Direct Volume Integral Equation Solvers with a Minimal-Rank ${\cal H}^2$-Representation for Large-Scale $3$-D Electrodynamic Analysis
School of Electrical and Computer Engineering, Purdue University（普渡大学电气与计算机工程学院）
本文提出了一种线性复杂度迭代和对数线性复杂度直接求解器，通过最小秩 ${\cal H}^2$-矩阵表示高效求解大规模三维电磁分析问题。
2017-02-28 cs.NA math.NA
Stochastic Preconditioning for Iterative Linear Equation Solvers
针对对称对角占优M矩阵，提出基于随机游走的不完全LDL分解作为预处理子，证明其比传统不完全分解方法具有更好的精度-规模权衡，从而减少预处理共轭梯度法的计算量。
2006-09-24 cs.NA math.NA math.PR
Isogeometric analysis for 2D and 3D curl-div problems: Spectral symbols and fast iterative solvers
Max-Planck Institut für Plasmaphysik（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）；University of Rome “Tor Vergata”（罗马托维加塔大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究了2D和3D旋-散问题的等几何分析方法，通过谱分析和快速迭代求解器解决系数矩阵的病态问题，提高了求解效率。
2018-05-25 cs.NA math.NA
Precision of the ENDGame: Mixed-precision arithmetic in the iterative solver of the Unified Model
Met Office（英国气象局）；University of Reading（雷丁大学）
本文研究了统一模型中迭代求解器的混合精度实现，探讨了其对运行时间和求解器收敛性的影响，并分析了浮点运算中舍入误差和其他数值效应的复杂相互作用。
2018-11-09 cs.DC cs.NA math.NA
Iterative frequency-domain seismic wave solvers based on multi-level domain-decomposition preconditioners
频域全波形反演（FWI）适用于长偏移距的固定记录采集，因为可靠的地下模型可以用几个频率重建，衰减很容易实现，而无需计算开销。在频域中，波浪建模是亥姆霍兹型边界值问题，其需要求解具有多个右侧（源）的每个频率的大型稀疏线性方程组。该系统可以用直接法或迭代法求解。虽然前者适用于覆盖中等大小空间域的3D密集OBC采集的FWI应用，但后者应是覆盖大域（超过5000万个未知数）的稀疏节点采集的首选方法。然而，由于亥姆霍兹算子的不确定性，亥姆霍兹问题的迭代求解器的快速收敛仍然具有挑战性，因此需要有效的预条件。在这项研究中，我们使用的Krylov子空间GMRES迭代求解器结合多级域分解预条件。离散化依赖于非结构化四面体网格上的连续有限元，以符合复杂的几何形状，并使元素的大小适应局部波长（$h$ -自适应性）。我们评估的收敛性和可扩展性，我们的方法与声学三维SEG/EAGE逆掩模型的频率高达20 Hz，并讨论其效率的多右手边处理。
2020-04-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Low-cost non-iterative Sylvester solvers for dynamical low-rank approximation of reaction-diffusion equations
The University of Texas at El Paso（德克萨斯大学埃尔帕索分校）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
本研究开发了融入BUG-MLFEM的低成本非迭代Sylvester求解器，用于反应-扩散方程动态低秩近似，通过利用代数结构降低计算复杂度，实验验证了其收敛性与加速效果。
2026-10-14 cs.NA math.NA
Direct/iterative hybrid solver for scattering by inhomogeneous media
本文提出一种求解二维非均匀介质散射问题的快速高阶直接/迭代混合求解器，结合微分体积公式与第二类边界积分公式，实现低色散与高精度，并证明了基于ItI映射的第二类公式的唯一可解性。
2023-07-28 cs.NA math.NA
ITVOLT: An Iterative Solver for the Time-Dependent Schrödinger Equation
该研究提出 ITVOLT，通过将 TDSE 转为 Volterra 积分方程、结合全局 Lagrange 插值形成线性系统并迭代求解，为含时薛定谔方程提供了一种新的数值解法。
2023-06-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Space-time parallel iterative solvers for the integration of parabolic problems
针对串行计算局限，提出结合parareal算法与空间分裂技术的新时空并行方法，实现粗细传播子双并行，解决经典算法处理器空闲问题，通过收敛分析与数值实验验证有效性。
2025-02-12 cs.NA math.NA
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
An iterative equation solver with low sensitivity on the initial value
本文提出一种基于广义矩生成函数重构问题的迭代求解方法，以降低对初值的敏感性，并通过算例验证其相比 Newton 法显著减少迭代次数和计算时间，适用于实时和嵌入式场景。
2023-11-28 cs.CE cs.NA math.NA
Fourier Neural Solver for large sparse linear algebraic systems
大型稀疏线性代数系统可以在各种科学和工程领域中找到，许多科学家努力以高效和鲁棒的方式解决它们。在本文中，我们提出了一个可解释的神经求解器，傅立叶神经求解器（FNS），以解决这些问题。FNS基于深度学习和快速傅里叶变换。由于迭代解和地面实况之间的误差涉及广泛的频率模式，因此FNS结合了固定迭代法和频率空间校正来消除误差的不同分量。局部傅里叶分析表明，FNS可以拾取频率空间中的误差分量，而这些误差分量难以用固定方法消除。对各向异性扩散方程、对流-扩散方程和Helmholtz方程的数值实验表明，FNS比现有的神经网络求解器更有效、更鲁棒。
2022-10-08 cs.NA math.NA
Acceleration of multiple precision solver for ill-conditioned algebraic equations with lower precision eigensolver
存在某些类型的病态代数方程，其难以获得必须用多精度浮点数表示的精确根和系数。当它们的根都是单根时，如果相应的友矩阵具有小的条件数，则通过特征值求解器（特征值法）求解的问题是良条件的。但直接用牛顿法或联立迭代法（简称直接迭代法）求解，由于其根分布密度增大，应视为病态。虽然直接迭代法比特征值法需要更多的浮点运算的尾数，但总的计算量显然不能确定。在本研究中，我们针对Wilkinson的例子和Chebyshev求积问题作为病态代数方程的例子，并展示了一些具体的数值结果来证明直接迭代法可以比标准的特征值求解器更好地执行。
2022-03-28 cs.NA math.NA
A preconditioned iterative solver for the scattering solutions of the Schrödinger equation
Institute of Business Administration（商业管理学院）；Universiteit Antwerpen（安特卫普大学）
通过将薛定谔方程转化为耦合线性系统，提出一种谱限制在复平面象限的预处理器，结合多重网格和Krylov子空间方法高效求解变波数不定亥姆霍兹模型问题。
2011-07-12 cs.NA math.NA
Neural Network Acceleration of Iterative Methods for Nonlinear Schrödinger Eigenvalue Problems
本文提出用神经网络预测并修正解轨迹以加速非线性薛定谔特征值问题的迭代求解，在旋转BEC等极端参数情形下显著提升收敛速度与精度。
2025-07-22 cs.NA math.NA
Mixed-precision iterative refinement for low-rank Lyapunov equations
Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）
本文提出一种混合精度迭代精炼框架，用于求解低秩李雅普诺夫矩阵方程，通过误差分析确定不同精度设置下的残差条件，展示如何选择算法参数以提高求解效率。
2026-11-03 cs.NA math.NA
A fast solver for ill-conditioned linear systems using randomized stable solutions of its blocks
Indian Institute of Science（印度科学学院）
提出一种改进的基于行的随机块Kaczmarz方法，通过块更新正则化和基于残差与块间正交性的动态提议分布，高效求解病态稀疏或稠密最小二乘问题，可作为预求解器加速其他迭代方法。
2026-06-17 cs.NA math.NA
Performance Enhancement Strategies for Sparse Matrix-Vector Multiplication (SpMV) and Iterative Linear Solvers
稀疏线性方程组和稀疏特征值问题的迭代求解在科学研究和工程应用中具有重要的作用。这种迭代解的关键计算核心是稀疏矩阵乘以稠密向量。因此，稀疏矩阵向量乘法（SpMV）和线性求解器的有效实现是必不可少的，并且已经在各种计算架构和加速器（诸如中央处理单元（CPU）、图形处理单元（GPU）、许多集成核（MIC）和现场可编程门阵列（FPGA））上进行了广泛的研究。释放架构/加速器的全部潜力需要确定影响SpMV有效实施的因素。这篇文章是第一篇此类深入调查，涵盖了200多个用于求解稀疏迭代线性系统的最新优化方案，重点是计算SpMV。提出了一种新的分类迭代解决方案和SpMV技术共同的所有架构。本文包括对所有体系结构的SpMV技术的回顾，以巩固单一的分类法，从而鼓励跨体系结构和异构体系结构的开发。然而，主要的焦点是GPU。的主要贡献，以及主要的，次要的，和第三的贡献的SpMV技术首先突出利用分类，然后定性比较。分别讨论了每个体系结构的研究现状的总结。最后，几个开放的问题和未来的研究方向的关键挑战进行了概述。
2022-12-14 cs.DS cs.NA math.NA
AI-enhanced iterative solvers for accelerating the solution of large scale parametrized systems
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
机器学习领域的最新进展开启了高性能计算的新时代。应用机器学习算法来开发复杂问题的准确和具有成本效益的替代品已经引起了科学家的极大关注。尽管他们强大的近似能力，但是，代理人不能产生“确切”的解决方案的问题。为了解决这个问题，本文利用了最新的ML工具，并提供了定制的线性方程系统的迭代求解器，能够以任何期望的精度水平解决大规模参数化问题。具体而言，所提出的方法包括以下两个步骤。首先，执行模型评估的缩减集，并使用相应的解决方案来使用深度前馈神经网络和卷积自动编码器建立从问题的参数空间到其解决方案空间的近似映射。这种映射提供了一种以可忽略的计算成本获得系统对新查询点的响应的非常准确的初始预测的方法。随后，一个迭代求解器的启发，结合适当的正交分解，称为POD-2G的代数多重网格方法，逐步完善对精确的系统解决方案的初始预测。POD-2G作为一个独立的求解器或作为预条件的上下文中的预处理共轭梯度法的应用程序的几个大规模系统的数值例子证明，与传统的迭代求解方案的结果表明其优越性。
2022-08-24 cs.AI cs.LG cs.NA
Implicit Neural Solver for Time-dependent Linear PDEs with Convergence Guarantee
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）
快速精确求解含时不定常偏微分方程是物理、工程、生物等领域的研究热点。一般来说，隐格式格式比显式格式具有更好的稳定性和正确性。现有的隐格式格式通常是迭代的，并采用一个通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器学习一类偏微分方程的最佳迭代方案，在数据驱动的方式。我们通过使用深度神经网络修改现有半隐式求解器的迭代来实现这一目标。此外，我们从理论上证明，我们的方法保留了现有的迭代求解器提供的正确性和收敛性保证。我们还证明，我们的模型推广到一个不同的参数设置比在训练过程中看到的，并实现更快的收敛相比，半隐格式。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
Real-time implementation of an iterative solver for atmospheric tomography
新一代地球极大望远镜（ELT）的成像质量受到大气折射率的严重影响。为了补偿这些光学失真，使用称为自适应光学（AO）的技术。许多自适应光学系统需要重建大气中的折射率波动，称为大气层析成像。解决这个问题的标准方法是矩阵向量乘法，即，系统算子的（正则化的）广义逆的直接应用。然而，在过去的几年中，望远镜的尺寸显著增加，计算效率成为一个问题。有前途的替代方法是迭代法，如基于小波的有限元小波混合算法（FEWHA）。由于其底层运算符的高效无矩阵表示，浮点运算的数量和内存使用量显着减少。在本文中，我们专注于性能优化技术，如并行编程模型，在CPU和GPU上实现这种迭代法。我们评估我们的优化，并行版本FEWHA ELT大小的测试配置的计算性能。
2020-09-02 astro-ph.IM cs.NA math.NA
Algebraic Temporal Blocking for Sparse Iterative Solvers on Multi-Core CPUs
Erlangen National High Performance Computing Center, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根国家高性能计算中心，埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希-亚历山大大学）；Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands（代尔夫特理工大学应用数学研究所）；Department of Computer Science, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希-亚历山大大学计算机科学系）
本文提出通过代数时间阻塞优化稀疏迭代求解器中的矩阵多项式计算，提升性能，展示了在预条件s-step GMRES、多项式预条件器和代数多重网格中取得显著加速效果。
2023-09-05 cs.DC cs.NA math.NA
