关于次正规算子谱映射定理的注记
A Note on Spectral Mapping Theorems for Subnormal Operators
AI总结：
本文通过构造具体的紧集、测度与函数实例，证明了满足特定可逆性差异的$R^\infty(K,\mu)$空间存在，解决了1984年提出的次正规算子谱映射定理相关公开问题。
摘要：
对于紧子集$K\subset \mathbb C$以及支集在$K$上的正有限Borel测度$\mu$，设$\text{Rat}(K)$表示极点不在$K$中的有理函数空间，$R^\infty (K,\mu)$为$\text{Rat}(K)$在$L^\infty (\mu)$中的弱星闭包，$R^2 (K,\mu)$为$\text{Rat}(K)$在$L^2(\mu)$中的闭包。我们证明存在紧子集$K\subset \mathbb C$、支集在$K$上的正有限Borel测度$\mu$以及函数$f\in R^\infty (K,\mu)$，使得$R^\infty (K,\mu)$没有非平凡的直和$L^\infty$直和项，$f$在$R^2 (K,\mu)\cap L^\infty(\mu)$中可逆，且$f$在$R^\infty (K,\mu)$中不可逆。该结果解答了J. Dudziak于1984年提出的关于次正规算子谱映射定理的一个公开问题。
英文摘要：
For a compact subset $K\subset \mathbb C$ and a positive finite Borel measure $μ$ supported on $K,$ let $\text{Rat}(K)$ denote the space of rational functions with poles off $K,$ let $R^\infty (K,μ)$ be the weak-star closure of $\text{Rat}(K)$ in $L^\infty (μ),$ and let $R^2 (K,μ)$ be the closure of $\text{Rat}(K)$ in $L^2(μ).$ We show that there exists a compact subset $K\subset \mathbb C,$ a positive finite Borel measure $μ$ supported on $K,$ and a function $f\in R^\infty (K,μ)$ such that $R^\infty (K,μ)$ has no non-trivial direct $L^\infty$ summands, $f$ is invertible in $R^2 (K,μ)\cap L^\infty(μ),$ and $f$ is not invertible in $R^\infty (K,μ).$ The result answers an open question concerning spectral mapping theorems for subnormal operators raised by J. Dudziak in 1984.
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