利用叠缩级数计算 ζ(2k)、β(2k+1) 及其推广
The computation of $ζ(2k)$, $β(2k+1)$ and beyond by using telescoping series
AI总结：
本文利用叠缩级数和 Bernoulli、Euler 多项式的定义性质，给出 ζ(2k)、β(2k+1) 的简单证明，并推广到 ζ(2k+1)、β(2k) 的积分公式及 Apostol 型级数。
摘要：
我们给出一些简单证明，说明众所周知的表达式 \\[ ζ(2k) = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^{2k}}, \qquad β(2k+1) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{2k+1}}, \\] 其中 $k = 1,2,3,\dots$，可用 Bernoulli 多项式和 Euler 多项式表示。计算仅利用这些多项式的定义性质并借助叠缩级数完成。同一方法还给出 $ζ(2k+1)$ 和 $β(2k)$ 的积分公式。此外，该方法也适用于形如 \\[ \sum_{m\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(2m-μ)^s}, \qquad \sum_{m\in\mathbb{Z}} \frac{(-1)^m}{(2m+1-μ)^s} \\] 的级数，此时使用 Apostol-Bernoulli 多项式和 Apostol-Euler 多项式。
英文摘要：
We present some simple proofs of the well-known expressions for \[ ζ(2k) = \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^{2k}}, \qquad β(2k+1) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{2k+1}}, \] where $k = 1,2,3,\dots$, in terms of the Bernoulli and Euler polynomials. The computation is done using only the defining properties of these polynomials and employing telescoping series. The same method also yields integral formulas for $ζ(2k+1)$ and $β(2k)$. In addition, the method also applies to series of type \[ \sum_{m\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(2m-μ)^s}, \qquad \sum_{m\in\mathbb{Z}} \frac{(-1)^m}{(2m+1-μ)^s}, \] in this case using Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
