算术超限递归之上的搜索问题
Searching problems above arithmetical transfinite recursion
AI总结：
本文研究算术超限递归之上介于 ATR₂ 与 C_{ω^ω} 之间的 Weihrauch 问题，证明康托空间单调算子不动点定理不可归约到 ATR₂，并引入 ω-模型反射 ATR₂^rfn 作为一类算术形式问题的上界，同时给出相对化最小不动点定理的线性层级。
摘要：
我们研究了介于 $\u0007mathsf{ATR}_2$ 与 $\u0007mathsf{C}_{ω^ω}$ 之间的一些 Weihrauch 问题。我们证明，康托空间上单调算子的不动点定理（Knaster-Tarski 定理的一个较弱版本）不能 Weihrauch 归约到 $\u0007mathsf{ATR}_2$。此外，我们引入 $\u0007mathsf{ATR}$ 的 $ω$-模型反射 $\u0007mathsf{ATR}_2^{\u0007mathrm{rfn}}$，并证明它是可由公理系统 $\u0007mathrm{ATR}_0$ 证明的、形如 $\forall X(θ(X) \to \u0007exists Y η(X, Y ))$（其中 $θ, η$ 为算术公式）的问题的上界。我们还证明，康托空间上单调算子的相对化最小不动点定理的 Weihrauch 度在 $\u0007mathsf{ATR}^{\u0007mathrm{rfn}}$ 与 $\u0007mathsf{C}_{ω^ω}$ 之间构成一个线性层级。
英文摘要：
We investigate some Weihrauch problems between $\mathsf{ATR}_2$ and $\mathsf{C}_{ω^ω}$ . We show that the fixed point theorem for monotone operators on the Cantor space (a weaker version of the Knaster-Tarski theorem) is not Weihrauch reducible to $\mathsf{ATR}_2$. Furthermore, we introduce the $ω$-model reflection $\mathsf{ATR}_2^{\mathrm{rfn}}$ of $\mathsf{ATR} $ and show that it is an upper bound for problems provable from the axiomatic system $\mathrm{ATR}_0$ which are of the form $\forall X(θ(X) \to \exists Y η(X, Y ))$ with arithmetical formulas $θ, η$. We also show that Weihrauch degrees of relativized least fixed point theorem for monotone operators on the Cantor space forms a linear hierarchy between $\mathsf{ATR}^{\mathrm{rfn}}$ and $\mathsf{C}_{ω^ω} $.
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