从度量几何视角证明 Kobayashi 的真作用判据
A proof of Kobayashi's properness criterion from a viewpoint of metric geometry
AI总结：
本文将 Kobayashi 关于实约化 Lie 群齐性空间上真作用的 KAK 判据推广到可在度量空间上等距作用的局部紧群，并借助非紧对称空间的 CAT(0) 几何重新证明该判据。
摘要：
设 $G$ 为局部紧群，$(H,L)$ 是 $G$ 的一对闭子群。在 $G$ 为实线性约化 Lie 群的情形下，T. Kobayashi［Math. Ann. '89，J. Lie Theory '96］利用 $G$ 的 Cartan KAK 分解，建立了 $L$ 在齐性空间 $G/H$ 上作用为真作用的判据。本文证明：若 $G$ 是一个允许在某个度量空间上进行适当等距作用的局部紧群，则类似定理仍然成立；并利用非紧 Riemann 对称空间上的 CAT(0) 度量几何，给出了 Kobayashi 判据的一个证明。
英文摘要：
Let $G$ be a locally-compact group and $(H,L)$ a pair of closed subgroups of $G$. For the cases where $G$ is a real linear reductive Lie group, T. Kobayashi [Math. Ann. '89, J. Lie Theory '96] established a criterion for properness of the $L$-action on the homogeneous space $G/H$ in terms of Cartan's KAK-decomposition of $G$. In this paper, we show that a similar theorem also holds if $G$ is a locally-compact group admitting a suitable isometric action on a metric space, and give a proof of Kobayashi's criterion in terms of CAT(0) metric geometry on non-compact Riemannian symmetric spaces.
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