Randomized Orthogonal Projection Methods for Krylov Subspace Solvers
随机正交投影方法（ROPMs）可以用来加速Krylov子空间方法在各种情况下的计算。通过理论和数值研究，我们建立了这些方法产生准最优逼近的Krylov子空间。我们的数值实验概述了测试集中所有矩阵的ROPM的收敛性，偶尔会出现峰值，但总体上具有与标准OPM相似的收敛速度。
2023-03-10 cs.NA math.NA
A note on augmented unprojected Krylov subspace methods
子空间循环迭代法和其他子空间增强方案是Krylov子空间方法的成功扩展，其中Krylov子空间用被认为有助于加速收敛或传达解的知识的向量所跨越的固定子空间来增强。最近，发表了一项调查，其中提出了描述绝大多数此类方法的框架[Soodhalter等人，GAMM-Mitt. 2020年]。在许多这些方法中，Krylov子空间是由依赖于增广空间的投影器组成的系统矩阵生成的子空间。然而，并不要求使用投影Krylov子空间。有一些增广方法是建立在使用由原始系统矩阵生成的Krylov子空间的基础上的，这些方法也适合于一般的框架。在这份说明中，我们观察到，一个增益的实施效益，考虑这种增强方法与非投影Krylov子空间的一般框架。我们通过将该想法应用于[Dong et al. ETNA 2014]中提出的R $^3$ GMRES方法来证明这一点，以获得简化的实现，并将该算法与基于灵活预处理的早期增强方案相连接[Saad. SIMAX 1997]。
2022-02-10 cs.NA math.NA
A Parallel Augmented Subspace Method for Eigenvalue Problems
利用多重网格法中的粗空间，提出了一类求解本征值问题的并行增广子空间格式。借助于多重网格法中的粗空间，将特征值问题在最细空间中的求解分解为求解标准线性边值问题和极低维本征值问题。由于多重网格法不需要在最细空间中直接求解特征值，可以作为求解线性边值问题的方法，从而提高了计算效率。此外，对于不同的特征值，相应的边值问题和低维本征值问题相互独立，不存在数据交换，可以并行求解。这个性质意味着我们不需要在最高维空间中进行正交化。这是本文的主要目的，因为避免正交化可以提高所提出的数值方法的可扩展性。数值算例验证了并行增广子空间方法的有效性。
2020-08-18 cs.NA math.NA
Block Krylov subspaces and orthogonal matrix polynomials: a structural correspondence with applications to unitary matrices
KU Leuven（鲁汶大学）
本文研究了块Krylov子空间与矩阵正交函数之间的联系，提出了一种统一的框架用于分析和构造正交基和递推关系，并在单位ary矩阵情况下展示了如何将正交矩阵多项式的Szegő递推和CMV框架转移到块Krylov设置中。
2026-05-16 cs.NA math.NA
Krylov-subspace recycling via the POD-augmented conjugate-gradient method
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；University of Maryland（马里兰大学）
本文提出一种新的Krylov子空间回收方法，用于高效求解右端变化的线性方程组。该方法基于目标导向的POD模型降阶思想，结合POD的最优性特性，提升子空间的适应性，通过混合直接/迭代三阶段方法提高求解效率。
2016-01-21 cs.NA math.NA
Randomized orthogonalization and Krylov subspace methods: principles and algorithms
Sorbonne University（索邦大学）；INRIA（法国国家数字科学研究所）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；PSI Center for Scientific Computing, Theory and Data（瑞士保罗谢勒研究院科学计算、理论与数据中心）
本文提出了一种通过随机正交化技术减少计算成本的Krylov子空间方法，用于求解大规模线性代数问题。
2025-12-17 cs.NA math.NA
A Nonnested Augmented Subspace Method for Kohn-Sham Equation
本文提出一种结合移动网格自适应技术与增广子空间方法的非嵌套自适应有限元算法，将大规模Kohn-Sham方程转化为线性边值问题加小规模修正，显著提升求解效率与精度。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Tensor Orthogonal Subspace Split: Theory and Applications
Yunnan University（云南大学）；Anhui Jianzhu University（安徽建筑大学）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）；University of Macau（澳门大学）
本文提出张量正交子空间拆分（TOSS）理论框架，将张量沿指定模式拆分为正交分量，构建优化模型并开发算法，在高光谱图像复原等任务中验证了方法的有效性。
2026-09-01 cs.NA math.NA
Kernel-based linear system identification using augmented Krylov subspaces
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
本文提出一种基于克里洛夫子空间的新方法，用于估计一维线性时不变系统的有限脉冲响应。通过联合近似数据拟合和模型复杂度，利用增强的克里洛夫子空间提高收敛速度和精度。
2026-05-08 cs.NA math.NA
Augmented Flexible Krylov Subspace methods with applications to Bayesian inverse problems
针对可建模为两类随机变量之和的大规模线性离散不适定问题，提出两种增广灵活Krylov子空间方法，兼具收敛理论保证与稳定数值性能，在多类反问题实验中验证了效率。
2023-10-08 cs.NA math.NA
Orthogonal iterations on Structured Pencils
本文提出了一类基于正交迭代的快速子空间跟踪算法，其结构矩阵/束可以表示为酉矩阵的小秩扰动。该算法依赖于一个更新的数据稀疏分解-命名为LFR分解-使用正交Hessenberg矩阵。这些新的子空间跟踪器达到每次更新仅$O(nk^2)$操作的复杂度，其中$n$和$k$分别是矩阵和小秩扰动的大小。
2021-04-22 cs.NA math.NA
A note on the constants in inverse trace inequalities for polynomials orthogonal to lower-order subspaces
Inria（法国国家信息与自动化研究所）；CERMICS, CNRS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（巴黎高等师范学院计算数学与控制系统研究中心，法国国家科学研究中心，国立路桥学校，巴黎理工学院）
本文研究了多项式在与低阶子空间正交时逆迹不等式中的精确显式常数，为混合伽辽金方法的hp分析提供了理论支持。
2026-07-27 cs.NA math.NA
A framework for deflated and augmented Krylov subspace methods
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
提出一个满足Galerkin条件的Krylov子空间方法框架，通过显式或隐式增广以及缩减技术加速线性系统求解，并分析缩减MINRES方法的崩溃条件及避免策略。
2013-02-01 cs.NA math.NA
Mixed forward-backward stability of the two-level orthogonal Arnoldi method for quadratic problems
KU Leuven（鲁汶大学）
本文研究了双重层次正交Arnoldi方法在计算二次Krylov子空间正交基时的数值稳定性，提出在矩阵范数适中时，该方法能保持子空间的稳定性，并探讨了通过缩放问题提升稳定性的方法。
2017-07-04 cs.NA math.NA
On numerical solution of full rank linear systems
矩阵可以通过添加额外的列来扩充，使得矩阵在行块中的划分定义相互正交的子空间。这个增广系统可以有效地解决了这些子空间的投影之和。通过以特定形式向矩阵添加附加行来确保与原始线性系的等价性。由此产生的解决方案的方法被称为增广块Cimmino方法。本文将该方法推广到满秩欠定组和超定组。在后一种情况下，矩阵的行，而不是列，必须适当地增加。本文对这些方法进行了分析。
2019-08-30 cs.NA math.NA
A geometric note on subspace updates and orthogonal matrix decompositions under rank-one modifications
University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文研究了在秩一修改下如何通过几何方法更新子空间，并推导了正交矩阵分解的闭式表达式，同时给出了子空间距离的计算方法。
2019-03-05 cs.NA math.NA
Krylov Subspace Recycling With Randomized Sketching For Matrix Functions
针对多向量上矩阵函数序列的高效计算，本文提出带随机草图绘制的 Krylov 子空间回收方法，利用增广 FOM 闭式近似避免数值积分并降低正交化成本。
2023-08-22 cs.NA math.NA
A spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method for parametrized PDEs with limited snapshot data
Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科技大学（广州））
针对参数化PDE中快照数据有限导致POD预测能力不足的问题，提出谱子空间增强POD-Galerkin方法（SS-POD），通过谱分解和局部POD提高外推精度，在Laplace-Beltrami问题中仅用5个快照即达高精度。
2026-07-03 cs.NA math.NA
On orthogonal projections for dimension reduction and applications in augmented target loss functions for learning problems
University of Vienna（维也纳大学）；Medical University of Vienna（维也纳医科大学）；Brno University of Technology（布尔诺理工大学）
研究了学习框架中高维输入和目标数据上的正交投影的使用。首先，我们研究了两个标准目标在降维、方差保持和两两相对距离保持方面的关系。对它们的渐近相关性的研究以及数值实验表明，一个投影通常不能同时满足两个目标。在标准分类问题中，我们确定输入数据的预测，以平衡目标并比较后续结果。接下来，我们将正交投影的应用扩展到深度学习任务，并介绍增强目标损失函数的一般框架。这些损失函数通过目标数据的变换和投影来整合附加信息。在两个有监督的学习问题，临床图像分割和音乐信息分类，我们提出的增强目标损失函数的应用提高了准确性。
2019-09-09 cs.LG cs.NA math.NA
Krylov Subspace Recycling for Sequences of Shifted Linear Systems
我们研究了使用Krylov子空间回收的解决方案的序列缓慢变化的家庭的线性系，其中每个家庭由移位的线性系，不同的系数矩阵，只有倍数的身份。我们的目标是探索同时解决方案的每个家庭的移位系统的框架内的子空间回收，使用一个增广子空间提取候选解决方案的所有移位系统。理想的方法将为所有系统使用相同的增强子空间，并且具有固定的存储要求，与每个系列的移动系统数量无关。我们表明，满足这两个要求的方法不能存在于这个框架。作为替代方案，我们引入两个方案。我们为每个移位系统构造一个单独的收缩空间，但同时求解每个移位系统族。另一种方法只建立一个循环子空间，并在迭代线性求解器的每个循环中构造对移位系统的解的近似校正，同时只最小化基本系统残差。在收敛的基本系统的解决方案，我们递归地应用该方法的其余未收敛的系统。我们提出的数值例子涉及系统产生的晶格量子色动力学。
2013-08-29 cs.MS cs.NA math.NA
Angles Between Infinite Dimensional Subspaces with Applications to the Rayleigh-Ritz and Alternating Projectors Methods
University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
本文定义了Hilbert空间中无限维子空间之间的夹角，利用自伴算子谱理论研究其性质，并应用于Rayleigh-Ritz方法中的Ritz值分析和交替投影方法的加速。
2010-06-01 cs.NA math.FA math.NA
Dynamically orthogonal tensor methods for high-dimensional nonlinear PDEs
我们发展了新的动态正交张量方法来逼近多元函数和高维时间相关的非线性偏微分方程（PDE）的解。其关键思想是将问题的自变量分解为互不相交的子集，从而得到近似空间的层次分解。这个过程可以方便地用二叉树来可视化，产生类似于经典张量火车和分层塔克张量格式的级数展开。通过在二叉树的每一层上施加动态正交条件，我们得到了跨越层次分解中每个子空间的模式的耦合发展方程。这使我们能够有效地计算解决高维时间依赖的非线性偏微分方程的张量流形的常秩，而不需要降秩方法。我们还提出了新的算法动态添加和删除每个子空间内的模式。数值例子和讨论高维双曲型和抛物型偏微分方程在有界域。
2019-07-12 cs.NA math-ph math.MP
