A note on augmented unprojected Krylov subspace methods
子空间循环迭代法和其他子空间增强方案是Krylov子空间方法的成功扩展，其中Krylov子空间用被认为有助于加速收敛或传达解的知识的向量所跨越的固定子空间来增强。最近，发表了一项调查，其中提出了描述绝大多数此类方法的框架[Soodhalter等人，GAMM-Mitt. 2020年]。在许多这些方法中，Krylov子空间是由依赖于增广空间的投影器组成的系统矩阵生成的子空间。然而，并不要求使用投影Krylov子空间。有一些增广方法是建立在使用由原始系统矩阵生成的Krylov子空间的基础上的，这些方法也适合于一般的框架。在这份说明中，我们观察到，一个增益的实施效益，考虑这种增强方法与非投影Krylov子空间的一般框架。我们通过将该想法应用于[Dong et al. ETNA 2014]中提出的R $^3$ GMRES方法来证明这一点，以获得简化的实现，并将该算法与基于灵活预处理的早期增强方案相连接[Saad. SIMAX 1997]。
2022-02-10 cs.NA math.NA
A Parallel Augmented Subspace Method for Eigenvalue Problems
利用多重网格法中的粗空间，提出了一类求解本征值问题的并行增广子空间格式。借助于多重网格法中的粗空间，将特征值问题在最细空间中的求解分解为求解标准线性边值问题和极低维本征值问题。由于多重网格法不需要在最细空间中直接求解特征值，可以作为求解线性边值问题的方法，从而提高了计算效率。此外，对于不同的特征值，相应的边值问题和低维本征值问题相互独立，不存在数据交换，可以并行求解。这个性质意味着我们不需要在最高维空间中进行正交化。这是本文的主要目的，因为避免正交化可以提高所提出的数值方法的可扩展性。数值算例验证了并行增广子空间方法的有效性。
2020-08-18 cs.NA math.NA
Krylov-subspace recycling via the POD-augmented conjugate-gradient method
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）；University of Maryland（马里兰大学）
本文提出一种新的Krylov子空间回收方法，用于高效求解右端变化的线性方程组。该方法基于目标导向的POD模型降阶思想，结合POD的最优性特性，提升子空间的适应性，通过混合直接/迭代三阶段方法提高求解效率。
2016-01-21 cs.NA math.NA
A Nonnested Augmented Subspace Method for Kohn-Sham Equation
本文提出一种结合移动网格自适应技术与增广子空间方法的非嵌套自适应有限元算法，将大规模Kohn-Sham方程转化为线性边值问题加小规模修正，显著提升求解效率与精度。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Kernel-based linear system identification using augmented Krylov subspaces
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
本文提出一种基于克里洛夫子空间的新方法，用于估计一维线性时不变系统的有限脉冲响应。通过联合近似数据拟合和模型复杂度，利用增强的克里洛夫子空间提高收敛速度和精度。
2026-05-08 cs.NA math.NA
Augmented Flexible Krylov Subspace methods with applications to Bayesian inverse problems
针对可建模为两类随机变量之和的大规模线性离散不适定问题，提出两种增广灵活Krylov子空间方法，兼具收敛理论保证与稳定数值性能，在多类反问题实验中验证了效率。
2023-10-08 cs.NA math.NA
A framework for deflated and augmented Krylov subspace methods
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
提出一个满足Galerkin条件的Krylov子空间方法框架，通过显式或隐式增广以及缩减技术加速线性系统求解，并分析缩减MINRES方法的崩溃条件及避免策略。
2013-02-01 cs.NA math.NA
On numerical solution of full rank linear systems
矩阵可以通过添加额外的列来扩充，使得矩阵在行块中的划分定义相互正交的子空间。这个增广系统可以有效地解决了这些子空间的投影之和。通过以特定形式向矩阵添加附加行来确保与原始线性系的等价性。由此产生的解决方案的方法被称为增广块Cimmino方法。本文将该方法推广到满秩欠定组和超定组。在后一种情况下，矩阵的行，而不是列，必须适当地增加。本文对这些方法进行了分析。
2019-08-30 cs.NA math.NA
Krylov Subspace Recycling With Randomized Sketching For Matrix Functions
针对多向量上矩阵函数序列的高效计算，本文提出带随机草图绘制的 Krylov 子空间回收方法，利用增广 FOM 闭式近似避免数值积分并降低正交化成本。
2023-08-22 cs.NA math.NA
A spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method for parametrized PDEs with limited snapshot data
Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科技大学（广州））
针对参数化PDE中快照数据有限导致POD预测能力不足的问题，提出谱子空间增强POD-Galerkin方法（SS-POD），通过谱分解和局部POD提高外推精度，在Laplace-Beltrami问题中仅用5个快照即达高精度。
2026-07-03 cs.NA math.NA
Augmented Block-Arnoldi Recycling CFD Solvers
针对循环GCRO方法基向量正交化计算量大的问题，引入低同步算法进展，采用带块下三角校正矩阵的逆紧致WY改进Gram-Schmidt块间正交化方案，结合加权投影可大幅减少迭代次数，且循环子空间特征谱可替代预处理器。
2023-06-09 cs.NA math.NA
Block algorithms with augmented Rayleigh-Ritz projections for large-scale eigenpair computation
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学数学科学中心）；Department of Computational and Applied Mathematics, Rice University（莱斯大学计算与应用数学系）
本文提出基于块方法的本征对计算算法，通过增强Rayleigh-Ritz投影和多项式加速器，提高并发性并减少Rayleigh-Ritz步骤次数，实验表明其性能可与ARPACK和FEAST等算法竞争甚至更优。
2015-07-22 cs.NA math.NA
Krylov Subspace Recycling For Matrix Functions
针对矩阵函数对向量序列的应用问题，提出带子空间循环利用的增强Krylov子空间方法（含三种实现版本），假设连续矩阵相关但向量无约束，经多函数多矩阵数值实验验证有效，重点关注格点QCD重叠形式的符号函数。
2025-08-20 cs.NA math.NA
Krylov Subspace Recycling for Sequences of Shifted Linear Systems
我们研究了使用Krylov子空间回收的解决方案的序列缓慢变化的家庭的线性系，其中每个家庭由移位的线性系，不同的系数矩阵，只有倍数的身份。我们的目标是探索同时解决方案的每个家庭的移位系统的框架内的子空间回收，使用一个增广子空间提取候选解决方案的所有移位系统。理想的方法将为所有系统使用相同的增强子空间，并且具有固定的存储要求，与每个系列的移动系统数量无关。我们表明，满足这两个要求的方法不能存在于这个框架。作为替代方案，我们引入两个方案。我们为每个移位系统构造一个单独的收缩空间，但同时求解每个移位系统族。另一种方法只建立一个循环子空间，并在迭代线性求解器的每个循环中构造对移位系统的解的近似校正，同时只最小化基本系统残差。在收敛的基本系统的解决方案，我们递归地应用该方法的其余未收敛的系统。我们提出的数值例子涉及系统产生的晶格量子色动力学。
2013-08-29 cs.MS cs.NA math.NA
An efficient shape parametrisation by free-form deformation enhanced by active subspace for hull hydrodynamic ship design problems in open source environment
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）
本文利用主动子空间方法减少参数空间，通过自由形变生成船体形状扰动，评估形状参数对总阻力的影响，结合动态模式分解和开源工具提高计算效率。
2018-03-25 cs.NA math.NA
DGMRES method augmented with eigenvectors for computing the Drazin-inverse solution of singular linear systems
College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学理学院）
针对DGMRES重启导致收敛慢或停滞的问题，提出通过添加特征向量扩充子空间以加速收敛，并给出实现与数值验证。
2010-09-22 cs.NA math.NA
Field-of-values analysis of augmented Krylov methods for matrix $φ$-function actions
Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）；School of Mathematics and Natural Sciences, Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学数学与自然科学学院）
该研究从块三角公式角度重新审视矩阵φ函数作用的Krylov方法，对比KIOPS等算法与Al-Mohy和Liu方法，前者值域因运算向量增长致收敛估计悲观，后者收敛界更有利，研究两者联系以转移收敛界解释性能。
2026-07-21 cs.NA math.NA
Shape optimization through proper orthogonal decomposition with interpolation and dynamic mode decomposition enhanced by active subspaces
SISSA, International School of Advanced Studies（SISSA，高等研究学院）
本文提出了一种用于船舶工程形状优化的数值流程，结合proper orthogonal decomposition with interpolation (PODI)和dynamic mode decomposition (DMD)两种非侵入式降阶方法，并通过主动子空间（AS）预处理技术减少参数空间维度并改进输入空间采样。研究重点在于通过自由变形（FFD）技术描述参考球形船头的扰动几何参数。ROM基于有限体积法（FV）模拟变形船体周围的多相不可压缩流体。本文的创新点在于同时减少输入参数空间和感兴趣输出场的维度。AS将通过计算船体在平静水中的总阻力及其对输入参数的梯度进行训练，DMD通过少量解场快照预测系统状态，PODI则通过插值POD分解系数快速逼近新参数下的所有场。
2019-05-14 cs.NA math.NA
Enhanced Physics-Informed Neural Networks with Augmented Lagrangian Relaxation Method (AL-PINNs)
Hanbat National University（韩巴大学）；Korea Advanced Institute of Science and Technology（韩国科学技术院）；Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学）
本文提出AL-PINNs方法，将初始和边界条件作为约束，利用增广拉格朗日松弛将PINNs训练转化为序列化最大-最小问题，实现损失分量自适应平衡，并在多个方程上验证其相对误差显著低于现有自适应损失平衡算法。
2023-05-31 cs.AI cs.LG cs.NA
Speeding-Up Convergence via Sequential Subspace Optimization: Current State and Future Directions
Technion—Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文综述了顺序子空间优化框架在大规模无约束优化中的应用，探讨了其与并行坐标下降法的结合，以及如何通过改进方法提升求解效率。
2013-12-31 cs.LG cs.NA math.NA
