一个带有优化缩减余项的新二阶类泰勒定理
A new second order Taylor-like theorem with an optimized reduced remainder
AI总结：
本文推导了一个带有极小化余项的类泰勒定理变体，通过引入等距点导数的线性组合与端点二阶导数，改进了Lagrange $P_2$插值误差估计和Simpson法则的误差界限。
摘要：
本文推导了泰勒定理的一个变体，以获得新的极小化余项。对于定义在区间 $[a,b]$ 上的给定函数 $f$，该公式通过引入在 $[a,b]$ 中 $n+1$ 个等距点处计算的 $f'$ 的线性组合，连同 $f''(a)$ 和 $f''(b)$ 推导而得。随后，我们考虑了这种类泰勒展开的两个经典应用：插值误差和数值求积公式。我们证明，使用该方法改进了数值积分中的 Lagrange $P_2$ 插值误差估计和 Simpson 法则的误差界限。
英文摘要：
In this paper, we derive a variant of the Taylor theorem to obtain a new minimized remainder. For a given function $f$ defined on the interval $[a,b]$, this formula is derived by introducing a linear combination of $f'$ computed at $n+1$ equally spaced points in $[a,b]$, together with $f''(a)$ and $f''(b)$. We then consider two classical applications of this Taylor-like expansion: the interpolation error and the numerical quadrature formula. We show that using this approach improves both the Lagrange $P_2$ - interpolation error estimate and the error bound of the Simpson rule in numerical integration.
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