$L$-函数在临界线附近分布的差异界
Discrepancy bounds for the distribution of $L$-functions near the critical line
AI总结：
研究了 $L$-函数在临界线附近的联合分布，获得了其与随机模型分布差异的上界，并以此证明了 Selberg 中心极限定理多维版本的渐近展开。
摘要：
我们研究了 $L$-函数在直线 $ σ= \frac12 + \frac1{G(T)}$ 和 $ t \in [ T, 2T]$ 上的联合分布，其中 $ \log \log T \leq G(T) \leq \frac{ \log T}{ ( \log \log T)^2 } $。我们获得了 $L$-函数的联合分布与其随机模型分布之间差异的上界。作为应用，我们证明了对于 $ σ= \frac12 + \frac1{G(T)}$ 和 $ t \in [ T, 2T]$ 上的 $L$-函数，Selberg 中心极限定理的多维版本的一个渐近展开，其中对于 $ ε> 0$，有 $ ( \log T)^ε\leq G(T) \leq \frac{ \log T}{ ( \log \log T)^{2+ε} } $。
英文摘要：
We investigate the joint distribution of $L$-functions on the line $ σ= \frac12 + \frac1{G(T)}$ and $ t \in [ T, 2T]$, where $ \log \log T \leq G(T) \leq \frac{ \log T}{ ( \log \log T)^2 } $. We obtain an upper bound on the discrepancy between the joint distribution of $L$-functions and that of their random models. As an application we prove an asymptotic expansion of a multi-dimensional version of Selberg's central limit theorem for $L$-functions on $ σ= \frac12 + \frac1{G(T)}$ and $ t \in [ T, 2T]$, where $ ( \log T)^ε\leq G(T) \leq \frac{ \log T}{ ( \log \log T)^{2+ε} } $ for $ ε> 0$.
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