关于相交多边形
On Intersecting Polygons
摘要：
考虑平面中的两个区域，分别由$n$ -边形和$m$ -边形界定。在它们的交集中最多可以有多少个连接的组件？这个问题是克罗夫特问的。我们回答这个问题的渐近，证明界$$\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \cdot \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor\le f(n,m)\le \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \cdot \frac{n}{2} + \frac{m}{2} $$，其中$f(n,m)$表示的最大数量的组件和$m\le n$。此外，我们给出了一个确切的答案，找到最大的组件数的相关问题，如果要求$m$ -gon是凸的：$\left \lfloor \frac{m+n-2}{2}\right\rfloor$，如果$n\ge m+2$和$n-2$否则。
英文摘要：
Consider two regions in the plane, bounded by an $n$-gon and an $m$-gon, respectively. At most how many connected components can there be in their intersection? This question was asked by Croft. We answer this asymptotically, proving the bounds $$\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \cdot \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor\le f(n,m)\le \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \cdot \frac{n}{2} + \frac{m}{2} $$ where $f(n,m)$ denotes the maximal number of components and $m\le n$. Furthermore, we give an exact answer to the related question of finding the maximal number of components if the $m$-gon is required to be convex: $\left \lfloor \frac{m+n-2}{2}\right\rfloor$ if $n\ge m+2$ and $n-2$ otherwise.
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