Solving Optimization Problems over the Stiefel Manifold by Smooth Exact Penalty Function
在本文中，我们提出了一种新的惩罚模型称为ExPen的Stiefel流形上的优化。与已有的正交约束罚函数不同，ExPen采用光滑罚函数，不使用目标函数的任何一阶导数。我们证明了具有足够大的罚参数的Expen的所有一阶稳定点要么是可行的，即是原始最优化问题的一阶稳定点，要么远离Stiefel流形。此外，原问题和Expen共享相同的二阶平稳点。值得注意的是，ExPen的精确梯度和Hessian很容易计算。因此，丰富的无约束优化算法资源可以直接应用于解决Expen问题。
2022-12-18 math.OC
A Retraction-Free EXTRA Method for Decentralized Optimization on the Stiefel Manifold
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文提出了一种无回退的EXTRA方法，用于在Stiefel流形上解决具有正交约束的去中心化优化问题，通过结合近似梯度映射和EXTRA递归，实现了简单的通信模式和O(1/K)收敛率。
2026-04-28 math.OC
Improved Penalty Function Approaches for Optimization Problems with General Orthogonality
Guangxi University（广西大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））
本文提出改进的惩罚函数方法用于解决具有通用正交约束的优化问题，通过约束溶解方法构建了易于计算的惩罚函数，并证明其在一阶和二阶平稳点上的等价性，同时展示了其在计算复杂度和效率上的优势。
2026-04-29 math.OC
On the Local Linear Rate of Consensus on the Stiefel Manifold
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
研究了Stiefel流形上无向连通图一致性问题的黎曼梯度法的收敛性. Stiefel流形是一个非凸集，在欧几里得空间中平均的标准概念对这个问题不起作用。提出了Stiefel流形上的分布式黎曼共识（DRCS），并证明了它具有局部线性收敛速率.更重要的是，该局部速率与通信矩阵的第二大奇异值渐近地成比例，这与欧几里得空间中的公知速率相当。据我们所知，这是第一个工作表明平等的两个利率。主要的技术挑战包括（i）开发用于收敛分析的黎曼限制割线不等式，以及（ii）确定条件（例如，合适的步长和初始化），在该算法下，算法总是停留在局部区域中。
2021-01-22 cs.LG cs.SY eess.SY
Tight Error Bounds for the Sign-Constrained Stiefel Manifold
本文研究符号约束 Stiefel 流形的距离刻画，提出带显式系数和易算残差的全局、局部紧误差界，并用于构造正交与符号约束优化的精确罚方法。
2024-05-19 cs.NA math.NA math.OC
Multipliers Correction Methods for Optimization Problems over the Stiefel Manifold
提出一类Stiefel流形上极小化可微函数的乘子校正方法。所提出的方法结合了一个函数值减少的步骤与一个接近的校正步骤。前一种方法是在欧几里得空间中沿任意下降方向搜索，而不是在Stiefel流形的切空间中沿矢量搜索。同时，后者最小化目标函数的一阶近似的范围空间中的电流的范围，使拉格朗日乘子与正交约束对称的任何积累点。证明了所提出方法的整体收敛性。初步的数值实验表明，新方法在解决各种测试问题方面显着优于其他最先进的一阶方法。
2020-11-30 math.OC
From Manifold Identification to Newton Acceleration on Intersections: Sparse Stiefel Optimization
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Xiamen University（厦门大学）
研究Stiefel流形上稀疏复合优化的牛顿加速问题，针对活动流形与Stiefel流形相交的几何困难，提出非对角扰动Stiefel族及MIX方法，证明相关保证，数值实验表明该方法在保持解质量时显著提升效率。
2026-08-14 math.OC
Muon on the Stiefel Manifold Admits an Exact Closed-Form Update
HSE University（高等经济大学）
研究施蒂费尔流形上的Muon优化方法，证明其存在精确闭式更新，开发了高效的Skewon算法并建立了一阶收敛保证。
2026-08-07 cs.LG cs.NA math.NA
Sequential subspace methods on Stiefel manifold optimization
National Tsing Hua University（国立清华大学）；UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
研究斯蒂费尔流形上二次函数最小化问题，用序列子空间方法降低计算复杂度，通过构建特定子空间保证收敛到合格临界点，纳入牛顿方向向量可加速收敛，为高维半监督分类提供有效优化方法。
2026-07-20 math.OC
Nonlinear Eigen-approach ADMM for Sparse Optimization on Stiefel Manifold
提出一种基于非线性特征方法的ADMM算法，用于解决Stiefel流形上的稀疏优化问题，通过将问题分解为流形上的光滑优化和凸非光滑优化，分别采用NEPv和近端梯度法求解，具有高效收敛性。
2024-06-04 math.OC
A Smooth Locally Exact Penalty Method for Optimization Problems over Generalized Stiefel Manifolds
本文提出了一种适用于广义Stiefel流形的平滑局部精确惩罚方法，通过消除retractions和向量传输需求，提高了计算效率并验证了方法的有效性。
2026-02-05 math.OC
Global Optimization with Orthogonality Constraints via Stochastic Diffusion on Manifold
Peking University（北京大学）；Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）
本文提出了一种基于随机微分方程在Stiefel流形上构造噪声梯度流的方法，用于解决带有正交约束的全局优化问题，通过Cayley变换实现高效数值模拟，并证明了算法在二次连续性下的收敛性。
2017-07-07 cs.NA math.NA math.OC
Accelerated Optimization With Orthogonality Constraints
我们开发了一个推广的Nesterov的加速梯度下降法，旨在处理正交约束。为了证明我们的方法的有效性，我们进行了数值实验，表明迭代次数的规模与条件数的平方根，并与现有的最先进的拟牛顿法的Stiefel流形上进行比较。我们的实验表明，我们的方法优于现有的国家的最先进的拟牛顿法对一些大的，病态的问题。
2021-01-06 math.OC
A Penalty-free Infeasible Approach for a Class of Nonsmooth Optimization Problems over the Stiefel Manifold
转化为具有凸紧约束的精确罚函数模型，得到了求解正交约束最优化问题的有效的不可行方法。对于光滑和$\ell_{2,1}$ -范数正则化的情形，这些不可行方法采用了简单的无正交归一化的更新方案，并在测试实例中显示了其高效性。然而，为了避免正交归一化，同时加强最终解决方案的可行性，这些不可行的方法引入了二次惩罚项，其中不适当的罚参数可能导致数值效率低下。受光滑最优化问题的无惩罚算法的启发，提出了一类带正交约束和非光滑正则项的最优化问题的近似一阶算法.后件法称为序贯线性化邻近梯度法（SLPG），交替采用切向步长和法向步长分别提高最优性和可行性。在SLPG中，如果需要高精度的可行性，则仅在最后一步调用一次正交归一化过程，这表明SLPG中的主要迭代是无正交归一化的。此外，切向步长和法向步长均不涉及罚参数，因此SLPG是无惩罚的，避免了因罚参数选择不当而导致的无效。分析了在切向步长不精确计算的情况下SLPG的整体收敛性质。通过不精确地计算切向步长，对于光滑情形和$\ell_{2,1}$ -范数正则化情形，SLPG具有封闭形式的更新方案，这导致其切向步长的廉价。数值实验表明，与现有的一阶方法相比，SLPG具有数值优势。
2021-03-28 math.OC
Optimization without Retraction on the Random Generalized Stiefel Manifold
ICTEAM Institute, UCLouvain（ICTEAM学院，UCLouvain大学）；Department of Statistics, University of Oxford（统计系，牛津大学）；Apple Machine Learning Group（苹果机器学习小组）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（数学与系统科学学院，中国科学院）
本文提出一种仅需随机估计矩阵B的随机迭代优化方法，在期望意义下收敛到广义Stiefel流形临界点，无需每步回缩约束，以更低计算成本在CCA、ICA和GEVP等任务中达到与黎曼优化相同的收敛速率。
2025-11-08 cs.LG math.OC stat.ML
A generalized canonical metric for optimization on the indefinite Stiefel manifold
Thai Nguyen University of Technology（越南国家大学 Technologie 大学）；Thai Nguyen University of Sciences（泰原大学）
本文提出不定Stiefel流形上的新规范度量及几何结构，通过构造准测地线和基于该曲线的retraction，验证了基于新几何的Riemannian梯度下降法性能。
2026-01-25 math.OC
Randomized Submanifold Subgradient Method for Optimization over Stiefel Manifolds
The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；University of Chicago（芝加哥大学）
针对 Stiefel 流形上高维非光滑弱凸优化，论文提出坐标型 RSSM，证明其 O(ε^{-4}) 迭代复杂度，并通过鲁棒子空间恢复等实验验证可行性。
2026-09-29 math.OC
A Riemannian gradient descent method for optimization on the indefinite Stiefel manifold
Thai Nguyen University of Technology（越南国家大学太原分校工程技术大学）；Thai Nguyen University of Sciences（太原科技大学）
针对形如X^TAX=J的二次矩阵约束优化问题，通过构造不定Stiefel流形的黎曼几何结构并基于Cayley变换提出回缩，给出全局收敛的黎曼梯度下降法，推广了正交和广义Stiefel流形情形，并应用于特征值问题和矩阵最小二乘问题。
2026-05-23 math.OC
A relaxation method for binary optimizations on constrained Stiefel manifold
针对语义哈希中可行集可能为空的二元正交优化问题，提出基于受限Stiefel流形与矩阵箱集距离罚的等价光滑模型，并设计收缩线搜索黎曼梯度法，在MNIST和CIFAR-10上取得优越的可行性与哈希性能。
2024-07-07 math.OC
A Theory of the NEPv Approach for Optimization On the Stiefel Manifold
University of Texas at Arlington（阿灵顿得克萨斯大学）
本文提出一个统一框架，确保在斯蒂费尔流形上优化的NEPv/NPDo方法在满足基本假设时能全局收敛到极值点，并证明原子函数及其凸组合满足这些假设。
2026-10-05 math.OC
Chordal Averaging on Flag Manifolds and Its Applications
Colorado State University（科罗拉多州立大学）；Imperial College London（伦敦帝国理工学院）
针对旗流形上一阶统计量计算难题，提出将问题转化为Stiefel流形辅助变量优化的可收敛弦平均算法，在Grassmann平均等任务中验证了有效性并开源代码。
2023-07-17 cs.CV cs.LG math.DG
Finding the symmetry group of an LP with equality constraints and its application to classifying orthogonal arrays
对于给定的线性规划（LP），将可行点发送到可行点并保持其每个可行点的目标函数值的变量的置换是LP的对称性。LP的所有对称的集合，记为$G^{\rm LP}$，是LP的对称群。Margot [F. Margot，50 Years整数规划1958-2008（2010），647-686]描述了一种用于计算LP的对称群$G^{\rm LP}$的子群的方法。该方法在线性规划只有非冗余不等式且其可行集不满足等式约束的情况下计算$G^{\rm LP}$。然而，当LP的可行集满足等式约束时，该方法仅找到$G^{\rm LP}$的子群，并且可能错过对称性。我们发展了一种方法来寻找对称群的可行LP的可行集满足等式约束。我们应用这种方法来寻找和利用以前未利用的对称性的正交阵列定义整数线性规划（ILP）内的分支和界限（B\&B）与同构修剪算法[F。Margot，对称ILP：着色和小整数，离散最优化4（1）（2007），40-62]。与已知的最快的方法相比，我们的方法将查找OA $(160,8,2,4)$和OA $(176,8,2,4)$的所有OD等价类的运行时间减少了$1/(2.16)$和$1/(1.36)$的因子[D. A. Bulutoglu和K. J. Ryan，正交数组分类的整数规划，Australasian Journal of Combinatorics 70（3）（2018），362-385…
2021-04-22 math.CO math.OC
Weakly Convex Optimization over Stiefel Manifold Using Riemannian Subgradient-Type Methods
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Cainiao Network（菜鸟网络）；University of Michigan（密歇根大学）；University of Denver（丹佛大学）
考虑Stiefel流形上一类非光滑最优化问题，其中目标函数在环境欧几里得空间中是弱凸的.这样的问题在工程应用中普遍存在，但在很大程度上仍未被探索。我们提出了一个家庭的黎曼次梯度型的方法-即黎曼次梯度，增量次梯度，随机次梯度方法-来解决这些问题，并表明，他们都有一个迭代复杂度为${\cal O}(\varepsilon^{-4})$驱动自然平稳性措施低于$\varepsilon$。此外，我们建立了局部线性收敛的黎曼次梯度和增量次梯度方法时，手头的问题进一步满足尖锐的属性和算法进行了适当的初始化，并使用几何递减的步长。据我们所知，这些是第一个收敛保证使用黎曼次梯度型方法优化一类非凸非光滑函数的Stiefel流形。证明上述收敛性结果的基本内容是Stiefel流形上弱凸函数限制的一个新的黎曼次梯度不等式，它可能是独立的兴趣。我们还证明了我们的收敛结果可以推广到处理一类紧嵌入子流形的欧几里得空间。最后，我们讨论了鲁棒子空间恢复和正交字典学习问题的各种公式的清晰度特性，并通过数值模拟证明了算法在这两个问题上的收敛性能。
2021-03-25 cs.IT cs.LG math.IT
Denoising Multi-Color QR Codes and Stiefel-Valued Data by Relaxed Regularizations
Institute of Mathematics, Technische Universität Berlin（数学研究所，柏林技术大学）
本文将一种基于松弛秩约束的高效去噪方法扩展至多二值和Stiefel值数据，提出了基于TV和Tikhonov的去噪模型及凸化方法，并通过合成实验验证了其有效性。
2025-06-28 cs.CV cs.NA math.NA
Infeasible Deterministic, Stochastic, and Variance-Reduction Algorithms for Optimization under Orthogonality Constraints
Apple（苹果公司）；ICTEAM/INMA, UCLouvain（ICTEAM/INMA，洛伦万大学）；ICMSEC/LSEC, AMSS, Chinese Academy of Sciences（ICMSEC/LSEC，应用数学研究所，中国科学院）
本文扩展着陆算法至施蒂费尔流形，提出随机与方差缩减变体，证明其收敛速率与黎曼方法相同，并在实验中展示其广泛适用性。
2024-10-31 cs.LG math.OC stat.ML
Recursive Gradient Retraction Methods for Stochastic Nonconvex Optimization on Stiefel Manifolds
School of Systems Science and Engineering, Sun Yat-sen University（中山大学系统科学与工程学院）；Faculty of Computer Science and Artificial Intelligence, Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术大学计算机科学与人工智能学院）
该研究针对施蒂费尔流形上的随机非凸优化问题，提出了RGR系列递归梯度回缩方法，含三个变体，避免了向量传输，在多个任务上收敛速度优于现有方法。
2026-10-15 math.OC
Local Linear Convergence of Infeasible Optimization with Orthogonal Constraints
Northeastern University（东北大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文针对带正交约束优化的可行方法计算成本高的问题，研究无收缩的landing algorithm，基于局部黎曼PŁ条件证明其在光滑非凸函数下的线性收敛性，实验显示其性能比肩现有最优方法且计算开销显著降低。
2024-12-07 cs.LG math.OC
Jacobi-type algorithms for homogeneous polynomial optimization on Stiefel manifolds with applications to tensor approximations
本文提出面向 Stiefel 流形及其乘积上齐次多项式最大化的 Jacobi-G、Jacobi-MG 及近端变体，并证明全局收敛性，用于联合张量对角化。
2023-04-25 cs.NA math.NA math.OC
Quadratic Optimization with Orthogonality Constraints: Explicit Lojasiewicz Exponent and Linear Convergence of Line-Search Methods
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
矩阵最优化问题的一个基本类别出现在许多领域的科学和工程是二次优化与正交约束。这样的问题可以解决使用线搜索法的Stiefel流形，这是已知的全局收敛条件下温和的。为了确定这些方法的收敛速度，我们给出了一个明确的估计指数的Lojasiewicz不等式的（非凸）集的临界点的上述类问题。通过结合这样的估计与已知的参数，我们能够建立一个大类的线搜索法的线性收敛。在我们的证明中的一个关键步骤是建立一个局部误差界的临界点，这可能是独立的利益。
2015-10-05 cs.LG cs.NA math.NA
Orthogonal Sparse PCA and Covariance Estimation via Procrustes Reformulation
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
对称矩阵稀疏特征向量的估计问题在许多应用中，特别是高维数据集的应用中，引起了人们的广泛关注。虽然经典的特征向量可以作为最大化问题的解来获得，但是现有的方法通过将惩罚项添加到目标函数中来制定这个问题，该目标函数鼓励稀疏解。然而，由此产生的方法实现稀疏性牺牲的正交属性。在本文中，我们开发了一种新的方法来估计主导稀疏特征向量，而不牺牲他们的正交性。这个问题是高度非凸的，很难处理。我们应用MM框架，我们迭代地最大化一个紧密的下限（代理函数）的目标函数在Stiefel流形。内部最大化问题是一个矩形Procrustes问题，它有一个封闭的形式的解决方案。此外，我们提出了一种方法来改善协方差估计问题时，其潜在的特征向量是稀疏的。我们使用的协方差阵的特征值分解，制定一个优化问题，我们施加稀疏相应的特征向量。数值实验表明，该特征向量提取算法在支持度恢复和解释方差方面与现有算法相当或优于现有算法，而协方差估计算法显著改善了样本协方差估计量.
2016-02-12 cs.LG math.OC stat.AP
A derivative-free regularization algorithm for equality constrained nonlinear least squares problems
针对目标函数和约束雅可比矩阵不可用或计算昂贵的等式约束非线性最小二乘问题，提出基于正交球面平滑近似雅可比矩阵的无导数正则化算法，证明其能以任意高概率找到近似KKT点或几乎必然收敛到约束违反平稳点。
2025-07-08 math.OC
Decentralized Riemannian Algorithm for Nonconvex Minimax Problems
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
黎曼流形（可能是非凸约束）上的极大极小优化已被积极应用于解决许多问题，如鲁棒降维和带正交权值的深度神经网络（Stiefel流形）。虽然许多极大极小问题的优化算法都是在欧几里得环境下发展起来的，但是很难将它们转化为黎曼情形，而非凸约束的极大极小问题的算法更是凤毛麟角。另一方面，为了应对大数据挑战，最近出现了分散式（无服务器）训练技术，因为它们可以减少通信开销并避免服务器节点上的瓶颈问题。然而，分散黎曼极大极小问题的算法还没有被研究。本文研究了Stiefel流形上的分布式非凸-强-凹极大极小优化问题，提出了确定性极大极小方法和随机极大极小方法。Steifel流形是一个非凸集。全局函数表示为局部函数的有限和。对于确定性的设置，我们提出DRGDA和证明，我们的确定性方法实现梯度复杂度$O( ε^{-2})$在温和的条件下。对于随机设置，我们提出了DRSGDA，并证明我们的随机方法实现了梯度复杂度$O(ε^{-4})$。DRGDA和DRSGDA是第一个具有精确收敛性的非凸约束分布式极大极小优化算法。在Stiefel流形上进行深度神经网络（DNN）训练的大量实验结果证明了我们算法的有效性。
2023-02-19 cs.DC cs.LG math.OC
Orthogonal Trace-Sum Maximization: Applications, Local Algorithms, and Global Optimality
本文研究Stiefel流形上乘积矩阵二次型迹和的最大化问题。这个正交迹和最大化（OTSM）问题推广了许多有趣的问题，例如广义典型相关分析（CCA）、Procrustes分析和诺贝尔奖的低温电子显微镜。对于这些应用程序，寻找全局解决方案是非常可取的，但它一直不清楚如何找到一个稳定点，更不用说测试其全局最优性。本文通过对Ky Fan（1949）关于对称矩阵最大特征值和的变分公式的经典结果及其半定规划（SDP）松弛的研究，首先给出了一个证明OTSM的稳定点全局最优性的简单方法.这种方法只需要检验一个对称矩阵是否是半正定的。这种分析的副产品是Shapiro-Botha（1988）和Zhang-Singer（2017）之间意想不到的强烈二元性。在证明了一个流行的算法广义CCA和Procrustes分析可能会产生振荡迭代后，我们提出了一个简单的修复，可证明地保证收敛到一个固定点。我们的算法和证书的组合揭示了OTSM的各种实例的新的全局最优解。
2021-02-06 math.OC stat.CO
Large-scale Optimization with Linear Equality Constraints using Reduced Compact Representation
本文证明KKT逆矩阵(1,1)块在约束零空间投影下不变，并提出有限内存逆BFGS Hessian的约简紧凑表示与两种信赖域算法，显著提升稀疏线性等式约束大规模优化的计算效率。
2021-08-23 cs.NA math.NA math.OC
Error bound and exact penalty method for optimization problems with nonnegative orthogonal constraint
本文研究了带非负正交约束的优化问题，导出了局部和全局 Lipschitzian 误差界，证明了基于 $\ell_1$-范数和 Moreau 包络的全局精确惩罚性质，并提出了基于非单调线搜索近端梯度的实用惩罚算法，在解质量上优于现有方法。
2025-02-04 math.OC
Primal-Dual Methods for Nonsmooth Nonconvex Optimization with Orthogonality Constraints
H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院H. Milton Stewart工业与系统工程系）；Department of Systems Engineering and Engineering Management, The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学系统工程与工程管理系）
本文提出一种无退化对偶方法，用于解决具有正交约束的非光滑非凸优化问题，方法单循环且无需求解子问题，具有O(ε^{-3})的迭代复杂度，并通过数值实验验证其高效性。
2026-04-05 cs.LG cs.NA math.NA
Manifold Proximal Point Algorithms for Dual Principal Component Pursuit and Orthogonal Dictionary Learning
Texas A&M University（德克萨斯A&M大学）；Cainiao Network（菜鸟网络）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
我们考虑的问题，最大化的线性映射的$\ell_1$范数的球，这出现在各种机器学习应用，如正交字典学习（ODL）和鲁棒子空间恢复（RSR）。该问题是数值上的挑战，由于其非光滑的目标和非凸约束，其算法方面还没有得到很好的探索。在本文中，我们将展示如何利用球的流形结构来设计快速算法来解决这个问题。具体而言，我们的贡献是三方面的。首先，我们提出了一个流形邻近点法（ManPPA）的问题，并表明它以次线性速度收敛。此外，我们表明，ManPPA可以实现平方收敛速率时，适用于ODL和RSR问题。其次，我们提出了一种称为StManPPA，这是非常适合于大规模计算的ManPPA的随机变体，并建立其次线性收敛速度。ManPPA和StManPPA都具有比现有的子梯度型方法更快的收敛速度。第三，使用ManPPA作为构建块，我们提出了一种新的方法来解决矩阵模拟的问题，其中球被替换为Stiefel流形。通过对ODL和RSR问题的大量数值实验，验证了所提方法的有效性。
2021-07-21 cs.CV cs.LG eess.SP
Direct Search Methods on Reductive Homogeneous Spaces
直接搜索法主要设计用于没有等式约束的问题。然而，有许多情况下，可行集在周围空间中的测度为零，并且没有网格点位于其中。有一些方法可以处理（黎曼）流形的可行集，但并非所有流形都是平等的。特别是，约化齐性空间似乎是最一般的空间，可以方便地优化。其原因是，在可行域上的“运动定律”也被给出。例子包括\Rn{n}和它的线性子空间，李群和陪集流形，如格拉斯曼流形和Stiefel流形。这些都是优化的重要领域，例如，在图像处理和数据挖掘领域。我们展示了一般约化齐性空间利用映射从切空间的流形上的优化程序。给出了概率下降直接搜索法的具体实现。然后将其扩展到只与流形元素一起工作的过程，从而消除了使用切空间的需要。
2018-01-20 math.OC
The linear programming relaxation permutation symmetry group of an orthogonal array defining integer linear program
$S_s\wr S_k$总是自然地嵌入到具有等式约束的正交阵列整数线性规划（ILP）公式的线性规划（LP）松弛置换对称群中。本文的目的是证明在$2$水平上，强度$1$情形下，该公式的LP松弛置换对称群对所有的$k$同构于$S_2\wr S_k$;在$2$水平上，强度$2$情形下，对$k\geq 4$同构于$S_2^k\rtimes S_{k+1}$.强度$2$结果揭示了以前未知的排列对称性，这些对称性不能通过$S_2\wr S_k$的自然嵌入来捕获。我们还推测一个完整的表征LP松弛置换对称群的ILP制定。
2021-04-22 math.CO math.OC
