Infinite combinatorial Ricci flow in spherical background geometry
本文研究球面背景几何中带预定总测地曲率的无限组合 Ricci 流，证明流方程全局解的存在性，并在附加条件下证明其长时间收敛。
2025-05-14 math.DG math.GT
Spherical orthogonal ring patterns on surfaces and modified combinatorial total geodesic curvatures
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
研究闭曲面上球面正交环模式的刚性问题，通过修正Nie的组合全测地曲率并利用变分原理，证明了满足特定条件的闭曲面上球面正交环模式的刚性。
2026-07-29 math.DG math.GT
A combinatorial curvature flow for compact 3-manifolds with boundary
本文在紧致三角形三维流形上引入了PL度量的组合曲率流，其边界由负欧拉示性数曲面组成。该流趋向于在流形上找到具有全测地边界的完备双曲度量。建立了组合流的一些基本性质。最重要的是PL曲率的演化满足组合热方程。这意味着全曲率沿流动方向减小。如果三角剖分是全测地三角剖分的同位剖分，则流到双曲度量的局部收敛也成立。
2004-05-16 math.DG math.GT
$α$-curvatures and $α$-flows on low dimensional triangulated manifolds
本文引入了二维和三维三角流形上的两个离散曲率流，称之为$α$ -流。对于三角化曲面$M$，我们引入了一种新的组合里奇流的归一化方法（首先由Bennett Chow和Feng Luo \cite{CL1}提出），旨在将$α$阶离散高斯曲率演化为常数.当$αχ(M)\leq0$时，我们证明了流的收敛等价于存在常数$α$ -曲率度量。进一步得到了常$α$ -曲率度量存在的一个充分必要的组合拓扑度量条件，它是Thurston组合拓扑度量条件的推广.对于三角化三维流形，我们将作者在\cite{GX2,GX4}中引入的组合Yamabe泛函和组合Yamabe问题推广到$α$ -阶.我们还仔细研究了$α$阶流，旨在将$α$阶组合数量曲率（Cooper和Rivin的组合数量曲率的推广）演化为常数。
2015-05-19 math.DG math.GT
A combinatorial Yamabe problem on two and three dimensional manifolds
本文在二维和三维三角剖分流形上引入了一种新的组合曲率，它与光滑数量曲率在度量尺度下的变换方式相同，可以用来逼近二维流形上的Gauss曲率.然后利用流方法研究了相应的常曲率问题，称之为组合Yamabe问题。
2016-01-13 math.DG math.GT
353-combinatorial curvature and the $3$-dimensional $K(π,1)$ conjecture
本文证明了三维 Artin 群的 $K(π,1)$ 猜想，并引入新形式的组合非正曲率作为关键工具。
2025-09-08 math.GR math.GT math.MG
Combinatorial p-th Calabi Flows for Total Geodesic Curvatures in hyperbolic background geometry
本文研究双曲背景几何下带边界曲面上具锥奇点的广义圆填充，利用变分原理证明其存在性与刚性，并首次引入组合p次Calabi流以求解预设全测地曲率与离散高斯曲率的圆填充。
2024-08-29 math.DG math.GT
An extended correction to ``Combinatorial Scalar Curvature and Rigidity of Ball Packings,'' (by D. Cooper and I. Rivin)
David Glickenstein向作者指出，标题论文中（密切相关的）引理1.2和3.2的证明是不正确的。这两个引理的陈述都是正确的，本文的目的是给出一个正确的论证。这个论点本身就很有意思。
2003-02-20 math.GT math.MG
Prescribing discrete Gaussian curvature on polyhedral surfaces
Luo提出的曲面上分段线性度量的顶点标度是曲面上光滑共形结构的直接离散化。曲面上分段线性度量顶点缩放的组合$α$ -曲率是曲面上高斯曲率的离散化。本文研究了多面体曲面上的预定组合$α$ -曲率问题。利用Gu-Luo-Sun-Wu关于曲面上分段线性度量的离散共形理论和带约束的变分原理，证明了关于组合$α$ -曲率问题的几个Kazdan-Warner型定理，推广了Gu-Luo-Sun-Wu关于曲面上组合曲率的结果.顾罗孙武指出，可以用多面体曲面逼近光滑曲面来证明Kazdan-Warner定理。本文是朝着这个方向迈出的第一步。
2021-10-24 math.DG math.GT
A combinatorial invariant for Spherical CR structures
研究了球面CR几何中$S^3$的四个泛点的交比。我们构造了一个由$S^3$中四个点的一般构型生成的群到pre-Bloch群$\mathcal {P}(\C)$的同态.如果$M$是一个具有CR三角剖分的$3$维球面CR流形，利用我们的同态，我们得到了$M$的一个$\mathcal {P}(\C)$值不变量.我们表明，当应用到它的布洛赫-维格纳函数，它是零。在一定条件下，证明了$M$的不变量位于Bloch群$\mathcal B(k)$中，其中$k$是交比产生的场.对于Whitehead链补的CR三角剖分，我们证明了它的不变量是$\mathcal B(k)$中的非平凡挠。
2010-07-29 math.GT math.KT
A Maximum Principle for Combinatorial Yamabe Flow
本文研究了三角流形上的离散几何结构和相应的曲率流（组合Yamabe流）。曲率的相关演化看起来像是图上的热方程，但可以证明它不满足最大值原理。抛物型算子的概念是作为满足最大值原理的算子引入的，但可能不是通常意义上的图上的算子的抛物型。在三角剖分的某些假设下，导出了组合Yamabe流曲率的最大值原理，从而证明了热算子是类抛物的.然后，最大值原理允许曲率的表征，并且是流动长期存在的证明。
2005-06-10 math.GT math.MG
Prescribed curvature problem for discrete conformality on convex spherical cone-metrics
本文研究二维球面上离散共形类中的预定曲率问题，证明对满足必要条件的曲率函数存在唯一实现该曲率的球面锥度量，给出了 Luo-Tian 结果的离散版本。
2023-11-29 math.GT math.MG
Spherical conic metrics and realizability of branched covers
Riemann曲面之间的分支覆盖与某些组合数据相关联，Hurwitz存在性问题是关于满足这些组合约束的给定数据是否可以由某些分支覆盖来实现。我们连接最近的发展在球面圆锥度量这个老问题，并给出了一个新的方法，发现异常（不可实现）的分支数据。作为一个应用，我们发现新的无限集例外分支覆盖黎曼球面上的数据。
2018-07-17 math.DG math.GT
Perron's method and spherical ideal circle patterns with prescribed total geodesic curvatures
本文利用经典佩罗方法证明了在球面锥形度量下，当交角测度在(0,π/2]范围内且圆的测地曲率被指定时，圆图案的存在性和唯一性。同时展示了图斯顿算法在该设定下的收敛性。
2026-03-28 math.CO math.GT
2-Dimensional Combinatorial Calabi Flow in Hyperbolic Background Geometry
对于标准双曲空间中局部嵌入的三角化曲面，我们引入组合Calabi流作为组合Calabi能量的负梯度流。我们证明了流产生的解决方案，收敛到ZCCP度量（零曲率圆包装度量），如果初始能量足够小。假设曲率有一个一致的上界小于$2π$，我们证明了组合Calabi流存在的所有时间。此外，它收敛到ZCCP-度量当且仅当ZCCP-度量存在。
2013-01-28 math.DG math.GT
Combinatorial Yamabe Flow on Surfaces
本文发展了流形上分片平坦度量的共形几何的一种方法。特别是，我们制定的组合Yamabe问题分段平坦度量。在曲面的情况下，我们定义的组合Yamabe流的空间上的所有分段平坦的度量相关联的三角化的表面。我们表明，流要么发展可去奇点或指数收敛到一个常数的组合曲率度量。如果奇异性的发展，我们表明，奇异性总是可移动的手术程序上的三角剖分。我们推测，经过多次这样的手术改变的三角形，流收敛到常数的组合曲率度量的时间接近无穷大。
2003-06-10 math.DG math.GT
Deformation of discrete conformal structures on surfaces
本文研究Glickenstein离散共形结构在组合曲率流下的形变，证明组合Ricci流解的唯一延拓性、全局存在性与指数收敛性，并引入组合Calabi流，为构造指定组合曲率的度量提供有效算法。
2023-12-25 math.DG math.GT
A combinatorial Yamabe flow in three dimensions
基于球填充的欧几里德三角剖分，给出了Yamabe流的一个组合形式。曲率的演变，然后推导和示出满足热方程。热方程中的拉普拉斯算子被证明是黎曼几何中拉普拉斯算子的几何类比，尽管最大值原理不一定成立。然后表明，如果流是非奇异的，流收敛到一个常曲率度量。
2005-06-10 math.GT math.MG
The topology of closed manifolds with quasi-constant sectional curvature
证明了截面曲率局部拟常的一般度量所允许的闭流形是空间型的图。在更一般的QC空间中，迷向点集是任意的，在适当的正性假设下，对于挠自由的基本群，它们仍然与圆上的球面空间型和球面丛的连通和同构.
2019-05-31 math.DG math.GT
Combinatorial p-th Calabi flow for finite and infinite ideal circle patterns
本文研究有限与无限理想圆模式的组合 p 阶 Calabi 流，给出有限情形收敛的充要条件，并证明无限情形下解的长时间存在性。
2025-06-10 math.DG math.GT
3-dimensional Combinatorial Yamabe Flow in Hyperbolic Background Geometry
本文研究了双曲背景几何中的三维组合Yamabe流。对于三维流形的三角剖分，证明了：如果每个顶点上的四面体个数至少为23，则存在实球填充或虚球填充，它们的（扩展）组合数量曲率为零，即每个顶点上的（扩展）立体角等于4π.在这种情况下，如果这样的球填充是真实的，那么（扩展的）组合Yamabe流以指数方式快速收敛到该球填充。此外，我们证明了，没有真正的或虚拟的球包装消失（扩展）组合标量曲率，如果事件的四面体的数量，每个顶点是最多22。
2018-05-27 gr-qc math.DG math.GT
On the deformation of ball packings
本文研究了$(M,\mathcal{T})$上球填充的几何性质，其中$\mathcal{T}$是三维流形$M$上的三角剖分.我们引入了一个组合Yamabe不变量$Y_{\mathcal{T}}$，依赖于$M$的拓扑结构和$\mathcal{T}$的组合数学。我们证明了$Y_{\mathcal{T}}$是可达的当且仅当存在常曲率填充，并且组合Yamabe问题可以通过极小化Cooper-Rivin-Glickenstein泛函来求解.然后研究了由Glickenstein引入的组合Yamabe流\cite{G0} - \cite{G2} .我们首先证明了一个小的能量收敛定理，它说，流将收敛到一个常曲率度量，如果初始能量是在定量的方式接近一个常曲率度量的能量。我们还将证明：虽然流动可能在有限时间内发展出奇点，但是存在一种自然的方式来扩展流动的解，使得它在所有时间都存在。此外，如果三角剖分$\mathcal{T}$是规则的（即，每个顶点周围的四面体的数量都是相等的），那么组合Yamabe流指数快速收敛到常曲率包装。
2018-05-27 math.DG math.GT
Combinatorial Ricci flows with applications to the hyperbolization of cusped 3-manifolds
本文采用组合里奇曲率流方法研究了具有环面边界的三维流形上尖点双曲结构的存在性。对于一般的伪3-流形，我们证明了装饰双曲多面体度量的扩展里奇流的长时间存在性和唯一性。证明了推广的里奇流收敛于一个修饰的双曲多面体度量当且仅当存在一个里奇曲率为零的修饰的双曲多面体度量.如果是这种情况，流量将以指数级速度收敛。这些结果适用于理想三角剖分下三维流形上的尖双曲结构。
2020-09-12 math.DG math.GT math.MG
