亚历山大多项式的对数凹性
Log-concavity of the Alexander polynomial
AI总结：
本文通过证明特殊交错链环的亚历山大多项式的多元推广具有 Lorentzian 性质，从而解决了该类链环的 Fox 猜想，并证明其系数绝对值构成无内部零点的对数凹序列。
摘要：
纽结理论的核心问题是如何在同痕意义下区分链环。为帮助回答这一问题而设计的第一个链环多项式不变量是亚历山大多项式（1928年）。在其问世近一个世纪后，它仍然给我们带来引人入胜的问题，例如 Fox 猜想（1962年）：交错链环 L 的亚历山大多项式 Δ_L(t) 的系数的绝对值是单峰的。Fox 猜想在一般情况下仍未解决，其中一些特殊情形已由 Hartley（1979年）对双桥纽结、Murasugi（1985年）对一族交错代数链环、以及 Ozsváth 和 Szabó（2003年）对亏格为 2 的交错纽结等分别解决。我们解决了特殊交错链环的 Fox 猜想。我们通过证明特殊交错链环的亚历山大多项式的某个多元推广是 Lorentzian 的来做到这一点。由此我们得到，当 L 是特殊交错链环时，Δ_L(t) 的系数的绝对值构成一个没有内部零点的对数凹序列。特别地，它们是单峰的。
英文摘要：
The central question of knot theory is that of distinguishing links up to isotopy. The first polynomial invariant of links devised to help answer this question was the Alexander polynomial (1928). Almost a century after its introduction, it still presents us with tantalizing questions such as Fox's conjecture (1962) that the absolute values of the coefficients of the Alexander polynomial $Δ_L(t)$ of an alternating link $L$ are unimodal. Fox's conjecture remains open in general, with special cases settled by Hartley (1979) for two-bridged knots, by Murasugi (1985) for a family of alternating algebraic links, and by Ozsváth and Szabó (2003) for the case of genus $2$ alternating knots, among others. We settle Fox's conjecture for special alternating links. We do so by proving that a certain multivariate generalization of the Alexander polynomial of special alternating links is Lorentzian. As a consequence, we obtain that the absolute values of the coefficients of $Δ_L(t)$, where $L$ is a special alternating link, form a log-concave sequence with no internal zeros. In particular, they are unimodal.
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