自可除超滤子与$\beta\mathbb{Z}$中的同余关系
Self-divisible ultrafilters and congruences in $β\mathbb{Z}$
AI总结：
该研究引入自可除超滤子的概念，证明其等价于Šobot提出的弱同余关系$\equiv_w$为$\beta\mathbb{Z}$上等价关系，给出多种等价刻画，构造出非对称弱同余关系的超滤子例子，并探讨相关商结构与整数投射有限完备化的联系。
摘要：
我们引入了自可除超滤子，并证明这类超滤子恰好是满足以下条件的$w$：由Šobot提出的弱同余关系$\equiv_w$是$\beta\mathbb{Z}$上的等价关系。我们给出了若干例子与额外的等价刻画：值得注意的是，我们证明$w$是自可除的当且仅当$\equiv_w$与强同余关系$\equiv^{\mathrm{s}}_{w}$重合，当且仅当商结构$(β\mathbb{Z},\oplus)/\mathord{\equiv^{\mathrm{s}}_w}$是一个投射有限群。我们还构造了一个使得$\equiv_w$不满足对称性的超滤子$w$，并描述了上述商结构与整数的投射有限完备化$\hat{\mathbb{Z}}$之间的相互作用。
英文摘要：
We introduce self-divisible ultrafilters, which we prove to be precisely those $w$ such that the weak congruence relation $\equiv_w$ introduced by Šobot is an equivalence relation on $β\mathbb{Z}$. We provide several examples and additional characterisations; notably we show that $w$ is self-divisible if and only if $\equiv_w$ coincides with the strong congruence relation $\equiv^{\mathrm{s}}_{w}$, if and only if the quotient $(β\mathbb{Z},\oplus)/\mathord{\equiv^{\mathrm{s}}_w}$ is a profinite group. We also construct an ultrafilter $w$ such that $\equiv_w$ fails to be symmetric, and describe the interaction between the aforementioned quotient and the profinite completion $\hat{\mathbb{Z}}$ of the integers.
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