超滤子的同余
Congruence of ultrafilters
AI总结：
本文研究超滤子上的整除关系扩展，引入模超滤子的同余关系，并利用迭代非标准扩展提出更强关系，以改善超滤子运算性质。
摘要：
我们继续研究集合βN（N上的超滤子集）上的关系˜|，该关系被定义为整除关系的扩展。它是一个拟序，因此我们将其视为=∼等价类集合上的一个序，其中F=∼G表示F和G是相互˜|可整除的。这里我们引入一个新工具：模一个超滤子的同余关系。我们首先回顾模一个整数的超滤子同余，并表明=∼等价的超滤子不一定具有相同的模m（m∈N）的剩余类。然后我们以自然方式将此关系推广到模一个超滤子的同余。之后，利用迭代非标准扩展，我们引入一个更强的关系，该关系在超滤子的加法和乘法方面具有更好的性质。最后，我们还引入了˜|的一个加强版本，并表明它也与同余关系表现良好。
英文摘要：
We continue the research of the relation $\hspace{1mm}\widetilde{\mid}\hspace{1mm}$ on the set $β{\mathbb{N}}$ of ultrafilters on ${\mathbb{N}}$, defined as an extension of the divisibility relation. It is a quasiorder, so we see it as an order on the set of $=_\sim$-equivalence classes, where ${\cal F}=_\sim{\cal G}$ means that ${\cal F}$ and ${\cal G}$ are mutually $\hspace{1mm}\widetilde{\mid}\hspace{1mm}$-divisible. Here we introduce a new tool: a relation of congruence modulo an ultrafilter. We first recall the congruence of ultrafilters modulo an integer and show that $=_\sim$-equivalent ultrafilters do not necessarily have the same residue modulo $m\in {\mathbb{N}}$. Then we generalize this relation to congruence modulo an ultrafilter in a natural way. After that, using iterated nonstandard extensions, we introduce a stronger relation, which has nicer properties with respect to addition and multiplication of ultrafilters. Finally, we also introduce a strengthening of $\hspace{1mm}\widetilde{\mid}\hspace{1mm}$ and show that it also behaves well in relation to the congruence relation.
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