基于同源的不可约多项式迭代构造
Iterative constructions of irreducible polynomials from isogenies
AI总结：
该研究用椭圆曲线同源解释有限域上由有理分式迭代生成不可约多项式的变换，借助复乘理论设计算法，生成大量可对正密度初始不可约多项式产出无穷不可约多项式族的有理分式。
摘要：
设$S$为有理分式，$f$为有限域上的多项式。考虑变换$T(f)=\text{numerator}(f(S))$。在某些情况下，多项式$f$、$T(f)$、$T(T(f))\text{…}$全部不可约。例如，在奇特征下，被称为$R$-变换的有理分式$S=(x^2+1)/(2x)$，以及所有不可约多项式$f$中具有正密度的一部分，均满足该性质。我们用椭圆曲线的同源来解释这些变换。利用复乘理论，我们设计了算法来生成大量其他有理分式$S$，每一个都能针对正密度的初始不可约多项式$f$生成无穷多族不可约多项式。
英文摘要：
Let $S$ be a rational fraction and let $f$ be a polynomial over a finite field. Consider the transform $T(f)=\operatorname{numerator}(f(S))$. In certain cases, the polynomials $f$, $T(f)$, $T(T(f))\dots$ are all irreducible. For instance, in odd characteristic, this is the case for the rational fraction $S=(x^2+1)/(2x)$, known as the $R$-transform, and for a positive density of all irreducible polynomials $f$. We interpret these transforms in terms of isogenies of elliptic curves. Using complex multiplication theory, we devise algorithms to generate a large number of other rational fractions $S$, each of which yields infinite families of irreducible polynomials for a positive density of starting irreducible polynomials $f$.
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