Latin Square Thue-Morse Sequences are Overlap-Free
我们定义了一个基于拉丁方的态射，推广了Thue-Morse态射。我们证明了这个态射的不动点是无环序列，推广了Allouche - Shallit和Frid的结果.
2007-10-31 math.NT
La suite de Thue-Morse et la catégorie Rec
定义了域$\mathbb K$上递归矩阵的范畴$Rec(\mathbb K)$，并利用它计算了与Thue-Morse序列相关的Hankel矩阵的行列式.
2007-03-14 math.NT
Linear Combinations of Dirichlet Series Associated with the Thue-Morse Sequence
本文研究了系数为Thue-Morse序列及其变式项的狄利克雷级数的和.我们发现封闭形式的表达式，这样的总和在已知的常数和功能，包括黎曼ζ函数和狄利克雷eta函数使用初等方法。
2022-11-24 math.NT
The Thue-Morse continued fractions in characteristic $2$ are algebraic
令$a, b$是${\mathbb F}_2 [z]$中不同的非常数多项式。设$ξ_{a, b}$是${\mathbb F}_2((z^{-1}))$中的幂级数，其部分幂元序列是$\{a, b\}$上的Thue-Morse序列。证明了$ξ_{a,b}$是$4$次代数.
2022-03-04 math.NT
A Mixing of Prouhet-Thue-Morse Sequences and Rademacher Functions
提出了一种新的推广Prouhet-Thue-Morse序列到二进制$\pm 1$ -权序列的方法。从Rademacher函数导出，这些权重序列满足有趣的正交性和递归关系。此外，建立了一个有用的结果，在描述这些权重序列的旁瓣的多普勒容忍波形在雷达中。
2014-05-27 math.NT
Möbius orthogonality of Thue-Morse sequence along Piatetski-Shapiro numbers
证明了对于任意的$1 < c < 2$，默比乌斯函数都与沿着Piatetski-Shapiro数$\lfloor n^c \rfloor$的Thue-Morse序列$t(n)$正交.以前，这个属性是为沿着正方形$t(n^2)$的子序列建立的。这些都是具有最大熵的莫比乌斯正交序列的例子。
2022-07-24 math.NT
Transcendental Infinite Products Associated with the $\pm 1$ Thue-Morse Sequence
与值为有理或代数无理的$\pm 1$ Thue-Morse序列相关的无穷乘积已被一些作者研究过。在这个简短的说明中，我们证明了三个新的无穷乘积身份涉及$π$，$\sqrt{2}$，和$\pm 1$ Thue-Morse序列，由Allouche，Riasat和Shallit的结果的基础上。然后，我们使用我们的方法来找到一个新的表达式中出现的Flajolet-Martin常数的上下文中的产品。
2020-09-04 math.NT
Equations of the form $t(x+a)=t(x)$ and $t(x+a)=1-t(x)$ for Thue-Morse sequence
对于每一个$a\geq1$，我们给出了构造$t(x+a)=t(x)$和$t(x+a)=1-t(x),$形式的方程组解集的递归算法，其中$\{t(n)\}$是Thue-Morse序列.我们提出了一个开放的问题和两个假设。
2012-10-08 math.NT
More Infinite Products: Thue-Morse and the Gamma function
让$(t_n)$表示具有值$0, 1$的Thue-Morse序列，我们注意到伍兹-罗宾斯乘积$$ \prod_{n \geq 0} \left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^{(-1)^{t_n}} = 2^{-1/2} $$涉及$n$和$\pm 1$ Thue-Morse序列$((-1)^{t_n})_{n \geq 0}$中的有理函数。本文件有两个目的。一方面，我们试图找到其他的有理函数，其类似的无穷乘积涉及$\pm 1$ Thue-Morse序列有一个表达式的已知常数。另一方面，我们也试图找到（可能不同的）合理的功能$R$的无限产品$\prod R(n)^{t_n}$也有一个表达式在已知的常数。
2017-09-12 math.NT
Difference of Cantor sets and frequencies in Thue--Morse type sequences
在最近的一篇论文中，Baker和Kong研究了Cantor集与其平移集的交的豪斯多夫维数。我们将他们的结果推广到更一般的康托集。证明依赖于数字在非整数基的唯一展开式中的频率。在这方面，我们介绍了一个实用的方法来确定任何给定的有限块的频率在Thue-Morse型序列。
2020-06-29 math.NT
Von Koch and Thue-Morse revisited
我们重新审视冯科赫曲线和Thue-Morse序列之间的关系，在最近的一篇论文马和Goldener有关他们的研究，以书面文件Coquet和Dekking在80年代初。我们还强调，更一般的分形对象和自动序列之间的联系，可以在文献中找到。
2007-12-01 math.NT
Correlations of the Thue--Morse sequence
本文重新审视Thue--Morse序列与系统的相关性，证明其高阶相关性由平衡2点相关性决定，并得出奇数阶相关性消失及偶数阶均值为零等结论。
2023-03-04 math.DS math.NT
On generalized Thue-Morse functions and their values
本文自然地扩展和推广了我们以前的工作“Thue-Morse常数不是很好的近似”，arXiv：1407.3182 [math.NT]。本文考虑推广Thue-Morse数的母函数$f_2(x)$的洛朗级数$f_d(x) = \prod_{n=0}^\infty (1 - x^{-d^n})$，$d\in\mathbb{N}$，$d\geq 2$，并研究它们的连分数展开式.特别地，我们证明了$x^{-d+1}f_d(x)$的转换具有相当规则的结构。我们还讨论了相应的马勒数$f_d(a)\in\mathbb{R}$、$a,d\in\mathbb{N}$、$a,d\geq 2$是否是很难逼近的问题。
2015-09-01 math.NT
Normality of the Thue--Morse sequence along Piatetski-Shapiro sequences
证明了对于$1<c<4/3$，由$\lfloor n^c\rfloor$索引的Thue-Morse序列$\mathbf t$的子序列定义了一个正规序列，即每个有限序列$(\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{T-1})\in \{0,1\}^T$作为序列$n\mapsto \mathbf t\left(\lfloor n^c\rfloor\right)$的连续子序列以渐近频率$2^{-T}$出现.
2017-07-17 math.NT
Thue-Morse constant is not badly approximable
我们证明了Thue-Morse常数$τ_{TM}=0.01101001..._2$不是一个差逼近数。此外，我们还证明了$τ_{TM}(a)=0.01101001..._a$对每个整数基$a\geq 2$都不是差逼近的，使得$a$不能被15整除.同时给出了洛朗级数$\tilde{f}_{TM}(z) = z^{-1}\prod_{n=1}^\infty (1-z^{-2^n})$的一个精确的换算公式，进一步发展了Alf van der Poorten等人的研究.
2014-11-05 math.NT
Explicit evaluations of the Hankel determinants of a Thue--Morse-like sequence
给出了形式幂级数$\prod_{k\geq 0}(1+Jx^{3^{k}})$的Hankel行列式的显式估计，其中$J={(\sqrt{-3}-1)}/2$，并证明了Hankel行列式序列是在$\{0, \pm 1, \pm J, \pm J^2\}$中取值的非周期自动序列.本文的研究主要受到Allouche，Peyrière，Wen and Wen（1998），Bacher（2006）和第一作者（2013）关于Thue-Morse类序列的Hankel行列式的研究的启发。
2014-06-06 math.NT
On the algebraicity of Thue-Morse and period-doubling continued fractions
给出了特征$2$中Thue-Morse序列和倍周期序列定义的连分数和Stieltjes连分数的代数性和超越性的几个一般性定理.我们提出了我们的猜测'n'证明方法，在该方法中，我们利用自动机的结构，在特殊情况下证明我们的一些命题。
2020-06-21 math.CO math.NT
Euler, Pisot, Prouhet-Thue-Morse, Wallis and the duplication of sines
本文是围绕产品$$ P_n(x) := \sin x \sin 2x \sin 4x ... \sin 2^n x. $$展开的
2006-10-17 math.HO math.NT
On the rational approximation to Thue--Morse rational numbers
令$b \ge 2$和$\ell \ge 1$为整数。我们建立了一个绝对实数$K$，使得分母$b^{2^{\ell+1} - 1}$的有理数$$ \prod_{h = 0}^\ell \, (1 - b^{-2^h}), $$的所有部分幂次都不超过$\exp(K (\log b)^2 \sqrt{\ell} 2^{\ell/2})$。
2021-08-30 math.NT
The Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequences at primes in principal number fields
本文考虑数域的整数环${\mathcal O}_K$中的数制，并假定它是主数域。我们证明，在${\mathcal O}_K$是一个素数的属性是去相关的两个基本的例子，自动序列相对于所选择的记数系统：Thue-莫尔斯和鲁丁-夏皮罗序列。这是${\mathcal O}_K$中与Mauduit-Rivat关于病例$K={\mathbb Q}$的结果类似的结果。
2020-01-20 math.NT
$ϕ$-Thue-Morse sequences and infinite products
本文介绍了一种计算包含Thue-Morse序列的自动序列所定义的无穷乘积的新方法。作为例子，对于任何正整数$q$和$r$，使得$0 \leq r \leq q-1$，我们找到无穷多对有理函数$R(x)$和$S(n)$，使得$$\prod_{n=0}^{\infty}R(n)^{\frac{1+a_n}{2}}S(n)^{\frac{1-a_n}{2}}=2cos(\frac{2r+1}{2q}π),$$，其中$(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$是以$a_0=1,a_1= -1$开始的Thue-Morse序列。
2020-06-08 math.CO math.NT
Two analogs of Thue-Morse sequence
我们介绍并研究了数学中最著名的数列之一Thue-Morse数列的两个类似物。第一个类比涉及非负整数的二进制表示中1的游程数的奇偶性。第二个序列与负二进制（或基$-2).$）非负整数表示中1的个数的奇偶性有关。我们给出了它们的一些递归公式和结构公式，并证明了第二个$(0,1)$ -序列是无立方的，而第一个序列是无五次方的。最后，我们考虑几个有趣的未解决的问题。
2017-05-23 math.NT
A combinatorial proof of the non-vanishing of Hankel determinants of the Thue--Morse sequence
1998年，Allouche，Peyrière，Wen和Wen建立了与$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列相关的Hankel行列式总是非零的。他们的证明依赖于一组十六个递归关系。我们提出了一个替代的，纯粹的组合证明相同的结果。我们还重新证明了最近的结果Coons的非零的Hankel行列式与其他两个经典的整数序列。
2014-06-06 math.CO math.NT
Infinite products related to generalized Thue-Morse sequences
给定一个整数$q\ge2$和$θ_1,\cdots,θ_{q-1}\in\{0,1\}$，令$(θ_n)_{n\ge0}$是广义Thue-Morse序列，定义为态射$$0\mapsto0θ_1\cdotsθ_{q-1}$$ $$1\mapsto1\overlineθ_1\cdots\overlineθ_{q-1}$$的唯一不动点，以$θ_0:=0$开始，其中$\overline{0}:=1$和$\overline{1}:=0$。对于有理函数$R$，我们研究了$$\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{(-1)^{θ_n}}\quad\text{and}\quad\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{θ_n}.$$形式的无穷乘积。这推广了Allouche，Riasat和Shallit在2019年给出的关于$$\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{(-1)^{t_n}}\quad\text{and}\quad\prod_{n=1}^\infty\Big(R(n)\Big)^{t_n}.$$形式的著名Thue-Morse序列$(t_n)_{n\ge0}$的无穷乘积的相关结果
2020-06-07 math.NT
On a family of continued fractions in $Q((T^1))$ associated to infinite binary words derived from the Thue-Morse sequence
本文针对每个整数n>1，在$Q((T^{-1}))$中构造元素，其连分数展开具有特定模式，且与由Thue-Morse序列类似定义的无限二进制词W(n)相关。
2025-05-26 math.NT
Thue-Morse-Sturmian words and critical bases for ternary alphabets
在字母表$\{0,1\}$上的唯一$β$ -展开的集合对于低于黄金分割比的$β$是平凡的，并且在高于Komornik-Loreti常数的情况下是不可数的。Komornik，Lai和Pedicini（2011，2017）研究了三字母的这些阈值的泛化。我们使用S-adic词，包括Thue-Morse词（定义了Komornik-Loreti常数）和Sturmian词（定义了广义黄金比例），以确定Komornik-Loreti常数到三个字母字母表的某种广义值。
2019-02-19 math.DS math.NT
On the rational approximation to $p$-adic Thue--Morse numbers
设$p$是素数，$ξ$是无理$p$-adic数.它的乘性无理性指数${μ^{\times}} (ξ)$是实数${μ^{\times}}$的上确界，对于该上确界，不等式$$ |b ξ- a|_{p} \leq | a b |^{- {μ^{\times}} / 2} $$在非零整数$a, b$中有无穷多个解。我们表明，${μ^{\times}} (ξ)$可以表示在一个新的指数的逼近附加到一个序列的有理数定义的$ξ$。我们建立了${μ^{\times}} ({{ξ_{{\bf t}, p}}}) = 3$，其中${{ξ_{{\bf t}, p}}}$是$p$-adic数$1 - p - p^2 + p^3 - p^4 + \ldots$，其数字序列由$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列给出.
2021-10-05 math.NT
The level of distribution of the Thue--Morse sequence
复值序列$b$的分布水平测量$b$在算术级数$nd+a$上的“表现如何”。确定$θ$是否是$b$的分布水平涉及对$d\leq D$上的某个误差求和，其中$D$取决于$θ$，该误差通过将$b$沿着$nd+a$的有限和与该和的期望值进行比较来给出。我们证明了图厄-莫尔斯序列的分布水平$1$，这基本上是最好的可能。更确切地说，这个序列给出了一个序列满足一个Bennieri-Vinogradov型定理的每个指数$θ<1$的第一个非平凡的例子。特别是，这一结果提高了由Müllner和作者获得的分布$2/3$的水平。作为我们的方法的一个应用，我们表明，索引为$\lfloor n^c\rfloor$的Thue-Morse序列的子序列，其中$1<c<2$，是简单正常的。也就是说，两个符号中的每一个在该子序列中以渐近频率$1/2$出现。这一结果改善了范围$1<c<3/2$获得的缪尔纳和作者和关闭的差距时出现的Mauduit和Rivat证明（特别是），图厄-莫尔斯序列沿广场是简单的正常。在证明中，我们将这两个问题简化为对Thue-Morse序列的某个Gowers一致性范数的估计，类似于Konieczny（2017）给出的估计。
2018-03-05 math.NT
Gaps in the Thue--Morse word
图厄-莫尔斯序列是一种典型的自动序列，在数学和计算机科学的各个领域都有发现。我们研究的因素$w$在这个序列中的出现，更准确地说，连续出现之间的间隙序列。该缺口序列是形态学的;我们证明了当$w$的长度至少为2时，它不是自动的，从而回答了J.~我同意。本文给出了一种计算Thue-Morse序列中块$\mathtt{01}$出现次数的\emph{discrepancy}的显式方法。我们证明了该序列的差异是一个特定的基地- $2$传感器的输出和序列。
2021-11-18 math.CO math.NT
Greedy approximations by signed harmonic sums and the Thue--Morse sequence
给定一个实数$τ$，我们研究了用带符号调和和$σ_N(τ) := \sum_{n \leq N}{s_n(τ)}/n$逼近$τ$，其中符号序列$(s_N(τ))_{N \in\mathbb{N}}$被定义为“greatest”，如果$σ_N(τ) \leq τ$，则设置$s_{N+1}(τ) := +1$，否则设置$s_{N+1}(τ) := -1$。精确地计算了序列$(σ_N(τ)-τ)_{N \in \mathbb{N}}$的极限点和衰变率。此外，我们给出了一个准确的描述序列的符号$(s_N(τ))_{N\in\mathbb{N}}$的行为，突出了一个令人惊讶的连接与图厄-莫尔斯序列。
2020-02-22 math.NT
On t-adic Littlewood conjecture for generalised Thue-Morse functions
考虑由无穷乘积$g_u(t) = \prod_{n=0}^\infty (1 + ut^{-2^n})$定义的洛朗级数，其中$u\in \mathbb{F}$是参数，$\mathbb{F}$是域.我们证明了对于所有的$u\in\mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}$序列$g_u(t)$不满足$t$ -adic Littlewood猜想.另一方面，如果$\mathbb{F}$是有限的，那么$g_u(t)\in \mathbb{F}((t^{-1}))$要么是一个有理函数，要么满足$t$ -adic Littlewood猜想。
2020-01-06 math.NT
On the spectrum of the Thue-Morse quasicrystal and the rarefaction phenomenon
本文研究了Thue-Morse准晶上加权Dirac梳的谱，对于Bragg峰，用Berryeri-Taylor猜想，对于奇异连续分量，用Aubry-Godrèche-Luck猜想刻画了谱的零测度集.本文给出了加权狄拉克梳的傅里叶变换的回火分布分解。我们证明了Thue-Morse序列的$p$ -稀疏和的渐近算法（Dumont; Goldstein，Kelly and Speer; Grabner; Drmota and Skalba，.），即数字和函数的分形性，在描述谱的奇异连续部分中起着重要作用，结合Peyrière和M.奎菲莱克在一部分奇异分量上的逼近测度序列的优势标度由某些不等式控制，其中涉及实二次域的类数和调节器.
2008-11-26 math.NT
On the maximum order complexity of Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequences along polynomial values
Thue-Morse序列和Rudin-Shapiro序列都不是适合于密码学的序列，因为它们的扩展复杂度很小，并且它们的2阶相关度量很大。这些事实意味着这些序列是高度可预测的，尽管它们具有大的最大阶复杂度。Sun和Winterhof（2019）表明，沿着正方形的Thue-Morse序列保持了较大的最大阶复杂度。由于根据克里斯托定理，这个稀疏序列的扩展复杂度不再有界，这为密码学应用提供了一个潜在的更好的候选者。对于Rudin-Shapiro序列和更一般的模式序列，类似的结果是已知的。在本文中，我们将这些结果推广到任何多项式子序列（而不是平方），从而回答了一个公开的问题，太阳和温特霍夫。最后，我们总结了一些开放的问题。
2020-11-06 math.CO math.NT
A Matrix Related to Stern Polynomials and the Prouhet-Thue-Morse Sequence
由$s(0;x)=0$、$s(1;x)=1$定义的Stern多项式以及由$s(2n;x)=s(n;x^2)$和$s(2n+1;x)=x\,s(n;x^2)+s(n+1;x^2)$定义的用于$n\geq 1$的Stern多项式仅具有0和1作为系数。我们构造了一个与$s(n;x)$的系数相关的无限下三角形矩阵，并证明了它的逆矩阵只有0，1和$-1$作为元素，我们明确地发现了这一点。特别地，条目的符号分布由Prouhet-Thue-Morse序列确定。我们还获得了这个矩阵和一个相关的Pascal型矩阵，涉及加泰罗尼亚，斯特林，斐波那契，罚款，和帕多万数的其他属性。进一步的结果涉及组成的整数，Sierpierski矩阵，并身份连接斯特恩和Prouhet-图厄-莫尔斯序列。
2021-06-19 math.CO math.NT
Transcendence of digital expansions and continued fractions generated by a cyclic permutation and $k$-adic expansion
本文首先利用自然数的轮换和$k$-adic展开对Thue-Morse序列$(a(n))_{n=0}^\infty$（广义Thue-Morse序列）进行了推广，并给出了它是非周期序列的充要条件。此外，我们还证明了，如果广义Thue-Morse序列不是周期的，那么广义Thue-Morse序列的所有等间距序列$(a(N+nl))_{n=0}^\infty$（其中$N \ge 0$和$l >0$）都不是周期的.最后，我们应用[ABL]，[Bu $1$ ]关于超越数的判据，发现对于取值于$\{0,1,\cdots,β-1\}$上的非周期广义Thue-Morse序列，（其中$β$是大于$1$的整数），级数$\sum_{n=0}^\infty a(N+nl) β^{-n-1}$给出超越数，并且进一步地，对于取值于正整数的非周期广义Thue-Morse序列，连分数$[0:a(N), a(N+l),\cdots,a(N+nl ), \cdots]$也给出一个超越数。
2014-05-07 math.NT
Escape of mass of the Thue-Morse sequence
针对平面格点空间上概率测度序列完全质量逃逸的猜想，本文通过分析系数为Thue-Morse序列的F₂上洛朗级数的数墙显式对称性，否定了该猜想，推进了连分数部分商相关研究。
2025-03-24 cs.FL math.DS math.NT
Formal inverses of the generalized Thue-Morse sequences and variations of the Rudin-Shapiro sequence
本文研究广义Thue-Morse序列及Rudin-Shapiro序列变体的形式逆，给出其递推关系与自动机，并分析连续相同字母串长度和字母频率，与原始序列比较。
2020-04-30 math.CO math.NT
Hankel Determinant Calculus for the Thue-Morse and related sequences
某些自动序列$f$的汉克尔行列式的评估，基于一个计算模一个素数。在大多数情况下，自动序列的Hankel行列式没有任何封闭形式的表达式，传统的方法，如$LU$ -分解和Jacobi连分数不能直接应用.我们的方法是基于一个简单的想法：每个序列$g$等于$f$模$p$的汉克尔行列式等于$f$模$p$的汉克尔行列式。然后，线索包括找到一个很好的序列$g$，其汉克尔行列式具有封闭形式的表达式。几个例子，包括一个结果说，汉克尔决定因素的Thue-Morse序列是非零的，首先证明了Allouche，Peyrière，温和温使用行列式操作。本方法大大缩短了后一结果的证明。证明了当定义$\pm 1$ Thue-Morse序列的无穷乘积中的幂$2^n$被$3^n$取代时，相应的Hankel行列式不为零.
2014-06-06 math.CO math.NT
On the absolute value of the autocorrelations of the Thue-Morse sequence
本文改进了 Baake 和 Coons 关于 Thue-Morse 序列自相关绝对值增长阶的结果，给出 $\alpha$ 的上下界，并揭示了两个 $k$-正则序列逐点乘积的线性表示结构。
2025-11-09 math.NT
The Thue-Morse Transform
本文定义了一类无限二进制词上的 Thue-Morse 变换 T，将交替词 a_0 = 010101... 映射到 Thue-Morse 序列，并研究了其轨道 a_m = T^m(a_0) 以及由 a_m 中 1 和 0 的位置给出的序列 u_m 和 v_m，得到了 a_m 的显式公式、Prouhet-Tarry-Escott 恒等式、u_m 和 v_m 的组合公式以及 a_m 的因子复杂度的完整描述。
2026-05-28 math.NT
Normality of the Thue--Morse sequence along Piatetski-Shapiro sequences, II
本文证明了沿着以$\lfloor n^c\rfloor$为索引的序列的Thue-Morse序列$\mathbf t$是正规的，其中$1<c<3/2$ .也就是说，对于该范围内的$c$和每个$ω\in\{0,1\}^L$，其中$L\geq 1$，作为序列$n\mapsto \mathbf t_{\lfloor n^c\rfloor}$的子字（连续有限子序列）的$ω$的出现集合具有渐近密度$2^{-L}$。这是对第二作者最近结果的改进，该作者处理了$1<c<4/3$的情况。特别是，这一结果表明，对于$1<c<3/2$的序列$n\mapsto \mathbf t_{\lfloor n^c\rfloor}$达到其值与渐近密度$1/2$，这改善了由Mauduit和Rivat获得的约束$c<1.4$（谁获得了这个约束在更一般的设置$q$ -乘法函数，但是）和约束$c\leq 1.42$由第二作者获得。在证明主要定理的过程中，我们证明了$2/3$是Thue-Morse序列的一个容许水平分布，即对每个指数$η<2/3$，它都满足Bjerieri-Vinogradov型定理.这改进了Fouvry和Mauduit的结果，他们获得了指数$0.5924$。此外，基本定理意味着每个有限字$ω\in\{0,1\}^L$都包含为$\mathbf t$的算术子序列。
2017-11-15 math.NT
Some identities involving Prouhet-Thue-Morse sequence and its relatives
令$s_{k}(n)$表示整数$n$在基$k$中的位数之和。出于某些身份的Nieto，贝特曼和布拉德利涉及的形式$\sum_{i=0}^{2^{n}-1}(-1)^{s_{2}(i)}(x+i)^{m}$ $m=n$和$m=n+1$的总和，我们认为序列的多项式\begin{equation*} f_{m,n}^{\mathbf u}(x)=\sum_{i=0}^{k^{n}-1}ζ_{k}^{s_{k}(i)}(x+{\mathbf u}(i))^{m}. \end{equation*}定义的序列${\bf u}(i)$满足一定的递归关系。我们证明，计算这些多项式是计算其常数项基本上是等价的，我们找到了一个明确的公式，这个数字。这使我们能够证明几个有趣的身份涉及总和的二进制数字。我们还证明了一些相关的结果，这些结果是独立的，可以看作是某些涉及Prouhet-Thue-Morse序列和的进一步推广。
2014-09-29 math.CO math.NT
Thue-Morse at Multiples of an Integer
设（t_n）是经典的Thue-Morse序列，定义为t_n = s_2（n）（mod 2），其中s_2是n的二进制表示中的比特之和。众所周知，对于任何整数k>=1，字母“1”在子序列t_0，t_k，t_{2k}，.是渐近的1/2在这里，我们证明了，对于任何k，有一个n<=k+4，使得t_{kn} =1。此外，我们证明了n可以被选择为具有汉明重量<=3。这在双重意义上是最好的。首先，存在无穷多个k，使得t_{kn} =1意味着n具有汉明权重>=3。其次，我们刻画所有k，其中最小n等于k，k+1，k+2，k+3或k+4。最后，我们给出了推广问题的一些结果和定理，其中对任意基b>=2，用s_b代替s_2.
2010-09-27 math.CO math.NT
Univoque numbers and an avatar of Thue-Morse
Univoque数是实数$λ> 1$，使得数字1允许在基$λ> 1$中的唯一扩展，即，唯一的扩展$1 = \sum_{j \geq 0} a_j λ^{-(j+1)}$，每个$j \geq 0$都有$a_j \in \{0, 1, ..., \lceil λ\rceil -1\}$。2002年，Komornik和Loreti研究了这个定义的一个变体，以及称为{ \em容许序列}的序列。我们展示了第一作者1983年的一项研究如何给出Komornik和Loreti关于集合$\{0, 1, >..., b\}$上最小容许序列的结果，以及de Vries和Komornik（2007）关于属于区间$(b, b+1)$的最小univoque数的结果，其中$b$是任何正整数。我们还证明了最后一个数是超越数。Thue-Morse序列的化身，即态射$3 \to 31$、$2 \to 30$、$1 \to 03$、$0 \to 02$中以3开始的固定点，以“通用”方式出现。
2008-10-05 math.CO math.NT
Thue--Morse along the sequence of cubes
本文证明了满足 $t(n^3)=0$ 的自然数集合的渐近密度为 $1/2$，将 Thue--Morse 序列沿多项式的渐近等价性推广至三次多项式，推进了第三个 Gelfond 问题的解决。
2023-09-08 math.NT
Linear independence of series related to the Thue--Morse sequence along powers
本文推广E. Miyanohara的结果，证明当β为大于√φ的Pisot数或Salem数时，与沿幂次的Thue–Morse序列相关的级数在ℚ(β)上线性无关，进而推出对应线性组合序列非最终周期。
2023-12-12 cs.FL math.CO math.NT
On formal inverse of the Prouhet-Thue-Morse sequence
设$p$是素数，考虑一个$p$ -自动序列${\bf u}=(u_{n})_{n\in\N}$及其生成函数$U(X)=\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}X^{n}\in\mathbb{F}_{p}[[X]]$ .此外，让我们假设$u_{0}=0$和$u_{1}\neq 0$，并考虑形式幂级数$V\in\mathbb{F}_{p}[[X]]$，它是$U(X)$的合成逆，即，$U(V(X))=V(U(X))=X$。本文研究了幂级数$V(X)$的系数序列的算术性质。我们主要感兴趣的情况下，当$u_{n}=t_{n}$，其中$t_{n}=s_{2}(n)\pmod{2}$和${\bf t}=(t_{n})_{n\in\N}$是Prouhet-Thue-Morse序列定义的两个字母表$\{0,1\}$。更确切地说，我们研究序列${\bf c}=(c_{n})_{n\in\N}$，这是序列${\bf t}$的生成函数的合成逆的系数序列。这个序列显然是2自动的。我们描述序列${\bf a}$表征方程$c_{n}=1$的解。特别地，我们证明了序列${\bf a}$是2-正则的。我们还证明了一个递增序列的方程$c_{n}=0$的解决方案是不$k$ -正规的任何$k$。此外，我们提出了一个结果有关的${\bf a}$序列的密度性质。
2016-01-19 math.CO math.NT
On parametric Thue-Morse Sequences and Lacunary Trigonometric Products
均匀分布理论的一个基本定理指出，序列$(n α)_{n \geq 1}$的小数部分是模1（u. d.）均匀分布的。mod 1）对于每个无理数$α$。另一个重要的结果外尔指出，每一个序列$(n_k)_{k \geq 1}$不同的正整数序列的分数部分的$(n_k α)_{k \geq 1}$是u. d。几乎所有$α$的mod 1。然而，在这种一般情况下，通常很难对出现均匀分布的那些$α$进行分类，并测量$(\{n_1 α\}, ..., \{n_N α\})$的经验分布向均匀分布收敛的速度。在本文中，我们在$(n_k)_{k \geq 1}$是Thue-Morse整数序列（这意味着具有以2为底的偶数位和的正整数序列）的情况下研究这个问题。特别地，我们利用了缺三角积$\prod^{L}_{\ell=0} |\sin π2^{\ell} α|$的关系，通过给出这类积的精确度量估计，我们得到了$(n_{k} α)_{k \geq 1}$的指数和的精确度量估计以及$(\{n_{k} α\})_{k \geq 1}.$的偏差的精确度量估计。此外，我们还评论了我们的结果与度量理论中的一个公开问题丢番图逼近之间的关系。我们提供了一些明确的例子数$α$，我们可以给估计的差异$(\{n_{k} α\})_{k \geq1}$。
2015-02-25 math.CA math.NT
Powers of the Thue--Morse Series: 2-Adic Valuations and Automatic Odd Parts
Central South University（中南大学）
本文研究 Thue--Morse 生成函数幂的系数，证明特定指数族（$2^r$ 或 $3\cdot 2^r$）下奇数部分模 $2^s$ 的序列是 $2$-自动的，并给出 $m=6$ 时的赋值公式与自动性。
2026-09-16 math.NT
Normality of the Thue-Morse function for finite fields along polynomial values
设${\mathbb F}_q$是$q$元素的有限域，其中$q=p^r$是素数$p$的幂，$\left(β_1, β_2, \dots, β_r \right)$是${\mathbb F}_q$在${\mathbb F}_p$上的有序基。对于$$ξ=\sum_{i=1}^rx_iβ_i, \quad \quad x_i\in{\mathbb F}_p,$$，我们通过\[ T(ξ)=\sum_{i=1}^{r}x_i.%,\quad ξ=x_1β_1+\cdots +x_rβ_r\in {\mathbb F}_q. \]定义了${\mathbb F}_q$上的Thue-Morse或数字和函数$T(ξ)$。对于给定的模式长度$s$，具有$1\le s\le q$，子集${\cal A}=\{α_1,\ldots,α_s\}\subset {\mathbb F}_q$，次数为$d$的多项式$f(X)\in{\mathbb F}_q[X]$和向量$\underline{c}=(c_1,\ldots,c_s)\in{\mathbb F}_p^s$，我们将\[ {\cal T}(\underline{c},{\cal A},f)=\{ξ\in{\mathbb F}_q : T(f(ξ+α_i))=c_i,~i=1,\ldots,s\}. \]放入本文中，我们将看到，在某些自然条件下，~ ${\…
2021-06-23 math.CO math.NT
Composition inverses of the variations of the Baum-Sweet sequence
研究和比较一个给定的自动序列和相关的形式幂级数的合成逆（该序列的形式逆）的系数序列的算术性质是一个有趣的问题。这个问题以前研究的Thue-Morse序列。本文研究了与Baum-Sweet序列密切相关的两个序列的形式逆的算术性质。我们给出了它们的形式逆的递归关系，并确定了这些形式逆取值$0$和$1$的指数序列是否正则。我们还显示了一个意想不到的连接之间所获得的序列和形式逆的Thue-莫尔斯序列。
2018-03-01 math.CO math.NT
Maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base and polynomial subsequences
自动序列不适合密码学应用，因为它们的子字复杂度和扩展复杂度都很小，并且它们的2阶相关性度量很大。这些序列是高度可预测的，尽管具有大的最大阶复杂度。然而，最近的研究结果表明，多项式序列的自动序列，如图厄-莫尔斯序列，是更好的候选人伪随机序列。自动序列的一个自然推广是形态序列，由一个不一定一致的可延长态射的不动点给出。本文证明了Zeckendorf基上的数和函数的最大阶复杂度的一个下界，它是一个态序列的例子。我们还证明了该序列的多项式连续性保持了与Thue-Morse序列类似的大的最高阶复杂度。
2021-06-18 math.CO math.NT
Algebraic independence of certain Mahler numbers
本文证明了一类特殊的Mahler函数值的代数独立性结果。特别地，Thue-Morse序列、正规折纸序列和Cantor序列的生成函数都属于这一类，并且我们得到了这些函数的值在开单位圆盘上的每一个非零代数点上的代数独立性.证明使用马勒方法的结果。
2015-07-09 math.NT
Arithmetic properties of coefficients of power series expansion of $\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-x^{2^{n}}\right)^{t}$ (with an Appendix by Andrzej Schinzel)
令$F(x)=\prod_{n=0}^{\infty}(1-x^{2^{n}})$为Prouhet-Thue-Morse序列$((-1)^{s_{2}(n)})_{n\in\N}$的生成函数。本文研究了函数$$ F_{t}(x)=F(x)^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(t)x^{n}. $$的幂级数展开式系数的算术性质。对于$t\in\N_{+}$，序列$(f_{n}(t))_{n\in\N}$是Prouhet-Thue-Morse序列的$t$拷贝的Cauchy卷积。对于$t\in\Z_{<0}$，序列$(f_{n}(t))_{n\in\N}$的第$n$项将数字$n$的表示数计数为2的幂和，其中每个被加数可以具有$-t$颜色中的一个。除其他事项外，我们提出了一个表征的方程$f_{n}(2^k)=0$，其中$k\in\N$和$f_{n}(3)=0$的解决方案。接下来，我们提出了确切的价值的2-adic价值的数字$f_{n}(1-2^{m})$ -一个结果，推广了众所周知的表达式有关的2-adic价值的二元配分函数的欧拉介绍和研究的Churchhouse和其他人。
2017-03-06 math.CO math.NT
