Thue--Morse 级数的幂：2-进赋值与自动奇数部分
Powers of the Thue--Morse Series: 2-Adic Valuations and Automatic Odd Parts
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中文总结 AI 辅助
本文研究 Thue--Morse 生成函数幂的系数，证明特定指数族（$2^r$ 或 $3\cdot 2^r$）下奇数部分模 $2^s$ 的序列是 $2$-自动的，并给出 $m=6$ 时的赋值公式与自动性。
中文摘要 AI 辅助
设 $T(x)=\prod_{j\ge 0}(1-x^{2^j})=\sum_{n\ge 0}t(n)x^n$ 为 Thue--Morse 生成函数，并记 $T(x)^m=\sum_{n\ge 0}t_m(n)x^n$，其中 $m$ 为正整数。对于非零整数 $a$，令 $\nu_2(a)$ 为 $a$ 中因子 $2$ 的指数，并设 $\operatorname{odd}(a)=a/2^{\nu_2(a)}$。对于每个 $s\ge 1$，我们证明当 $m=2^r$（$r\ge 1$）或 $m=3\cdot 2^r$（$r\ge 2$）时，序列 $(\operatorname{odd}(t_m(n))\bmod 2^s)_{n\ge 0}$ 是 $2$-自动的。在这两种情形中，均有 $\nu_2(t_m(n))=\nu_2\binom{n+m-1}{m-1}$。对于 $m=2^r$ 的赋值恒等式已知；我们的证明重新得到它，并同时确立了自动性断言。对于 $m=6$，我们证明 $\nu_2(t_6(n))=\nu_2\binom{n+5}{5}+\mathbf{1}_{n\equiv 3\pmod 4}$，并表明其奇数部分模任意 $2^s$ 是 $2$-自动的。
英文摘要
Let $T(x)=\prod_{j\ge 0}(1-x^{2^j})=\sum_{n\ge 0}t(n)x^n$ be the Thue--Morse generating function, and write $T(x)^m=\sum_{n\ge 0}t_m(n)x^n$ for a positive integer $m$. For a nonzero integer $a$, let $ν_2(a)$ be the exponent of $2$ in $a$ and put $\operatorname{odd}(a)=a/2^{ν_2(a)}$. For every $s\ge 1$, we prove that the sequence $(\operatorname{odd}(t_m(n))\bmod 2^s)_{n\ge 0}$ is $2$-automatic when $m=2^r$, $r\ge 1$, or $m=3\cdot 2^r$, $r\ge 2$. In both families, $ν_2(t_m(n))=ν_2\binom{n+m-1}{m-1}$. The valuation identity for $m=2^r$ is known; our proof recovers it and also establishes the automaticity assertion. For $m=6$ we prove $ν_2(t_6(n))=ν_2\binom{n+5}{5}+\mathbf{1}_{n\equiv 3\pmod 4}$ and show that its odd parts modulo every $2^s$ are $2$-automatic.
发表机构
- Central South University（中南大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
