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关于移位欧拉函数的迭代

On the iterates of shifted Euler's function

Paolo Leonetti, Florian Luca

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摘要：

设$φ$为欧拉函数，并固定一个整数$k\ge 0$。我们证明了，对于每个初始值$x_1\ge 1$，由$x_{n+1}=φ(x_n)+k$定义的正整数序列$(x_n)_{n\ge 1}$对于所有$n\ge 1$最终是周期的。类似地，对于每个初始值$x_1,x_2\ge 1$，由$x_{n+2}=φ(x_{n+1})+φ(x_n)+k$为所有$n\ge 1$定义的正整数序列$(x_n)_{n\ge 1}$最终是周期性的，只要$k$是偶数。

英文摘要：

Let $φ$ be the Euler's function and fix an integer $k\ge 0$. We show that, for every initial value $x_1\ge 1$, the sequence of positive integers $(x_n)_{n\ge 1}$ defined by $x_{n+1}=φ(x_n)+k$ for all $n\ge 1$ is eventually periodic. Similarly, for every initial value $x_1,x_2\ge 1$, the sequence of positive integers $(x_n)_{n\ge 1}$ defined by $x_{n+2}=φ(x_{n+1})+φ(x_n)+k$ for all $n\ge 1$ is eventually periodic, provided that $k$ is even.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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