Ambrosio-Tortorelli 泛函梯度流的存在性、唯一性及 $L^2_t (H_x ^2) \cap L^\infty_t (H^1_x) \cap H^1_t (L^2_x)$ 正则性
Existence, uniqueness and $L^2_t (H_x ^2) \cap L^\infty_t (H^1_x) \cap H^1_t (L^2_x) $ regularity of the gradient flow of the Ambrosio-Tortorelli functional
AI总结：
本文研究二维固定参数下 Ambrosio-Tortorelli 泛函的梯度流，借助新的关键 $L^2_t(H_x^2)$ 估计技术，证明其全局存在性、唯一性及所需混合时空正则性。
摘要：
我们考虑固定 $\varepsilon>0$ 时 Ambrosio-Tortorelli 泛函的梯度流，在二维情形证明其存在性、唯一性以及 $L^2_t(H_x^2)\cap L^\infty_t(H_x^1)\cap H^1_t(L_x^2)$ 正则性。特别地，我们改进了此前的一项结果：在该结果中，这种正则性只在除去有限多个时空点后成立，而这些点的数量会随 $\varepsilon\to0$ 发散。通过对关键的 $L^2_t(H_x^2)$ 估计采用一种不同的技术，我们可以看到所需正则性实际上处处成立。
英文摘要：
We consider the gradient flow of the Ambrosio-Tortorelli functional at fixed $ε>0$, proving existence, uniqueness and $L^2 _t (H_x ^2) \cap L^\infty _t (H^1 _x) \cap H^1 _t (L^2 _x) $ regularity in dimension 2. In particular we improve a previous result where such regularity was known only up to a finite number of space time points, which diverged as $ε\to 0$. By employing a different technique for the crucial $L^2 _t (H^2 _x)$ estimates we can see how in fact the desired regularity holds everywhere.
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