凸余紧双曲曲面的改进分形 Weyl 界与大无共振区域
Improved fractal Weyl bounds for convex cocompact hyperbolic surfaces and large resonance-free regions
AI总结：
本文研究了凸余紧双曲曲面，通过结合转移算子机制与振荡积分新估计，证明了改进的分形 Weyl 界，并推导出存在大无共振区域。
摘要：
设 $X$ 为凸余紧双曲曲面，$δ$ 表示其极限集的 Hausdorff 维数。设 $N_X(σ,T)$ 表示 $X$ 在矩形 $[σ, δ] + i[0,T]$ 内的共振数。我们证明，对所有 $σ> δ/2$，有 \\[ N_X(σ,T) \ll_εT^{1 + δ- 2(2σ- δ) + ε}. \\] 这加强了 Naud \cite{Naud14} 和 Dyatlov \cite{Dya19} 此前建立的“改进”分形 Weyl 界。此外，该结果意味着对每个 $ε> 0$，在带状区域 \\[ \left\{\\, s \in \mathbb{C} : \tfrac{3}{4}δ+ ε< \mathrm{Re}(s) < δ\\, \right\} \\] 内存在任意高度的无共振矩形区域。我们的证明将 Naud 的方法 \cite{Naud14} 与 Dyatlov-Zworski \cite{DyZw18} 开发的精细转移算子机制相结合，并利用了在我们分析中自然产生的振荡积分的新估计。
英文摘要：
Let $X$ be a convex cocompact hyperbolic surface, and let $δ$ denote the Hausdorff dimension of its limit set. Let $N_X(σ,T)$ denote the number of resonances of $X$ inside the box $[σ, δ] + i[0,T]$. We prove that for all $σ> δ/2$, we have \[ N_X(σ,T) \ll_εT^{1 + δ- 2(2σ- δ) + ε}. \] This strengthens the previously established "improved" fractal Weyl bounds due to Naud \cite{Naud14} and Dyatlov \cite{Dya19}. Moreover, this result implies that for every $ε> 0$, there exist resonance-free rectangular boxes of arbitrary height within the strip \[ \left\{\, s \in \mathbb{C} : \tfrac{3}{4}δ+ ε< \mathrm{Re}(s) < δ\, \right\}. \] Our proof combines Naud's approach \cite{Naud14} with the refined transfer operator machinery developed by Dyatlov-Zworski \cite{DyZw18}, as well as a new estimate for oscillatory integrals that arise naturally in our analysis.
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