It is well-known that intuitionistic logics can be formalized by means of Brouwerian semilattices, i.e. relatively pseudocomplemented semilattices. Then the logical connective implication is considered to be the relative pseudocomplement and conjunction is the semilattice operation meet. If the Brouwerian semilattice has a bottom element 0 then the relative pseudocomplement with respect to 0 is called the pseudocomplement and it is considered as the connective negation in this logic. Our idea is to consider an arbitrary meet-semilattice with 0 satisfying only the Ascending Chain Condition, which is trivially satisfied in finite semilattices, and introduce the connective negation x^0 as the set of all maximal elements z satisfying x^z=0 and the connective implication x->y as the set of all maximal elements z satisfying x^z\le y. Such a negation and implication is "unsharp" since it assigns to one entry x or to two entries x and y belonging to the semilattice, respectively, a subset instead of an element of the semilattice. Surprisingly, this kind of negation and implication, respectively, still shares a number of properties of these connectives in intuitionistic logic, in particular the derivation rule Modus Ponens. Moreover, unsharp negation and unsharp implication can be characterized by means of five, respectively seven simple axioms. Several examples are presented. The concepts of a deductive system and of a filter are introduced as well as the congruence determined by such a filter. We finally describe certain relationships between these concepts.
Contrapositionally Complemented Pseudo-Boolean Algebras and Intuitionistic Logic with Minimal Negation
本文研究了两种代数结构：“对位补伪布尔代数”（ccpBa）和“对位补伪布尔代数”（$\vee$ cpBa）.代数最近获得的拓扑理论研究的粗糙集类别。这些代数的显著特征是有两个否定，一个是直觉的，另一个是本质上的极小的，以及连接两个算子的条件。我们研究了这些代数的性质，给出了例子，并将它们与相关的已有代数进行了比较。然后研究了对应于ccpBas的“具有最小否定的直觉主义逻辑”及其扩展ILM- ${\vee}$ for c $\vee$ cpBas.除了与直觉主义和最小逻辑的关系外，ILM还与皮尔士逻辑有关。通过对这两个否定的性质的研究，得到了ILM和ILM的两种关系语义-- ${\vee}$，并给出了两种语义之间的相互转换。提取代数中两个否定的特征，在逻辑上研究了定义独立于蕴涵二元算子的算子的否定之后，进行了进一步的研究。利用Dunn的逻辑框架，给出了两种不含蕴涵的逻辑$K_{im}$和$K_{im-{\vee}}$. $K_{im}$ -代数是ccpBas的约化。代数中的否定被证明在Dunn的否定风筝的增强形式中占据不同的位置。基于Dunn的相容性框架，给出了$K_{im}$和$K_{im-{\vee}}$的关系语义.最后，在工作中定义的逻辑之间建立不同的代数和关系语义的关系。
Team Semantics是Tarskian Semantics的一种推广，可用于向一阶逻辑添加原子和连接词，以表达变量的可能值之间的依赖关系。这些扩展中的一些比一阶逻辑更有表现力，而另一些则可还原为它。（可相对化的）原子和原子族，当它们和它们的否定单独或联合地添加到具有团队语义的一阶逻辑中时，它们不会增加该逻辑的表达能力（或者，等价地，当它们被添加到用仅适用于文字和依赖原子的矛盾否定连接符扩充的一阶逻辑时）。
除了著名的纳尔逊逻辑和次协调纳尔逊逻辑，在“构造系统中概念的否定和分离”（1959）中，大卫·纳尔逊引入了一种名为S的逻辑，目的是分析数学中可证明否定陈述的构造性内容。受Kleene在“On the Interpretation of Intuitionistic数论“（1945）中的结果的启发，Nelson研究了真理的一个更对称的递归定义，根据这个定义，一个公式可以被验证或反驳。逻辑S是通过一个没有压缩规则、有无穷多个图式规则的演算来定义的，并且没有提供语义。这个系统很少受到研究人员的关注，甚至没有注意到它的原始呈现是不一致的。幸运的是，不一致是由错别字和规则的假设和结论是swapped.We调查在本研究中的逻辑S的更正版本，并专注于其命题片段，表明它是代数化（事实上，蕴涵）关于某一类特殊的对合剩余格。因此，我们介绍了第一（代数）语义S以及有限的希尔伯特式演算相当于纳尔逊的介绍。我们还比较了S与Nelson族的其他两个上述逻辑。
