五维交换过程中的无限循环
Infinite cycles in the interchange process in five dimensions
AI总结：
本研究针对五维及以上整数格点上的交换过程，通过分析循环时间随机游走的扩散性与局部逃逸性质，证明了大时间下存在无限循环，证实了Tóth于1993年提出的相关猜想。
摘要：
在图$G=(V,E)$上的交换过程中，不同的粒子被放置在$G$的顶点上，边上带有独立的泊松时钟。当某条边的时钟响起时，该边两端的两个粒子会交换位置。通过这种方式，对于任意时间$β>0$，都会形成一个随机置换$π_β:V\to V$。主要研究对象之一是该随机置换的循环结构以及长循环的出现。\n 我们证明了对于所有维度$d\ge 5$以及所有足够大的$β$，$\boldsymbol{Z}^d$上的交换过程中存在无限循环，从而在这些维度上证实了Bálint Tóth于1993年提出的一个猜想。\n 在证明过程中，我们研究了一种被称为循环时间随机游走的自相互作用随机游走。利用多尺度归纳法，我们证明了它具有扩散性，并且可以与布朗运动耦合。证明中的关键思想之一是建立局部逃逸性质，该性质表明当游走以复杂的方式与其历史纠缠时，它会迅速逃逸。
英文摘要：
In the interchange process on a graph $G=(V,E)$, distinguished particles are placed on the vertices of $G$ with independent Poisson clocks on the edges. When the clock of an edge rings, the two particles on the two sides of the edge interchange. In this way, a random permutation $π_β:V\to V$ is formed for any time $β>0$. One of the main objects of study is the cycle structure of the random permutation and the emergence of long cycles. We prove the existence of infinite cycles in the interchange process on $\mathbb Z ^d$ for all dimensions $d\ge 5$ and all large $β$, establishing a conjecture of Bálint Tóth from 1993 in these dimensions. In our proof, we study a self-interacting random walk called the cyclic time random walk. Using a multiscale induction we prove that it is diffusive and can be coupled with Brownian motion. One of the key ideas in the proof is establishing a local escape property which shows that the walk will quickly escape when it is entangled in its history in complicated ways.
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