Even singular integral operators that are well behaved on a purely unrectifiable set
Benjamin Jaye, Manasa N. Vempati
证明了$(d-2)$维纯不可求长集的存在性，在该集上有一族\emph{even}奇异积分算子有界。
We prove the existence of a $(d-2)$-dimensional purely unrectifiable set upon which a family of \emph{even} singular integral operators is bounded.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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$L^2$-bounded singular integrals on a purely unrectifiable set in $\mathbb{R}^d$
我们构造了一个例子，一个纯粹的不可求积措施$μ$在$\mathbb{R}^d$的奇异积分相关的内核$\displaystyle{K(x)=\frac{P_{2k+1}(x)}{|x|^{2k+d}}}$，与$k\geq 1$和$P_{2k+1}$的齐次调和多项式的次数$2k+1$，是有界的$L^2(μ)$。这与关于$\mathbb{R}^d$中Riesz核$\displaystyle{\frac{x}{|x|^{d}}}$的结果形成鲜明对比。
The Class of Purely Unrectifiable Sets in the Hilbert Space is coanalytic-complete
由$\ell_2$的所有闭子集构成的空间$F(\ell_2)$是波兰空间。证明了由纯1-不可求长集组成的子集$P\subset F(\ell_2)$是$\Pii$ -完备的.
Besicovitch's example in higher dimensions: a purely unrectifiable set with large lower density
将贝西科维奇的示例推广到任意维度，得到纯\(d\)-不可求积集\(E\)，使\(\mathcal{H}^{d}\)-几乎所有\(x\in E\)处\(\Theta_{\ast}^{d}(E, x)=1/2\)，确定了相关阈值下限。
Purely unrectifiable sets, fractal percolation and graphs of functions
本文综述了作者关于不可整流性的研究成果，包括Takagi、Weierstrass-Cellerier等连续函数图形上的纯不可整流1-集，以及分形渗流几乎必然纯α-不可整流的条件。
Unrectifiable normal currents in Euclidean spaces
我们在$\mathbb{R}^{k+2}$中构造了一个$k$维简单正规流，它的支集是纯$2$ -不可求长的.结果是尖锐的，因为正常电流的支持不能是纯粹的$1$ -不可整流的，并且$(k+1)$维正常电流可以表示为$(k+1)$ -可整流电流的积分。这对Frank Morgan（1984）的一个问题（修订版）给出了否定的答案。
Purely unrectifiable metric spaces and perturbations of Lipschitz functions
通过研究所有有界1-Lipschitz函数$f\colon X \to \mathbb R^m$的集合的元素关于上确界范数的任意小扰动，证明了完备度量空间$X$的具有有限Hausdorff $n$ -测度的纯$n$ -不可求长子集$S$.在一个这样的表征，它表明，如果$S$具有积极的低密度几乎无处不在，然后设置所有的$f$与$\mathcal H^n(f(S))=0$是剩余的。相反，如果$E\subset X$是$n$ -可与$\mathcal H^n(E)>0$求正的，则所有具有$\mathcal H^n(f(E))>0$的$f$的集合是剩余的。这些结果为任意度量空间中的Besicovitch-Federer投影定理提供了一个替代，该定理在欧氏空间之外是错误的。
Typical differentiability within an exceptionally small set
我们验证了存在一个纯粹的不可求长集，其中典型的Lipschitz函数有一个大的全可微点集。这个例子来自于一个由Csörnyei、Preiss和Tišer提出的泛可微集的构造，其中某个Lipschitz函数只有一个纯不可求长的可微点集。
A Quantified Two-projection Theorem for Nonlinear Projections
将经典双投影定理推广到非线性投影族，并利用多尺度框架得到量化版本，应用于固定距离集、径向投影和曲线投影算子。
A quantitative version of the Besicovitch projection theorem via multiscale analysis
通过使用多尺度分析，我们建立定量版本的贝西科维奇投影定理（几乎每一个投影的纯粹不可求长集在平面上的有限长度的措施零）和一个标准的同伴的结果，即任何平面集至少有两个投影的措施零是纯粹不可求长。我们说明了这些结果，提供了一个明确的（但弱）的平均投影的$n^{th}$代产品康托尔集的上界。
Approximately j-dimensional Koch type sets are potentially minimal surfaces
本文研究了Simon提出的极小曲面的奇异集的近似j维性质。这导致了约j维曲面的8个变化的分类方面的尺寸和局部有限Hausdorff措施。我们表明，奇点集必须要么表现良好，或基本上纯粹不可求长。构造和推广了可能发生的不可求积集的例子。它们被证明是伪分形的，并与著名的Koch集有关。各种表示的措施和尺寸的集，以及一个很好的平衡，螺旋性质的集。
A Quantification of a Besicovitch Nonlinear Projection Theorem via Multiscale Analysis
贝西科维奇投影定理指出，如果平面的子集$E$在Hausdorff测度意义下具有有限长度，并且是完全不可求长的（因此它与任何Lipschitz图的交集具有零长度），则几乎所有$E$到直线的正交投影都具有零测度。换句话说，一个完全不可求长的$1$ -集的Favard长度为零。在这篇文章中，我们证明了当线性投影被某些称为曲线投影的非线性投影所取代时，这个结果仍然成立。事实上，我们走得更远，并使用多尺度分析来证明这个贝西科维奇非线性投影定理的定量版本。粗略地说，我们表明，如果一个子集的平面有有限的长度在Hausdorff的意义上，几乎是纯粹的不可求长，那么它的Favard曲线长度是非常小的。我们的技术建立在陶的基础上，陶在[Tao 09]中证明了原始贝西科维奇投影定理的量化。
Estimates on Fully Nonlinear Elliptic Equations with Unrectifiable Exceptional Gradient Sets
该研究针对仅在解梯度位于闭球和闭纯一维不可求集外时成立的完全非线性一致椭圆方程，证明了与例外集无关的粘性解的哈纳克不等式和赫尔德正则性估计，还通过例子和反例说明纯一维不可求性的作用，且内容自包含。
Visibility for self-similar sets of dimension one in the plane
证明了平面上满足开集条件的一维有限Hausdorff测度的纯不可求长自相似集从每一点的径向投影长度为零.
Self-similar sets and Lipschitz graphs
本文研究了自相似集与Lipschitz图的交集问题，证明了一维吸引子的子集可被Lipschitz图覆盖，且Lipschitz常数与维度差有关。
Universal singular sets in the calculus of variations
对于正则一维变分问题，Ball和Nadirashvilli引入了拉格朗日L的泛奇异集的概念，并建立了它的拓扑可忽略性。这个集合被定义为某个绝对连续的L-极小元的图以无穷导数通过的平面上所有点的集合。受Tonelli的部分正则性结果的启发，普遍奇异集在测度上的大小问题自然产生了。在这里，我们表明，普遍奇异集的特点是基本上是纯粹的unrectifiable -也就是说，他们相交于大多数Lipschitz曲线在零长度的集合，任何紧凑的纯unrectifiable集包含在一些光滑拉格朗日的普遍奇异集给定的超线性增长。这给出了豪斯多夫维数2的通用奇异集的例子，填补了以前已知的一维例子和Sychev的结果之间的空白，通用奇异集是勒贝格零。我们表明，一些光滑的拉格朗日是必要的拓扑尺寸估计，并调查之间的关系增长的拉格朗日和存在（病态）可求长件的普遍奇异集。我们还表明，Tonelli的部分正则性结果是稳定的，在一个“近”极小U的能量超过它有大的衍生物的集合是由有多远U是一个极小控制。
Sets which are not tube null and intersection properties of random measures
我们表明，在$\mathbb{R}^d$有纯粹的不可求长集的Hausdorff（甚至盒计数）尺寸$d-1$这不是管零，解决问题的Carbery，索里亚和巴尔加斯，并改善了一些结果由同一作者和Carbery。我们的方法也延伸到“凸管空集”，建立一个对比与定理Alberti，Csörnyei和Preiss Lipschitz空集。我们构造的集合是随机的，证明依赖于某些随机分形测度与曲线的交性质。
The Riesz transform, rectifiability, and removability for Lipschitz harmonic functions
我们证明了，给定一个具有有限$n$ -Hausdorff测度$H^n$的集合$E\subset \mathbb R^{n+1}$，如果$n$ -维里斯变换$$R_{H^n|E} f(x) = \int_{E} \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} f(y) dH^n(y)$$在$L^2(H^n|E)$中有界，则$E$是$n$ -可求积的.从这个结果我们推出了一个紧集$E\subset\mathbb R^{n+1}$与$H^n(E)<\infty$是Lipschitz调和函数可去的当且仅当它是纯粹的$n$ -不可求长的，从而证明了Vitushkin猜想在高维的类比.
Dimension and measure of sums of planar sets and curves
两个平面集合的算术和的研究一直受到人们的关注。重点研究了当$A\subset \mathbb{R}^2$和$Γ$是分段$\mathcal{C}^2$曲线时，$A+Γ:=\left\{a+v:a\in A, v\in Γ\right\}$的测度和维数.假设$Γ$具有非零曲率，我们证明：（a）如果$\dim_{\rm H} A \leq 1$，则有$\dim_{\rm H} (A+Γ)=\dim_{\rm H} A +1$，其中$\dim_{\rm H}$表示Hausdorff维数;（b）如果$\dim_{\rm H} A>1$，则有$Leb_2(A+Γ)>0$，其中$Leb_2$表示$2$维Lebesgue测度;（c）如果$\dim_{\rm H} A=1$和$H^1(A) < \infty$，则有$Leb_2(A+Γ)=0$当且仅当$A$是一个不规则的（完全不可求长的）$1$ -集。这里，$H^1$表示$1$维Hausdorff测度。（a）和（b）项来自Wolff和Oberlin以前使用傅立叶分析的工作。在这篇文章中，我们开发了一种方法，使用非线性投影理论，它给出了新的证明（a）和（b）和（c）的第一个证明。第（c）项有许多结果：如果一个圆被随机扔到平面上，它几乎肯定不会与四角康托集相交。而且，不规则$1$ -集的钉扎距离集在几乎每个钉$t\in \mathbb{R}^2$处都有$…
On singular integrals with non-negative kernels in the Heisenberg group
本文研究了Heisenberg群中非负核的奇异积分，证明了在特定条件下1-阿赫尔福斯正则集的性质，并给出了对Fässler和Orponen问题的否定回答，同时展示了纯1-不可测集的奇异积分在L^2空间中的有界性。
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