Non-renewal resetting of scaled Brownian motion
本文研究了一个间歇随机过程，其中扩散系数为$D(t)\sim t^{α-1}$，$α>0$（scaled布朗运动）的扩散运动被随机复位到初始位置并重新开始.重置遵循更新过程，连续更新之间的等待时间呈指数或幂律分布。重置事件，但是，不影响的扩散系数的时间依赖性，使整个过程似乎是一个非更新的。本文讨论了在这一过程中粒子的均方位移及其位置的概率密度函数。我们发现，缩放布朗运动与复位演示了丰富的行为，其性质基本上取决于复位过程和粒子的位移在自由运动的参数的相互作用。粒子的运动可以几乎不受重置的影响，但也可以减慢甚至完全抑制。特别有趣的是非平稳的情况下，均方位移停滞，但位置的分布并不倾向于任何稳定状态。\color{black}这种行为是比较的情况下（在本系列的其他文件中讨论），其中的记忆的扩散系数的值在复位时间被擦除，使整个过程是一个完全更新的。我们表明，在这样的过程中（擦除或保留记忆的扩散系数）的概率密度的属性是非常不同的。\color{black}
2019-05-25 cond-mat.stat-mech
Absolute area under a scaled Brownian motion with resetting
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
该研究分析受随机重置的尺度布朗运动粒子轨迹下绝对面积的统计与遍历性，推导两类重置下的低阶矩，揭示幂律重置下的遍历转变，数值模拟验证结果。
2026-10-15 cond-mat.stat-mech
Collective behavior of independent scaled Brownian particles with renewal resetting
Racah Institute of Physics, Hebrew University of Jerusalem（拉卡物理学研究所，耶路撒冷希伯来大学）
研究N个独立粒子在随机重置下的异常扩散波动，揭示系统半径和质心的统计特性，发现半径波动属于Gumbel universality类，质心大偏离呈现异常标度行为。
2026-03-16 cond-mat.stat-mech
Scaled Brownian motion as a mean field model for continuous time random walks
我们考虑标度布朗运动（sBM），一个随机过程所描述的扩散方程与明确的时间相关的扩散系数$D(t) = D_0 t^{α- 1}$（巴彻勒方程），其中，对于$α< 1$，经常被用来拟合实验数据不清楚成因的亚扩散。我们表明，这个过程是一个密切的相对subdiffusive连续时间随机游动，并描述了一个云的独立步行者的质心的运动。它与次扩散CTRW共享其非平稳和非遍历特性。然而，sBM的非遍历性并不与其不同实现之间的强烈差异密切相关：其异质性（“遍历性破坏”）参数在长轨迹中趋于零。
2013-11-14 cond-mat.stat-mech physics.data-an
Anomalous diffusion of scaled Brownian tracers
本文提出用标度布朗运动描述活性浴中示踪粒子的推进方向，通过解析与模拟揭示其短时弹道输运和长时反常扩散行为，并分析了峰度、中间散射函数及推进自相关函数。
2024-01-06 cond-mat.stat-mech
Scaled Brownian motion: a paradoxical process with a time dependent diffusivity for the description of anomalous diffusion
反常扩散通常用尺度布朗运动（SBM）来描述，SBM是一种具有幂律时间依赖扩散系数的高斯过程。其均方位移为$\langle x^2(t)\rangle\simeq\mathscr{K}(t)t$，其中$\mathscr{K}(t)\simeq t^{α-1}$为$0<α<2$。在无界扩散的情形下，SBM可以提供一个似乎足够的描述，其概率密度函数与分数布朗运动的概率密度函数一致。在这里，我们表明，自由SBM是弱非遍历，但不表现出显着的振幅分散的时间平均均方位移。更严重的是，我们证明了在约束下，由SBM编码的动力学是根本不同的分数布朗运动和连续时间随机游动。SBM是高度非静止的，并且不能为热静止系统中的颗粒提供物理描述。我们的研究结果对单粒子跟踪实验的建模有直接影响，特别是在细胞室内的限制下或使用光镊跟踪方法时。
2014-05-09 cond-mat.stat-mech physics.bio-ph
Bayesian inference of scaled versus fractional Brownian motion
本文提出了一种尺度布朗运动的贝叶斯推断方法，并在与分数布朗运动联合推断的情况下，研究了该方法在参数估计和模型选择中的性能。我们包括在这两个模型中的测量噪声的可能性。我们发现，对于几百个时间点的轨迹，该程序能够很好地解决真实的模型和参数。利用合成数据生成过程的先验信息进行推理，该方法是基于决策理论的最优方法。我们包括一个比较与推理使用的数据生成一个不同的先验。
2022-05-12 cond-mat.stat-mech physics.data-an q-bio.QM
Ageing underdamped scaled Brownian motion: ensemble and time averaged particle displacements, non-ergodicity, and the failure of the overdamping approximation
我们调查分析和计算机模拟的合奏平均，时间平均，非遍历，和老化的大质量粒子在介质中扩散与时间相关的扩散性能。我们称这个随机扩散过程为（老化）欠阻尼标度布朗运动（UDSBM）。我们演示了如何的均方位移（MSD）和时间平均MSD的UDSBM的朗之万方程中的惯性项的影响，无论是在短，中间，甚至长的扩散时间。特别是，我们量化的弹道制度的MSD和时间平均的MSD以及个人的时间平均的MSD轨迹的传播。我们观察到的主要效应之一是，-无论是MSD和时间平均MSD-超扩散UDSBM的弹道制度是比普通的布朗运动短得多。相比之下，对于亚扩散UDSBM，弹道区域延伸到更长的扩散时间。因此，当过阻尼极限确实提供正确的描述时，需要特别注意，即使是在长时间限制下。我们还分析了在什么程度上在这个非平稳系统中的玻尔兹曼-欣钦意义上的遍历性被打破，无论是subdiffusive和superdiffusive UDSBM。最后，考虑了超低UDSBM的极限情况，粒子的集合和时间平均MSD具有混合对数和幂律依赖性。在强时效极限下，普通UDSBM和超低UDSBM在短时间弹道极限下的行为相似。这里开发的方法打开了新的途径，考虑其他随机过程的物理重要条件下，当一个有限的粒子质量和老化的系统不能被忽略。
2016-09-23 cond-mat.stat-mech
Single-trajectory spectral analysis of scaled Brownian motion
研究时变随机过程的标准方法是功率谱密度（PSD），这是一种集合平均性质，定义为过程在长观测时间渐近极限$T\to\infty$中的自相关函数的傅立叶变换。在许多实验的情况下，一个是能够获得有限的$T$只有相对较少的随机时间序列，这样实际上既不是合奏平均值也不是渐近极限$T\to\infty$可以实现。为了适应有意义的分析，这样的有限长度的数据，我们在这里开发的框架单轨迹谱分析的标准模型之一的异常扩散，缩放布朗运动。我们证明了单轨迹PSD的频率依赖性与标准布朗运动完全相同，这可能导致人们得出错误的结论，即所观察到的运动是正常的扩散。然而，一个显着的功能被证明是由测量时间$T$的显式依赖提供，这种老化现象可以用来推断异常扩散指数。我们还比较了我们的结果的单轨道PSD行为的另一个标准的反常扩散过程，分数布朗运动，并制定出的共性和差异。我们的研究结果代表了一个重要的一步，在建立单轨迹PSD作为替代（或补充）的分析的基础上的时间平均均方位移。
2019-03-15 cond-mat.stat-mech physics.bio-ph
Anomalous diffusion and long-range memory in the scaled voter model
我们分析了尺度投票模型，这是一个推广的噪声投票模型与时间相关的羊群行为。我们考虑的情况下，当羊群行为的强度增长作为一个幂律函数的时间。在这种情况下，缩放的投票者模型简化为通常的噪声投票者模型，但是它由缩放的布朗运动驱动。我们推导出的缩放选民模型的第一和第二时刻的时间演化的解析表达式。此外，我们推导出的第一次通过时间分布的解析近似。通过数值模拟，我们证实了我们的分析结果，以及表明，该模型具有长程记忆指标，尽管是一个马尔可夫模型。该模型具有与有界分数布朗运动一致的稳态分布，有望成为有界分数布朗运动的良好替代模型.
2023-02-11 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph q-fin.ST
Scaled Brownian motion with random anomalous diffusion exponent
本文受单粒子追踪实验启发，提出随机指数标度布朗运动（SBMRE）模型，在保留单条轨迹SBM特性的同时使反常扩散指数随机变化，系统分析了其概率密度、首达时间及鞅性质等特征，并通过数值模拟验证了理论结果。
2024-04-25 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Cover time statistics of one-dimensional Brownian motion under stochastic resetting
Amity University Kolkata（加尔各答阿米蒂大学）；Raman Research Institute, Bengaluru 560080, India（班加罗尔拉曼研究所）
研究随机重置对一维布朗运动覆盖时间统计的影响，发现平均覆盖时间随重置率非单调变化，存在最优重置率，并推导了覆盖时间分布的精确解析表达式。
2026-05-29 cond-mat.stat-mech
Resetting mediated navigation of active Brownian searcher in a homogeneous topography
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；International Institute of Information Technology（国际信息技术学院）；The Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴哈国家研究所）
本文研究了重置介导的活性布朗搜索者在均匀地形中的导航策略，发现重置能有效优化搜索时间，尤其在退火条件下加速搜索过程。
2022-08-14 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech nlin.AO
Wiener-Khinchin theorem for nonstationary scale-invariant processes
通过引入与时间平均功率相关的时间相关谱密度，我们推导出非平稳过程Wiener-Khinchin定理的推广。利用非平稳定理研究了具有渐近尺度不变关联函数的衰老过程。作为应用，我们分析了三种典型的反常扩散模型：标度布朗运动，分数布朗运动和对数势中的扩散的功率谱。此外，我们阐明如何非平稳的通用subdiffusive过程是有关的1/f噪声的红外灾难。
2015-06-16 cond-mat.stat-mech
Multiple-particle diffusion processes from the viewpoint of Dunkl operators: relaxation to the steady state
本文定义了两类随机相互作用粒子系统：相互作用布朗运动和Bessel过程，它们是Dyson的布朗运动模型和Wishart和Laguerre过程的特征值过程的推广，其中随机矩阵理论中的参数$β$取实正数.在这些系统中，几个粒子作为单独的布朗运动和贝塞尔过程演化，同时通过对数势相互排斥。这些系统也是Dunkl过程的特殊情况，Dunkl过程是一个由Dunkl算子定义的多变量随机过程的大家族。本文研究了相互作用的布朗运动和Bessel过程在适当的标度和冻结（$β\to\infty$）机制下的定态分布，证明了这些过程的标度定态分布在有限时间内收敛于随机矩阵的$β$-Hermite和$β$-Laguerre系综的特征值分布。它还表明，在这些过程中的缩放的最终位置的粒子是固定在零点的厄米和Laguerre多项式的冻结极限。这些结果是在本文中证明的两个更一般的结果的基础上得到的。首先是Dunkl过程一般在有限时间内收敛到一个缩放的稳态分布，只取决于所考虑的Dunkl过程的类型。第二个是，在冻结极限，他们缩放的最终位置是固定的一组点称为峰值集，这是一组点，最大限度地提高他们的稳态分布。
2014-06-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Area under subdiffusive random walks
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
研究亚扩散随机游走轨迹下面积和绝对面积的统计特性，通过不同模型计算矩和概率密度函数，并通过模拟验证结果。
2026-02-04 cond-mat.stat-mech
Computational methods and fast hybrid stochastic simulations for triangulation sensing and identifying principles of cell navigation in the brain
布朗模拟可用于生成与研究分子相互作用或贩运相关的统计数据。然而，许多布朗轨迹的并发模拟在计算上可能变得难以处理。用速率模型代替详细的布朗模拟是吉莱斯皮算法的基础，但需要忽略空间信息。然而，这些信息在分子和细胞生物学中至关重要。或者，可以使用混合方法，仅在空间组织相关的小区域中生成布朗路径，并在域的其余部分中避免它。在这里，我们回顾了混合方法和模拟的背景下，通过外部化学梯度的细胞传感和指导的最新进展。具体来说，我们强调的重建的点源的位置在2D和3D的扩散通量到达位于细胞上的窄窗口。我们讨论的情况下，这些窗口位于边界上的2D或3D半空间，在一个磁盘上的自由空间，在一个2D走廊，或3D球。所讨论的混合方法仅在感兴趣的区域内执行布朗模拟。它使用的Neumann-Green函数的几何形状，以产生精确的映射出口和入口点时的轨迹离开该区域，从而避免了显式计算布朗路径在一个无限域。匹配渐近是用来计算概率通量的小窗口，我们审查如何这样的方法可以用来重建点源的位置和估计的不确定性，由于添加剂扰动存在于通量的源重建。我们还回顾了各种窗口配置的影响源位置恢复。最后，我们讨论了在发育细胞生物学和可能的计算原理的潜在应用。
2020-11-09 cond-mat.stat-mech math.AP q-bio.CB
Winding number correlation for a Brownian loop in a plane
布朗环是一个由无限多步组成的随机游动回路，适当地说是无限小的步。在一个平面上，这样的一个环可能会或可能不会包围一个标记点，比如原点。如果它这样做了，它可以绕着那个点任意多次，无论是正的还是负的。事实上，从（早已知道的）概率分布来看，均方缠绕数是无限的，因此所有统计矩--缠绕数的幂的平均值--都是无穷大（偶数幂）或零（奇数幂，根据对称性）。如果在距原点一定距离处引入一个附加标记点，则现在有两个相关的缠绕数。这种相关性，即两个缠绕数乘积的平均值，是有限的，在这里计算。其结果是一个单一的收敛性好的积分的形式，它取决于一个单一的参数-标记点的适当比例的分离。由分离的幂加权的相关积分是简单的阶乘表达式。明确的限制的相关性小和大分离的标记点被发现。
2019-10-01 cond-mat.stat-mech
Two-step asymptotics of scaled Dunkl processes
Dunkl过程是布朗运动的推广，通过使用称为Dunkl算子的微分-差分算子作为热方程中的空间偏导数的替代而获得。这些过程的特殊情况包括戴森的布朗运动模型和Wishart-Laguerre特征值过程，它们在随机矩阵理论中是众所周知的。已知Dunkl过程的动力学是通过Dunkl的缠绕算子变换热核得到的。还已知的是，在适当的缩放下，它们的分布函数收敛到稳态分布，该稳态分布仅取决于耦合参数$β$，因为处理时间$t$趋于无穷大。我们研究缩放Dunkl过程从任意的初始分布，我们推导出表达式的交织算子，以计算在两个极限情况下的分布函数的渐近性。在第一种情况下，$β$是固定的，$t$趋于无穷大（接近稳态），在第二种情况下，$t$是固定的，$β$趋于无穷大（强耦合极限）。我们得到了在上述两种情况下的极限分布的偏差，我们发现，它们是由两种不同的机制，驱动的过程，即漂移和交换机制。我们发现，由于漂移机制的偏差衰减为$t^{-1}$，而由于交换机制的偏差衰减为$t^{-1/2}$。
2016-02-02 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Theory of relaxation dynamics for anomalous diffusion processes in harmonic potential
光镊装置常被用来探测单个示踪粒子的运动，这促进了对简谐势中一般过程弛豫动力学的研究。我们揭示了系综和时间平均均方位移的封闭过程的速度关联函数$C(t,t+τ)$的原始过程的依赖性。利用小$τ$和大$τ$的两种不同的$C(t,t+τ)$标度形式，可以立即得到稳态值和弛豫行为。所得结果对大量的反常扩散过程，包括分数阶布朗运动，标度布朗运动，以及具有不同运行时间分布指数的多尺度Lévy行走都是有效的.
2019-07-04 cond-mat.stat-mech
Universality of order statistics for Brownian reshuffling
AGH University（亚捷隆大学）；University of Melbourne（墨尔本大学）
研究一维布朗运动粒子在趋向无穷大的势场中，证明领导者的重排过程与γ无关，但重排时间尺度依赖于γ，且生成函数在缩放时间下独立于γ。
2026-09-01 cond-mat.stat-mech
On the stochastic thermodynamics of fractional Brownian motion
本文研究了具有反常扩散的非平衡高斯过程的随机热力学。在所考虑的系统中，噪声关联函数不一定与摩擦有关。因此，不存在第二类的常规波动耗散关系（FDR），也不存在定义温度的唯一方式。我们从一个马尔可夫过程与时间相关的扩散（一个例子是缩放布朗运动）。事实证明，标准的随机热力学概念可以通过引入随时间变化的温度而直接应用，从而产生积分涨落关系。然后，我们继续讨论我们的焦点系统，即一个经历分数布朗运动（FBM）的粒子。在这个系统中，噪声是高斯的，但是噪声关联函数在时间上是非局部的，定义了非马尔可夫过程。我们详细分析的后果时，使用的常规概念的随机热力学与恒定的介质温度。特别是，从耗散到介质中计算的热量与向前和向后运动的路径概率的对数比不同，如果后者是通过系统熵和热交换定义的，则产生与总熵产生的标准积分波动关系的偏差。这些明显的不一致可以通过正式定义满足广义FDR的时间非局部温度来规避。为了阐明从后一种方法产生的相当抽象的量，我们进行了微扰展开。这使我们能够解析计算，线性阶，广义温度和相应的热交换。由此，我们给出了由非马尔可夫性引起的主导修正的显式表达式和物理解释。
2022-12-02 cond-mat.stat-mech
Ergodic properties of functionals of Gaussian processes
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
研究广义正随机函数的一阶二阶矩及其在平稳随机游走中的遍历性，推导半占时和区间占时的精确解析表达式，并扩展至分数布朗运动，建立占时概率密度的标度形式。
2026-04-17 cond-mat.stat-mech
Age-structured hydrodynamics of ensembles of anomalously diffusing particles with renewal resetting
Racah Institute of Physics, Hebrew University of Jerusalem（拉卡赫物理研究所，耶路撒冷希伯来大学）
本文发展了描述大量异常扩散粒子在随机刷新重置下集体行为的年龄结构流体动力学理论，分析了三种重置协议下的稳态密度，发现不同模型下稳态密度特征各异。
2026-03-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Active Brownian Motion with Directional Reversals
具有间歇性方向反转的主动布朗运动在一类细菌如{ \it黄色粘球菌}和{ \it恶臭假单胞菌}中是常见的。我们表明，对于这样的运动在二维中，存在的两个时间尺度设置的旋转扩散常数$D_R$和反转率$γ$引起四个不同的动力学制度：（I）$t\ll \min (γ^{-1}, D_R^{-1}),$（II）$γ^{-1}\ll t\ll D_R^{-1}$，（III）$D_R^{-1} \ll t \ll γ^{-1}$，和（IV）$t\gg \max (γ^{-1}$，$D_R^{-1})$，表现出不同的行为。我们通过分析计算位置分布和持久性指数来描述这些行为。位置分布示出了从短时间的强非扩散和各向异性行为经由中间状态（II）或（III）到扩散各向同性行为的交叉。在区域（II）中，我们证明了，沿与初始取向正交的方向的位置分布是具有非平凡标度函数$f(z)=(2π^3)^{-1/2}Γ(1/4+iz)Γ(1/4-iz)$的标度变量$z\propto x_{\perp}/t$的函数。此外，通过计算精确的首次通过时间分布，我们表明，一个新的持久性指数$α=1$出现由于在这个政权的方向反转。
2021-07-14 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
Emulating microbial run-and-tumble and tactic motion by stochastically reorienting synthetic active Brownian particles
Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）；The Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国家研究所）
本研究提出随机取向重置协议，通过重置锥角宽度和速率调控，使活性布朗粒子模拟大肠杆菌奔跑-翻滚及趋化运动，并经实验、模拟和理论验证其广泛速度范围内的鲁棒性。
2025-09-26 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech physics.app-ph
Geometric Brownian information engine with finite cycle time: Optimisation of output work, power and efficiency
本文研究有限循环时间对几何布朗信息引擎性能的影响，发现最优反馈位置与测量距离关系随循环时间变化，长循环时反馈位置为测量距离两倍时功和效率最高。
2025-06-19 cond-mat.stat-mech
Non-intersecting Brownian walkers and Yang-Mills theory on the sphere
研究了线段[0，L]上N个互不相交的布朗运动的系统在周期、吸收和反射边界条件下的运动.我们证明了这三种模型中布朗运动的归一化重聚概率分别可以映射到球上二维连续体Yang-Mills理论的配分函数，其规范群分别为U（N），Sp（2N）和SO（2N）.结果表明，在每一种布朗运动模型中，当系统尺寸L变化时，在大N极限下，在临界值L=L_c（N）\sim \sqrt{N}处发生三级相变.在临界点附近，适当居中和缩放的团聚概率与描述随机矩阵的最大特征值的概率分布的Tracy-Widom分布相同。对于周期情形，我们得到了对应于GUE随机矩阵的Tracy-Widom分布，而对于吸收和反射情形，我们得到了对应于GOE随机矩阵的Tracy-Widom分布。在吸收的情况下，团聚概率也被确定为N个不相交的布朗游览（“西瓜”与墙）的最大高度，其分布在渐近标度极限，然后描述由GOE Tracy-Widom定律。此外，还计算了最大高度的大偏差公式。
2011-05-30 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Phase transitions in sampling and error correction in local Brownian circuits
本文将局部 Brownian 电路的平均量动力学映射为副本空间有效 Hamilton 量的虚时演化，揭示反集中、经典算法困难性、噪声下线性交叉熵及量子纠错中的多种相变与时间标度。
2023-07-28 cond-mat.stat-mech quant-ph
Ergodicity Breaking and Localization
研究了非Poisson更新事件（NPR）产生α < 1的连续时间随机游走（CTRW）和Hurst系数H不等于0.5的两个不同生成元（一个生成分数布朗运动（FBM），另一个生成标度布朗运动（SBM））的联合作用.我们讨论的遍历性打破出现这些联合行动，我们发现，在这两种情况下，通过时间平均导致本地化。在NPR和SBM共同作用的情况下，当SBM产生亚扩散时，局部化发生。相反，当FBM作为超扩散源时，NPR和FBM的共同作用可能导致局部化。我们认为，第二个效果可能需要一个完善的理论观点决定论和随机性。
2016-07-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Anomalous Dynamics of Superparamagnetic Colloidal Microrobots with Tailored Statistics
University College London（伦敦大学学院）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）；London Mathematical Laboratory（伦敦数学实验室）
本研究展示了具有完全可定制随机动力学的超顺磁胶体微型机器人，通过磁场调节步长分布和速度自相关函数，实现了从亚扩散到超扩散的整个反常扩散频谱，为可编程微型机器人系统复制自然界最优随机导航策略铺平了道路。
2025-11-05 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math-ph
Brownian Dynamics Studies on DNA Gel Electrophoresis. I. Numerical Method and Quasi-Periodic Behavior of Elongation-Contraction Motions
用布朗动力学（BD）模拟方法研究了DNA分子在恒场凝胶电泳（CFGE）过程中的动力学行为。该方法通过硬球的电解质珠链在三维（3D）空间中模拟DNA的电泳。在约束每对粘结珠的间距小于某一固定值的条件下，并考虑排除体积效应，采用拉格朗日乘子法求解了粘结珠的朗之万运动方程。所得的迁移率，$μ$，作为电场的函数，符合令人满意的相应的实验结果，一旦时间，长度和场的模拟是适当的缩放。在相对较强的磁场中，在链动力学中发现了准周期行为，并通过长主轴半径$R_l(t)$的时间演化来检验。发现$R_l(t)$中峰的平均宽度或链的一个伸长-收缩过程的周期与链中珠粒的数目$M$成比例，而对于大的$M$，两个这样的相邻峰之间的平均周期与$M^0$成比例。这些结果，结合观察到的链在每个拉伸-收缩运动中向场方向移动的距离与$M$成比例，产生$μ\propto M^0$。这解释了为什么CFGE不能根据DNA的大小分离大$L$的$L (\propto M)$。
2001-11-07 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
Time-fractional Caputo derivative versus other integro-differential operators in generalized Fokker-Planck and generalized Langevin equations
本文比较广义 Fokker-Planck 与 Langevin 方程中的多种积分-微分算子，通过矩、时间平均 MSD 和自协方差分析，指出指数核与 Mittag-Leffler 核算子不适用于相关扩散情形。
2023-08-15 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
