广义线性群GL(n,C)的特征分解
Character factorizations for representations of GL(n,C)
AI总结：
本文通过韦伊尔群内的组合抵消论证，给出了普拉萨德定理的另一种证明，该定理与李特伍德-理查森定理等价，计算了广义线性群GL(mn,C)在对角元素上的特征。
摘要：
我们给出了D.普拉萨德定理的另一种证明，该定理也是李特伍德-理查森定理的经典结果。对于整数m,n≥2，该结果计算了GL(mn,C)的不可约表示在对角元素上的特征，其中这些元素的特征值为ω^{j-1}_n t_i，其中ω_n=e^{2πi/n}，并将该特征表示为某些GL(m,C)特征在\underline{t}^n=diag(t_1^n,t_2^n,…,t_m^n)处的乘积。与以往依赖行列式恒等式的方法不同，我们的证明利用了韦伊尔群内的直接组合抵消论证。
英文摘要：
We give another proof of a theorem of D. Prasad (Theorem 2, \textit{Israel J. Math.} 2016), which is also a classical result of Littlewood--Richardson (Theorem VI, \textit{Q. J. Math.} 1934). For integers $m,n \ge 2$, this result calculates the character of an irreducible representation of $\GL(mn,\C)$ at diagonal elements with eigenvalues $ω^{j-1}_nt_i$ for $1 \le i \le m$, $1 \le j \le n$, where $ω_n=e^{2π\imath/n}$, expressing it as a product of certain characters for $\GL(m,\C)$ evaluated at $\underline{t}^n={\rm diag}(t_1^{n},t_{2}^{n},\dots,t_{m}^{n})$. Unlike previous approaches that rely on determinantal identities, our proof utilizes a direct combinatorial cancellation argument within the Weyl group.
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