arXiv 2209.084512022-09-18math.COmath.MG

周期平铺猜想的一个反例（公告）

A counterexample to the periodic tiling conjecture (announcement)

Rachel Greenfeld, Terence Tao

摘要：

周期性平铺猜想断言，格$\mathbb{Z^d}$的任何有限子集通过平移平铺该格，实际上是周期性地平铺。我们在这里宣布这个猜想的反证足够大的$d$，这也意味着相应的猜想为欧几里得空间$\mathbb{R^d}$反证。事实上，我们也得到了一个反例在一个群的形式$\mathbb{Z^2} \times G_0$的某些有限交换$G_0$。我们的方法依赖于编码的“$p$ -adically结构的功能”在某些函数方程的某一类。

英文摘要：

The periodic tiling conjecture asserts that any finite subset of a lattice $\mathbb{Z^d}$ which tiles that lattice by translations, in fact tiles periodically. We announce here a disproof of this conjecture for sufficiently large $d$, which also implies a disproof of the corresponding conjecture for Euclidean spaces $\mathbb{R^d}$. In fact, we also obtain a counterexample in a group of the form $\mathbb{Z^2} \times G_0$ for some finite abelian $G_0$. Our methods rely on encoding a certain class of "$p$-adically structured functions" in terms of certain functional equations.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

周期平铺猜想的一个反例

A counterexample to the periodic tiling conjecture

本文通过构造可编码为单一平铺方程的非周期“数独谜题”，在高维格及 $\mathbb{Z}^2 \times G_0$ 群中给出反例，否定周期平铺猜想，并推出欧几里得空间对应猜想不成立。

2024-09-08math.COmath.DS

关于具有全仿射跨度的非凸窗口的尼瓦特猜想的一个反例

A Counterexample to Nivat's Conjecture for a Non-Convex Window of Full Affine Span

构造基数为8且具全仿射跨度的精确簇$F$及$F$-平铺$T$，给出非凸窗口尼瓦特猜想的非退化反例否定卡里和穆托问题；还证明基数为质数平方的$F$的$F$-平铺轨道闭包有1-周期平铺，表明少于8个单元簇一般无此现象。

2026-07-21math.CO

函数平铺与Coven-Meyerowitz平铺条件

Functional tilings and the Coven-Meyerowitz tiling conditions

本文研究函数平铺，证明Coven-Meyerowitz平铺条件在函数松弛下不必然成立，为未来构造平铺反例提供潜在方向。

2025-09-12math.APmath.CO

Fuglede猜想在$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^4$中的一个反例

A counterexample to Fuglede's conjecture in $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^4$ for all odd primes

在这个简短的说明中，我们构造了一个谱的，非平铺集的大小$2p$在$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^4$，$p$奇素数。这个例子补充了[arXiv：1509.01090]中的一个反例，该反例只针对$p \equiv 3 \pmod{4}$。相反，我们证明了该猜想在$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4$中成立.

2019-04-29math.CAmath.CO

$\mathbb{Z}^d$中平移拼接的结构

The structure of translational tilings in $\mathbb{Z}^d$

我们得到了$\mathbb{Z}^d$中周期函数平移平铺的有限平铺结构结果。特别是，我们表明，任何一级平铺的周期性设置在$\mathbb{Z}^2$必须是弱周期性的（不相交的工会的集合，是单独的周期性在一个方向），但提出了一个反例的更高级别的平铺的$\mathbb{Z}^2$，未能弱周期性。我们还建立了一个定量版本的二维周期瓷砖猜想断言，任何有限的瓷砖在$\mathbb{Z}^2$承认瓷砖，必须承认一个周期性的瓷砖，通过提供一个多项式的限制期间，这也给出了一个指数型的限制的计算复杂性的问题，决定是否一个给定的有限子集的$\mathbb{Z}^2$瓷砖或没有。作为我们的结构理论的副产品，我们还获得了一个明确的公式，一个普遍的周期为所有平铺的一维瓷砖。

2021-09-23math.CAmath.COmath.DS

有限域上的分块集和谱集

Tiling sets and spectral sets over finite fields

我们研究了素域上向量空间中的平铺和谱集。局部紧阿贝尔群中的经典Fuglede猜想说，一个集合是谱的当且仅当它通过平移而平铺。这个猜想被T.陶在5维及更高维的欧几里得空间中，使用素数域上的构造（在素数阶的有限域上的向量空间中）并将它们提升到欧几里得设置。在素域上，当向量空间的维数小于或等于$2$时，最近已证明Fuglede猜想成立（见\cite{IMP15}）。本文在素域上的高维空间中研究了这一问题，给出了一些结果和反例。特别地，我们证明了不平铺在$\mathbb{Z}_p^5$的所有奇素数$p$和$\mathbb{Z}_p^4$的所有奇素数$p$，使$p \equiv 3 \text{ mod } 4$的谱集的存在性。虽然循环环$\mathbb{Z}_n$上的低维群中的反例以前是已知的，但它们通常是针对非素数$n$或一个小的、零星的素数集$p$，而不是一般的构造。这篇论文是2015年夏天由A. Iosevich，J. Pakianathan和G.佩特里迪斯

2015-09-03math.CAmath.COmath.NT

更多相关论文收起更多论文

七维Keller立方拼接猜想的求解

Towards Resolving Keller's Cube Tiling Conjecture in Dimension Seven

$\mathbb{R}^d$的立方体平铺是成对不相交立方体$[0,1)^d+T=\{[0,1)^d+t\colon t\in T\}$的族，使得$\bigcup_{t\in T}([0,1)^d+t)=\mathbb{R}^d$。两个立方体$[0,1)^d+t$、$[0,1)^d+s$被称为孪生对，如果对于某些$j\in [d]=\{1,\ldots, d\}$为$|t_j-s_j|=1$，而对于每个$i\in [d]\setminus \{j\}$为$t_i=s_i$。在$1930$中，Keller证明了在$\mathbb{R}^d$的每个立方体镶嵌中都有一个孪生对。Keller猜想对$d\leq 6$维成立，对所有$d\geq 8$维成立。对于$d=7$，猜想仍然是开放的。令$x\in \mathbb{R}^d$、$i\in [d]$和$L(T,x,i)$为矢量$t\in T$的所有$i$第一坐标$t_i$的集合，使得$([0,1)^d+t)\cap ([0,1]^d+x)\neq \emptyset$和$t_i\leq x_i$。设$r^-(T)=\min_{x\in \mathbb{R}^d}\; \max_{1\leq i\leq d}|L(T,x,i)|$和$r^+(T)=\max_{x\in \mathbb{R}^d}\; \max_{1\leq i\leq d}|L…

2017-01-25math.COmath.MG

连通集的平铺、谱性与非周期性

Tiling, spectrality and aperiodicity of connected sets

本文研究了连通集的周期平铺猜想和Fuglede猜想，证明了在足够高的维度下这两个猜想对于连通集均不成立。

2024-11-13math.CAmath.CO

Stanley关于二聚体覆盖猜想的反例

Counterexamples to Stanley's conjecture on dimer coverings

Nanjing University（南京大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）

通过构造三角代数单位间的乘法恒等式，证明了Stanley关于二聚体覆盖生成函数分母多项式仅有单根的猜想在k=13时首次失效。

2026-05-27math.CO

锁定多联骨牌铺砌

Locked Polyomino Tilings

Yale University（耶鲁大学）

该研究构造了t≥3的锁定t联骨牌铺砌，证明了任意大有限正方形网格上3、4联骨牌及无限网格上任意大t的锁定铺砌存在，还给出加权网格的相关构造，为ReCom选区重划算法的不可约性猜想提供反例。

2026-10-23cs.DMmath.CO

刚性多形盒与Keller猜想

Rigid polyboxes and Keller's conjecture

R^d的立方体平铺是一族成对不相交的立方体$[0,1)^d+T=\{[0,1)^d+t:t\in T\}$，使得$\bigcup_{t\in T}([0,1)^d+t)=R^d$。如果两个立方体$[0,1)^d+t$、$[0,1)^d+s$的闭包有一个共同的完整刻面，也就是说，如果$|t_j-s_j|=1$对某些$j\in [d]=\{1,..., d\}$，而$t_i=s_i$对每个$i\in [d]\setminus \{j\}$，则称它们为孪生对。在1930年，凯勒证明了在R^d的每个立方体镶嵌中都有一对孪生子。凯勒猜想对$d\leq 6$维成立，对所有$d\geq 8$维成立。对于$d=7$，猜想仍然是开放的。令$x\in R^d$，$i\in [d]$，并且令L（T，x，i）是矢量$t\in T$的所有$i$坐标$t_i$的集合，使得$([0,1)^d+t)\cap ([0,1]^d+x)\neq \emptyset$和$t_i\leq x_i$。设$r^-(T)=\min_{x\in R^d}\; \max_{1\leq i\leq d}|L(T,x,i)|$和$r^+(T)=\max_{x\in R^d}\; \max_{1\leq i\leq d}|L(T,x,i)|$。已知Keller猜想在7维中对正方体镶嵌$[0,1)^7+T$成立，其中$r^-(T)\leq …

2014-12-29math.COmath.MG

并非所有的自由安排都是$K(π,1)$

Not all free arrangements are $K(π,1)$

我们生产一个单参数家庭的超平面安排，是反例的猜想斋藤，一个自由的安排复杂的补充是$K(π,1)$。这些安排是限制的一个参数家庭的安排，出现在研究平铺的某些中心对称的八角形。这个家庭也在讨论中。

1995-01-01math.ATmath.CO

关于正则事件结构的Thiagarajan猜想的一个反例

A counterexample to Thiagarajan's conjecture on regular event structures

我们提供了一个反例Thiagarajan（1996年和2002年）的猜想，规则的事件结构完全对应的事件结构作为有限1-安全Petri网的展开。同样的反例被用来反驳Badouel，Darondeau，and Raoult（1999）的一个密切相关的猜想，即具有有界$\natural$ -团的正则事件结构的域是有限迹自动机可识别的。事件结构、跟踪自动机和Petri网是并发理论的基本模型。这些结构作为组合和几何对象存在着很好的解释。也就是说，从图论的角度来看，素事件结构的域正好对应于中值图;从几何的角度来看，这些域与CAT（0）立方体复形是双射的。这两个假设成立的必要条件是正则事件结构的域（具有有界$\natural$ -团）允许正则nice标签。为了反驳这些假设，我们描述了一个规则的事件域（有界$\natural$ -团），不承认一个定期的好标签。我们的反例来自怀斯（Wise，1996年和2007年）的一个例子，一个非正曲的平方复形，它的泛覆盖是一个CAT（0）平方复形，包含一个具有非周期镶嵌的特定平面。我们证明了Thiagarajan猜想的其他反例来自Kari和Papasoglu（1999）和Lukkarila（2009）的非周期4路确定性瓦片集。在积极的一面，使用Agol（2013）和Haglund and Wise（2008，2012）从几何群论的突破性结果，我们证明了Thiag…

2018-01-18cs.DMcs.FLmath.CO

算术图的着色障碍

Obstructions to coloring arithmetic graphs

Hainan Bielefeld University of Applied Sciences（海南比尔费尔德应用技术大学）

本文证明算术图$B_{205}$的色数为206，否证了彩虹级联猜想，并构造了$B_{211}$的着色界，同时给出相关猜想的有限图反例。

2026-09-15math.CO

关于七维空间中的凯勒猜想

On Keller's conjecture in dimension seven

$\mathbb{R}^d$的立方体平铺是成对不相交立方体$[0,1)^d+T=\{[0,1)^d+t:t\in T\}$的族，使得$\bigcup_{t\in T}([0,1)^d+t)=\mathbb{R}^d$。两个立方体$[0,1)^d+t$、$[0,1)^d+s$被称为孪生对，如果对于某些$j\in [d]=\{1,\ldots, d\}$为$|t_j-s_j|=1$，而对于每个$i\in [d]\setminus \{j\}$为$t_i=s_i$。在$1930$中，Keller推测$\mathbb{R}^d$的每个立方体瓦片中都有一对孪生子。Keller猜想对$d\leq 6$维成立，对所有$d\geq 8$维成立。对于$d=7$，猜想仍然是开放的。令$x\in \mathbb{R}^d$、$i\in [d]$和$L(T,x,i)$为矢量$t\in T$的所有$i$第一坐标$t_i$的集合，使得$([0,1)^d+t)\cap ([0,1]^d+x)\neq \emptyset$和$t_i\leq x_i$。已知如果$|L(T,x,i)|\leq 2$对于某些$x\in \mathbb{R}^7$和每个$i\in [7]$或$|L(T,x,i)|\geq 6$对于某些$x\in \mathbb{R}^7$和$i\in [7]$，则Keller猜想对于$d=7$成立。在本…

2014-05-23math.COmath.MG

关于$t$ -adic Littlewood猜想

On the $t$-adic Littlewood Conjecture

由De Mathan和Teulié提出的$p$ -adic Littlewood猜想断言，对于任何素数$p$和任何实数$α$，等式$$\inf_{|m|\ge 1} |m|\cdot |m|_p\cdot |\langle mα\rangle|\, =\, 0 $$成立。这里，$|m|$是整数$m$的通常绝对值，$|m|_p$是其$p$ -adic绝对值，而$ |\langle x\rangle|$表示从实数$x$到整数集的距离。这个仍然开放的猜想是著名的Littlewood猜想的一个变体。以与后者相同的方式，它在基场$\mathbb{K}$的形式洛朗级数$\mathbb{K}\left(\left(t^{-1}\right)\right)$的域上存在一个自然对应物。这就是所谓的\emph{$t$-adic Littlewood Conjecture}（$t$ -LC）。已知当接地场$\mathbb{K}$无限大时，$t$-LC失效。这篇文章关注的是更困难的情况下，后者领域是有限的。更确切地说，我们给出了一个\emph{fully explicit}反例，证明了当$\mathbb{K}$是特征为3的有限域时，$t$ -LC不成立.还讨论了具有不同于3的特征的场的推广。证明是计算机辅助的。它减少到显示，一个无限矩阵编码的Hankel行列式的纸折叠序列在$\mathbb{F}_3$，所…

2020-10-11cs.DMcs.FLmath.CO