A Tiling Proof of Binomial Identities related to the Lucas cube
利用Lagarias和Shor构造的$\mathbb{R}^n$的立方体平铺，给出了与Lucas立方体有关的三个著名的二项式恒等式的平铺证明.
2014-02-27 math.CO
On Keller's conjecture in dimension seven
$\mathbb{R}^d$的立方体平铺是成对不相交立方体$[0,1)^d+T=\{[0,1)^d+t:t\in T\}$的族，使得$\bigcup_{t\in T}([0,1)^d+t)=\mathbb{R}^d$。两个立方体$[0,1)^d+t$、$[0,1)^d+s$被称为孪生对，如果对于某些$j\in [d]=\{1,\ldots, d\}$为$|t_j-s_j|=1$，而对于每个$i\in [d]\setminus \{j\}$为$t_i=s_i$。在$1930$中，Keller推测$\mathbb{R}^d$的每个立方体瓦片中都有一对孪生子。Keller猜想对$d\leq 6$维成立，对所有$d\geq 8$维成立。对于$d=7$，猜想仍然是开放的。令$x\in \mathbb{R}^d$、$i\in [d]$和$L(T,x,i)$为矢量$t\in T$的所有$i$第一坐标$t_i$的集合，使得$([0,1)^d+t)\cap ([0,1]^d+x)\neq \emptyset$和$t_i\leq x_i$。已知如果$|L(T,x,i)|\leq 2$对于某些$x\in \mathbb{R}^7$和每个$i\in [7]$或$|L(T,x,i)|\geq 6$对于某些$x\in \mathbb{R}^7$和$i\in [7]$，则Keller猜想对于$d=7$成立。在本…
2014-05-23 math.CO math.MG
On the structure of cube tiling codes
令$S$是任意对象的集合，令$S^d=\{v_1...v_d\colon v_i\in S\}$。多盒码是一个集合$V\subset S^d$，它具有这样的性质，即对于每两个字$v,w\in V$，有一个$i\in [d]$和$v_i'=w_i$，其中$S$的置换$s\mapsto s'$使得$s''=(s')'=s$和$s'\neq s$。如果是$|V|=2^d$，则$V$称为立方体平铺代码。立方体平铺代码确定$2$-$\mathbb{R}^d$的周期性立方体平铺，或者等效地，通过单位立方体的平移以及$r$ -最大度量中的$\mathbb{Z}^d_{4r+2}$中的完美代码来确定平坦环面$\mathbb{T}^d=\{(x_1,\ldots ,x_d)({\rm mod} 2):(x_1,\ldots ,x_d)\in \mathbb{R}^d\}$的平铺。根据结构化结果，列举了$d=4$的立方体镶嵌代码。计算出在4维上有27，385个非同构的立方体镶嵌码，这些码的总数等于17，794，836，080，455，680。此外，还给出了从立方体镶嵌代码传递到$d\leq 5$维度的立方体镶嵌代码的一些过程。
2018-05-20 math.CO
Polyboxes, cube tilings and rigidity
X = X_1 x.的非空子集A。x X_d是一个（真）盒，如果A = A_1 x. x A_d和A_i是X_i的（真）子集.假设对于每一对盒子A、B和每一个i，人们只能知道三种状态中的哪一种发生：A_i = B_i，A_i = X_i \setminus B_i，A_i不同于集合B_i，X_i \setminus B_i中的每一个。设F和G是两个不相交的盒子系统。人们能决定他们的工会是否平等吗？一般来说，答案是否定的，但如论文所示，如果两个系统都由成对的二分盒组成，答案是肯定的。几个标准，使比较这样的系统收集。本文还包括刚性结果，它指出必须对F施加什么样的假设以确保\bigcup F = \bigcup G蕴涵F = G。作为应用，证明了Lagarias和Shor关于2-极值立方体拼接的刚性猜想.
2006-10-23 math.CO math.MG
Discrete Extremal Length and Cube Tilings in Finite Dimensions
极值长度是一个共形不变量，它自然地转移到离散设置，使正方形平铺作为共形映射的自然组合模拟。最近的工作S。Hersonsky探索了将这些想法推广到三维立方体平铺。离散极值长度和立方体平铺之间的联系在维度跳跃中幸存下来，但需要一个称为三重相交性质的条件来推广存在性参数。我们表明，这个条件是太强，实现平铺，从而表明，离散的共形映射是更有限的三维，反映了经典的现象。推广了三维以上离散极值长度的相关结果，并引入了立方镶嵌的一些必要条件。
2014-09-26 math.CO math.CV math.DG
The Resolution of Keller's Conjecture
本文通过将7维Keller猜想中128规模团的存在性编码为命题公式，并结合SAT求解与对称性破缺，证明相关图中不存在该团，从而完全解决了Keller猜想。
2023-04-17 cs.DM cs.LO math.CO
Applications of Three Dimensional Extremal Length, I: Tiling of a Topological Cube
给定一个封闭的拓扑立方体的三角剖分，我们表明（在某些技术条件下）有一个基本上是唯一的平铺矩形平行六面体立方体，索引的顶点的三角剖分。此外，i -组合学被保留，ii-边界被保留：对应于长方体的角的立方体的顶点在拓扑立方体的角。此外，立方体的大小作为一个变分问题的解决方案，这是一个离散版本的概念，极值长度在三维欧几里得空间。
2011-05-11 math.CO math.GT
Tromino Tiling Deficient Cubes of Any Side Length
我们表明，任何大小的三维立方体可以平铺与trominoes，必要时，在任何位置的一个或两个单例。边长为3的倍数的立方体总是可以用特罗米诺（已知）平铺，边长等于1 mod 3的立方体总是可以用任意单个立方体和特罗米诺平铺，边长等于2 mod 3的立方体总是可以用任意位置的两个单个立方体和特罗米诺平铺。
2008-06-03 math.CO math.GM
A general inequality for packings of boxes
研究了Keller填料和盒子的平铺。证明了度量这类系统复杂性的一般不等式。一个简单的应用单位立方体平铺。
2018-04-20 math.CO
On Cube Tilings of Tori and Classification of Perfect Codes in the Maximum Metric
我们描述了n维q元环面的奇长立方镶嵌，其中包括R^n的q周期整数格镶嵌。在编码理论的语言中，这些平铺对应于关于最大度量的完美码。一个完整的表征的二维分蘖，并在线性的情况下，一般矩阵，同构和同构类的描述。导出了几种由较小维数的码或通孔截面的码构造完美码的方法。本文引入了一种特殊类型的矩阵（完美矩阵），它对应于任意维线性完美码的生成矩阵。对于最大完美码，参数化得到允许描述同构类这样的代码。我们还探讨了什么样的同构类的阿贝尔群可以表示的q元n维完美码的基数N。
2016-01-14 math.CO
The Coin Exchange Problem and the Structure of Cube Tilings
令k_1，...，k_d是正整数，D是[k_1]x.的子集。x[k_d]，其补可以分解成形式为{x_1}x.. x{ x_{s-1} }x[k_s]x{ x_{s+1} }x. x{x_d}。我们猜想D的元素数可以表示为数k_1，.，..的线性组合，k_d具有非负整数系数。揭示了这一猜想与周期立方体镶嵌结构的联系。
2008-07-06 math.CO math.NT
Tilings of $(2\times2\times n)$-board with colored cubes and bricks
有几篇文章讨论了在二维棋盘上用方块和多米诺骨牌进行平铺，但只有少数文章讨论了在三维空间中的棋盘。本文研究了三维空间中$(2\times2\times n)$ -板的彩色立方体和砖块的平铺问题.在简短的介绍和可破性的定义之后，我们展示了一种方法来获得考虑$(n-1)$ -长板的$n$ -长板的平铺数。它递归地描述了可能的可破和不可破平铺的数量。最后，利用可破性给出了递归的一些恒等式。这种确定空间递归式的方法在数学教育中也是有用的。
2019-09-25 math.CO math.GT math.NT
Alternating links, rational balls, and cube tilings
针对沿交错链环分支的三维球面二重覆叠的有理同调球边界问题，提出棋盘格点立方遍在性充要猜想，证明归一化行列式为1的情形，并将结果推广至缎带配边与协和性研究。
2023-07-25 math.CO math.GT
Cube packings, second moment and holes
通过对$4\ZZ^d$ -周期立方体$[0,2[^d$的积分平移，我们考虑了$\RR^d$的平铺和填充.这种立方体填充可以用关联图的团来描述，这允许我们在维度$d\leq 4$中对它们进行分类。对于更高的维度，我们使用随机方法来生成一些例子。如果我们不能在填充的补中插入立方体，则这样的立方体填充被称为{ \em不可扩展}。在3维空间中，有一个独特的不可扩展的立方体包装与4立方体。证明了含有多个$2^d-3$立方体的$d$ -维立方体填充可以推广到立方体镶嵌.我们还给出了不可扩张立方体填充的立方体个数PDMATHAMT的一个下界。给定这样的立方体填充和$z\in \ZZ^d$，我们用$N_z$表示$\4t$ -立方体$z+[0,4[^d$内的立方体的数量，并将{ \em二阶矩}称为$N_z^2$的平均值。证明了立方体的正则镶嵌具有最大二阶矩，并给出了立方体堆积的二阶矩的一个下界。
2005-09-05 math.CO
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
The Multidimensional Cube Recurrence
我们介绍了一种递归，我们称之为多维立方体递归，推广的八面体递归研究Propp，福明和Zelevinsky，施派尔，福克和Goncharov和三维立方体递归研究福明和Zelevinsky，卡罗尔和施派尔。该递归的状态由菱形多边形的平铺索引，递归中的变量由这些平铺的顶点索引。我们通过执行基本翻转从递归的一个状态移动到另一个状态。我们发现，复发的值是独立的顺序，我们执行翻转，这个证明涉及到非平凡的组合结果菱形平铺可能是独立的兴趣。然后，我们表明，多维立方体递归表现出洛朗现象-任何变量是由一个洛朗多项式在其他变量。我们认识到一个特殊的情况下，多维立方体递归给出明确的方程各向同性格拉斯曼IG（n-1，2n）。最后，我们描述了一个热带版本的多维立方体递归，并表明，像热带八面体递归，它传播某些线性不等式。
2009-09-23 math.AG math.CO
Tiling $R^{5}$ by Crosses
一个$n$ -维交叉包括$2n+1$单位立方体：中心立方体和在其所有面的反射.众所周知，有一个平铺的$R^{n}$的交叉为所有$n.$ AlBdaiwi和第一作者证明，如果$2n+1$不是一个素数，然后有$2^{\aleph_{0}}$ \非全等定期（=面对面）平铺的$R^{n}$的交叉，而有一个独特的平铺的$R^{n}$的交叉为$n=2,3$。他们指出，如果$2n+1$是素数，情况总是如此。为了支持这一猜想，我们证明在本文中，也为$R^{5}$有一个独特的定期，没有不定期，平铺的十字架。因此，$R^{3}$通过杂交有唯一的平铺，$R^{4},$有$2^{\aleph_{0}}$平铺，但对于$R^{5}$，仍然只有一个通过杂交的平铺。我们猜测这个结果与我们的直觉相反，即“空间的维度越高，我们获得的自由越多”。
2014-09-16 cs.IT math.CO math.IT
Cube moves for $s$-embeddings and $α$-realizations
本文证明 $s$-嵌入中立方体移动的存在唯一性，给出共轭 Ising 星-三角变换的新耦合常数公式，并推广至 $α$-嵌入以统一调和嵌入与 $s$-嵌入。
2021-10-04 math-ph math.CO math.MG
The minimum surface area of $k$ unequal boxes tiling a cube: sharp thresholds, a fault-free law, and a reduction to two dimensions
研究用\(k\)个不等盒子平铺立方体的最小表面积问题，通过确定\(k = 6\)时的情况及规律，利用无故障定律、降维定理和加倍定律等方法，得到相关结果并给出特定区域无需计算机的证明。
2026-07-20 math.CO
A Strongly Aperiodic Monotile in Three Dimensions
本研究提出三维强非周期单瓦片 Chair44，通过形状特征强制非周期性，证明其平铺无平移周期且对称群阶有限，并给出机器验证的严格证明。
2026-09-18 cs.DM math.CO math.MG
The sharp diagonal spectral correlation inequality on the discrete cube
School of Statistics and Data Science, Nankai University（南开大学统计与数据科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group, Institute for Basic Science（基础科学研究院极值组合与概率研究组）；Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学交叉科学研究中心）
证明Friedgut-Kahn-Kalai-Keller提出的尖锐对角谱相关猜想，给出Harris-Kleitman不等式的傅里叶强化，并刻画所有等号情形。
2026-07-01 math.CO math.FA math.PR
