On the structure of isolated singularities for semilinear elliptic equations
本文针对半线性椭圆方程，在特定q范围完成非负解孤立奇点的分类并刻画奇异解渐近行为，改进了前人仅针对径向对称正解的结果，还推导了两类临界情形下解的渐近行为。
2026-08-11 math.AP
Isolated Boundary Singularities of Semilinear Elliptic Equations
给定一个光滑域$Ω\subset\RR^N$使得$0 \in \partialΩ$和给定$\partialΩ$上的一个非负光滑函数$ζ$，研究了$-Δu=u^q$在$Ω$使得$u = ζ$在$\partialΩ\setminus\{0\}$上的正解在0附近的行为.我们证明了如果$\frac{N+1}{N-1} < q < \frac{N+2}{N-2}$，那么$u(x)\leq C \abs{x}^{-\frac{2}{q-1}}$和我们计算的极限$\abs{x}^{\frac{2}{q-1}} u(x)$ $x \to 0$。我们还调查了案例$q= \frac{N+1}{N-1}$。证明依赖于球域上相关方程解的存在唯一性。
2009-07-14 math.AP
Exact behavior around isolated singularity for semilinear elliptic equations with a log-type nonlinearity
研究半线性椭圆型方程\begin{equation*} -Δu=u^α|\log u|^β\quad\text{in }B_1\setminus\{0\}, \end{equation*}，其中$B_1\subset\mathbb{R}^n$与$n\geq 3$，$\frac{n}{n-2} < α< \frac{n+2}{n-2}$和$-\infty<β<\infty$ .我们的主要结果表明，上述方程的非负解$u\in C^2(B_1\setminus\{0\})$要么在原点有可去奇点，要么表现为\begin{equation*} u(x) = A(1+o(1)) |x|^{-\frac{2}{α-1}} \left(\log \frac{1}{|x|}\right)^{-\fracβ{α-1}}\quad\text{as } x\rightarrow 0, \end{equation*} with \begin{equation*} A=\left[\left(\frac{2}{α-1}\right)^{1-β}\left(n-2-\frac{2}{α-1}\right)\right]^{\frac{1}{α-1}}. \end{equation*}
2018-04-12 math.AP
Isolated Singularities for Semilinear Elliptic Systems with Power-Law Nonlinearity
我们研究了具有$1<α\leq\frac{n+2}{n-2}$的系统$-Δ\mathbf{u}=| \mathbf{u}|^{α-1} \mathbf{u}$，其中$ \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_m)$，$m\geq 1$是一个$C^2$非负函数，它在$\mathbb{R}^n$，$n\geq 3$的一个域中产生一个孤立奇点.由于$ \mathbf{u}$的分量的多重性，我们观察到一个新的Pohozaev不变量以外的通常的标量情况下，也是一类新的奇异解提供的新的不变量是非平凡的。结合标量方程的经典理论，我们对整个空间以及穿孔空间上的解进行了分类，并分析了局部解在孤立奇点周围的精确渐近行为.在技术层面上，我们采用了移动球和平衡能量型单调泛函的方法。
2019-03-14 math.AP
The Critical Semilinear Elliptic Equation with Isolated Boundary Singularities II
本文研究半空间中带孤立边界奇点的临界半线性椭圆型方程，解决两个开放问题，建立正对数周期解全局分支，构造集中族并证局部唯一性，其行为与经典内部奇点理论形成鲜明对比。
2026-09-25 math.AP
Behavior rigidity near non-isolated blow-up points for the semilinear heat equation
考虑了具有Sobolev次临界幂非线性项的半线性热方程在$N=2$维上的解，其中$u(x,t)$是在有限时间$T$上爆破的解.给定一个非孤立的爆破点$a$，我们假设解在$(a,T)$附近的泰勒展开服从由某个偶数$m(a)\ge 4$标记的退化情形.如果我们有一个序列$a_n \to a$作为$n\to \infty$，我们表明在坐标改变和提取子序列之后，对于一些$L>0$，%直到提取子序列仍然表示相同的$a_{n,1}-a_1 = o((a_{n,2}-a_2)^2)$或$|a_{n,1}-a_1||a_{n,2}-a_2|^{-β} |\log|a_{n,2}-a_2||^{-α} \to L> 0$，其中，$α$和$β$具有有限数量的有理数值，其中，$β\in(0,2]$和$L$是多项式方程的解，该多项式方程取决于溶液如果是$m(a)=4$，则为$α=0$和$β=3/2$或$β=2$。
2021-03-23 math.AP
Isolated Singularities and Measure Data Problems for Semilinear Equations Driven by Stable Lévy Operators
Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University in Toruń（托伦尼古拉·哥白尼大学数学与计算机科学学院）
该论文研究由稳定Lévy算子驱动的半线性方程的孤立奇点与测度数据问题，证明了穿孔域内正解的性质、Dirichlet问题的临界参数及阈值处解的存在唯一性。
2026-07-31 math.AP
Liouville theorem for a class semilinear elliptic problem on Heisenberg group
对Heisenberg群上的经典半线性次临界椭圆型方程得到了一个完整的Liouville型定理.还证明了孤立奇点附近的逐点估计。证明的灵魂是一个先验的积分估计，这是从Jerison和Lee发现的一个推广公式推导出来的。
2020-11-16 math.AP
Boundary singularities for weak solutions of semilinear elliptic problems
构造了一类半线性椭圆型方程的正弱解，该方程在给定的光滑有界N维区域的边界上在适当的迹意义下为零，但在边界的给定孤立点处为奇.类似的结构进行的解决方案是奇异的任何给定的嵌入子流形的边界。
2007-02-09 math.AP
Pointwise Bounds and Blow-up for Systems of Semilinear Elliptic Inequalities at an Isolated Singularity via Nonlinear Potential Estimates
研究了系统$0\leq -Δu\leq f(v)$ $0\leq -Δv\leq g(u)$在$B_1(0)\backslash\{0\}$中的$C^2$正解$u(x)$和$v(x)$在原点附近的行为，其中$f,g:(0,\infty)\to (0,\infty)$是连续函数.我们在$f$和$g$在$\infty$上提供了最优条件，使得该系统的解在原点附近满足逐点界。在维度$n=2$，我们表明，如果$\log^+ f$或$\log^+g$增长最多线性无穷大，此属性成立。在维数$n\geq 3$中，在假设$f(t)=O(t^λ)$，$g(t)=O(t^σ)$为$t\to \infty$，（$λ, σ\geq 0$）的条件下，得到了一条新的临界曲线，它最优地描述了这种逐点界的存在性.我们的方法部分依赖于尖锐的估计自然出现在这种情况下的非线性潜力。
2014-02-01 math.AP
Asymptotic behavior at isolated singularities for solutions of nonlocal semilinear elliptic systems of inequalities
研究了系统$0\le -Δu \le (\frac{1}{|x|^α}* v)^λ$ $0\le -Δv \le (\frac{1}{|x|^β}* u)^σ$在$B_2(0)\setminus\{0\} \subset R^n$，$n\ge 3$中的$C^2$正解$u(x)$和$v(x)$在原点附近的行为，其中$λ,σ\ge 0$和$α,β\in (0,n)$ .我们的方法用于研究这些解决方案的一个副产品将是结果的起源附近的$L^1(B_1(0))$解决方案$f$和$g$的系统$0 \le f(x) \le C(|x|^{2-α} + \int_{|y|<1}\frac{ g(y) dy}{|x-y|^{α-2}} )^λ$ $0 \le g(x) \le C(|x|^{2-β} + \int_{|y|<1}\frac{ f(y) dy}{|x-y|^{β-2}} )^σ$的$0<|x|<1$，其中$λ,σ\ge 0$和$α, β\in (2,n+2)$。
2015-03-31 math.AP
Entropy instability and rigidity for the exponential semilinear heat equation
Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文利用$F$-泛函和熵研究指数半线性热方程的有界自相似解，证明非常数解熵不稳定且平凡解定量孤立，给出变分不稳定性和刚性定理。
2026-09-29 math.AP
Multi-bump Solutions for a Strongly Indefinite Semilinear Schrödinger Equation Without Symmetry or convexity Assumptions
本文研究了具有周期系数的半线性薛定谔方程：$$-\triangle u +V(x)u=f(x,u), u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}).$$该方程对应的泛函具有强不定结构.非线性项$f(x,t)$满足某些超线性增长条件，并且在$t$中不必是奇数或严格递增的。利用一种新的变分约化方法和推广的莫尔斯理论，证明了该方程有无穷多个几何不等解.此外，如果该方程在某一能级下的解是孤立的，则我们可以证明，对于任何正整数$m\geq 2.$，该方程有无穷多个$m-$凸点解
2008-05-18 math.AP
The balance between diffusion and absorption in semilinear parabolic equations
设$h:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$是连续且非减的，若$t>0$为$h(t)>0$，则$m,q$为正实数。研究了当$Ω\ti (0,T)$中$\prt_{t} u-Δu^m+h(t)u^q=0$的基本解$u=u_{k}$的$k\to\infty$满足$u_{k}(x,0)=kδ_0$时的行为.主要问题是极限是否仍然是上述方程在$(0,0)$处具有孤立奇点的解，或者是相关常微分方程$ u'+h(t)u^q=0$在$t=0$处爆破的解。
2008-05-24 math.AP
Global existence and nonexistence of semilinear wave equation with a new condition
研究具有新条件的半线性波动方程，通过位势井方法建立不变集与真空隔离，证明在初始能量低于或等于临界值时的全局存在性与爆破性。
2021-11-22 math.AP
Precise exponential decay for solutions of semilinear elliptic equations and its effect on the structure of the solution set for a real analytic nonlinearity
我们关心定态薛定谔方程$-Δu + Vu = f(u)$、$u\in H^1(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty(\mathbb{R}^N)$弱解的性质，其中$V$是Hölder连续的，并且是$\inf V>0$。假设$f$是连续的和有界附近的$0$的幂函数的指数大于$1$，我们提供精确的衰减估计在无穷远的解决方案的薛定谔算子的格林函数。在某些情况下，这改善了已知的定理衰减的解决方案。若$f$在$(0,\infty)$上也是实解析的，则得到正解集是局部路径连通的.对于周期势$V$，这意味着标准变分泛函在低能范围内具有离散临界值，并且在附加假设下存在一组紧凑的孤立正解。
2015-03-12 math.AP
Semilinear elliptic equations with Hardy potential and gradient nonlinearity
设$Ω\subset {\mathbb R}^N$（$N \geq 3$）是$C^2$有界域，$δ$是到$\partial Ω$的距离.本文研究方程（E）$-L_μu+ g(|\nabla u|) = 0$在$Ω$中的正解，其中$L_μ=Δ+ \fracμ{δ^2} $，$μ\in (0,\frac{1}{4}]$和$g$是${\mathbb R}_+$上的连续非减函数.证明了当$g$满足奇异积分条件时，在给定的边界点$ν$上存在唯一解。当$g(t)=t^q$与$q \in (1,2)$同时存在时，我们证明了方程（E）有一个临界指数$q_μ$（只依赖于$N$和$μ$）.在亚临界的情况下，即$1<q<q_μ$，我们建立了一些先验估计，并提供了一个描述的解决方案与一个孤立的奇点$\partial Ω$。在超临界的情况下，即$q_μ\leq q<2$，我们证明了可去除性的结果在贝塞尔容量。
2019-03-26 math.AP
Prescribing the center of mass of a multi-soliton solution for a perturbed semilinear wave equation
在一维空间中构造了一类具有孤立特征点的强扰动半线性波动方程的有限时间爆破解。给定任意整数$k\ge 2$和$ζ_0 \in \mathbb{R}$，我们构造了一个具有特征点$a$的爆破解，使得解在$(a,T(a))$附近的渐近行为表现为具有交替符号的$k$孤子的解耦和，其中心（在双曲几何中）始终以$ζ_0$为质心.虽然结果类似于未扰动的情况下，在其声明中，我们的方法是新的。事实上，我们的扰动方程在洛伦兹变换下不是不变的，这需要新的想法。实际上，本文的主要困难在于如何确定质心$ζ_0 \in \mathbb{R}$。我们要指出，我们的方法在未扰动的情况下也是有效的，并且就质心规定而言，简化了Côte和Zaag \cite{CZcpam13}的原始证明。
2019-02-13 math.AP
Blow-up solutions to the semilinear wave equation with a stylized pyramid as a blow-up surface
考虑二维空间中具有次共形幂非线性项的半线性波动方程。我们构造了一个有限时间爆破解，在原点有一个孤立的特征爆破点，爆破曲面以原点为中心，具有一个程式化的金字塔形状，其边缘遵循$R^2$中的轴的平分线。爆破曲面在二分之外是可微的。对于相似变量的渐近性态，解收敛于二等分外的经典一维孤子。在原点外的二等分线上，它收敛（直到一个子序列）到一个真正的二维稳态解，其存在是证明的副产品。在原点处，它的行为类似于两个轴上的4个孤子之和，相邻孤子的符号相反。这是第一个在高维中具有特征点的爆破解的例子，显示了真正的二维行为。此外，原点外的二等分点给了我们爆破曲面不可微的非特征点的第一个例子。
2017-10-06 math.AP
Positive speed of propagation in a semilinear parabolic interface model with unbounded random coefficients
我们考虑一个模型的传播驱动接口通过随机场的障碍。发展方程，通常被称为淬火爱德华-威尔金森模型，是一个半线性抛物型方程与常数驱动项和随机非线性模型的障碍场的影响。对于孤立的障碍物为中心的格点和承认一个随机强度与指数尾巴的情况下，我们表明，界面传播的有限速度足够大的驱动力。证明包括离散化的发展方程和一个上鞅估计类似于分支随机游动的研究。
2011-02-28 math.AP math.PR
The generic gradient-like structure of certain asymptotically autonomous semilinear parabolic equations
考虑渐近自治半线性抛物型方程u_t + Au = f（t，u）.设$f(t,.)\to f^\pm$为$t\to\pm\infty$，其中由\label{eq:140602-1511} u_t + Au = f^ \pm（u）\tag{*}诱导的半流是类梯度流.在一定的假设下，证明了一般地关于扰动$g$与$g(t)\to 0$为$|t|\to\infty$，u_t + Au = f（t，u）+ g（t）的每一个解都是\eqref{eq:140602-1511}的平衡点$e^\pm$与$m(e^-)\geq m(e^+)$的平衡点$e^\pm$之间的联系.此外，如果Morse指数满足$m(e^-) = m(e^+)$，则通过线性化来隔离$u$。
2017-12-13 math.AP math.DS
Moderate solutions of semilinear elliptic equations with Hardy potential
设$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的有界光滑域.研究了方程（E）$-L_μu+ u^q = 0$在$Ω$中的正解，其中$L_μ=Δ+ \fracμ{δ^2}$，$0<μ$，$q>1$和$δ(x)=\mathrm{dist}\,(x,\partialΩ)$ .若方程（E）的正解被PDMATHAMT-调和函数支配，则它是适度的.如果$μ<C_H(Ω)$（$Ω$的Hardy常数），则每个正的$L_μ$ -调和函数都可以通过Martin表示定理表示为$\partialΩ$上的有限测度.然而，任何此类解的经典测度边界迹都为零。本文引入了规范边界迹的概念，利用它得到了次临界情形下（E）的正适度解$1<q<q_{μ,c}$的完全分类. (The临界值仅取决于$N$和$μ$。）对于$q\geq q_{μ,c}$，不存在边界上具有孤立奇点的适度解。对线性算子$L_μ$的正规化边界迹和相应的边值问题也作了详细的讨论。这些结果构成了研究非线性问题的基础。
2014-07-14 math.AP
Point interactions and singular solutions to semilinear elliptic equations
Politecnico di Torino（都灵理工大学）；Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）；Università degli Studi di Napoli “Federico II”（那不勒斯费德里科二世大学）
本文研究了半线性椭圆方程与点相互作用薛定谔方程的联系，通过变分方法证明了奇解的存在性，并在二维情况下表征了正解。
2026-10-14 math-ph math.AP math.MP
Semilinear elliptic equations with Hardy potential and subcritical source term
设$Ω$是$\mathbb{R}^N$和$δ(x)=\text{dist}\,(x,\partial Ω)$中的光滑有界域.设$μ>0$，$ν$是$\partial Ω$和$g \in C(Ω\times \mathbb{R}_+)$上的非负有限测度.本文研究了$$ (P)\qquad -Δu - \fracμ{δ^2} u = g(x,u) \text{ in } Ω, \qquad \text{tr}^*(u)=ν. $$的正解，其中$\text{tr}^*(u)$表示最近由M.马库斯和PT阮我们主要讨论了$0<μ< C_H(Ω)$（$Ω$的Hardy常数）的情形，并给出了（P）解的一些定性性质.当$g(x,u)=u^q$与$q>1$，我们证明了有一个临界值$q^*$（仅取决于$N$，$μ$）的意义下，如果$1<q<q^*$，那么（P）允许一个解决方案下的$ν$的小假设，但如果$q \geq q^*$这个问题不允许任何解决方案与孤立的边界奇异性。存在的结果，然后扩展到一个更一般的设置$g$是亚临界的。我们还研究了$g$是线性或次线性的情况，并给出了（P）的一些存在性结果。
2015-10-27 math.AP
Asymptotic behavior of positive solutions of some nonlinear elliptic equations on cylinders
建立了半圆柱上一类非线性椭圆型方程正解的定量渐近性态。这统一了对Yamabe方程、Hardy-Hénon方程等半线性椭圆型方程的孤立奇点的研究。
2020-10-10 math.AP
Measure boundary value problem for semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials
设$Ω\subset\BBR^N$是有界$C^2$整环，$\CL_\gk=-\Gd-\frac{\gk}{d^2}$是Hardy算子，其中$d=\dist (.,\prt\Gw)$和$0<\gk\leq\frac{1}{4}$ .设$\ga_{\pm}=1\pm\sqrt{1-4\gk}$为两个Hardy指数，$\gl_\gk$为$\CL_\gk$的第一特征值，对应正特征函数$ϕ_\gk$ .若$g$是满足$\int_1^\infty(g(s)+|g(-s)|)s^{-2\frac{2N-2+\ga_+}{2N-4+\ga_+}}ds<\infty$的连续非减函数，则对任意Radon测度$\gn\in \GTM_{ϕ_\gk}(\Gw)$和$\gm\in \GTM(\prt\Gw)$，问题$P_{\gn,\gm}$存在唯一弱解：$\CL_\gk u+g(u)=\gn$ in $\Gw$，$u=\gm$ on $\prt\Gw$ .如果$g(r)=|r|^{q-1}u$（$q>1$），我们证明，在次临界范围内的$q$，一个必要和充分的条件，解决$P_{0,\gm}$与$\gm>0$是$\gm$是绝对连续的有关能力的Besov空间$B^{2-\frac{2+\ga_+}{2q'},q'}(\BBR^{N-1})$。我们还刻画了边界可去集的这种能力。在$q$的亚临界范围内，我们对正解的孤…
2014-10-05 math.AP
The Gevrey class implicit mapping theorem with application to UQ of semilinear elliptic PDEs
本文建立 Gevrey 类隐映射定理，证明残差的 $s$-Gevrey 正则性可推出局部数据到解映射 Fréchet 导数的 $s$-Gevrey 界，并用于半线性椭圆型 PDE 的不确定性量化。
2023-10-02 cs.NA math.AP math.NA
Combining solutions of semilinear partial differential equations in R^n with critical exponent
设$u_1$和$u_2$是方程$Δu + n (n - 2) u^{{n + 2}\over {n - 2}} = 0$在$R^n (n \ge 3).$中的两个不同的正光滑解。根据Gidas，Ni和Nirenberg的结果，$u_1$和$u_2$分别在点$ξ_1$和$ξ_2$上径向对称。令$u$是$R^n$上的正$C^2$ -函数，使得$Ω_1$中的$u = u_1$和$Ω_2$中的$u = u_2$，其中$Ω_1$和$Ω_2$是${\R}^n$中不相交的非空开放结构域。$u$满足$R^n.$中的方程$Δu + n (n - 2) K u^{{n + 2}\over {n - 2}} = 0$。根据Gidas，Ni和Nirenberg的相同结果，$R^n$中的$K \not\equiv 1$。本文讨论了$\displaystyle{\sup_{\R^n} |K - 1|} .$的下界，并考虑了孤立奇点处的Kelvin变换与衰变估计的关系。
2002-02-23 math.AP math.DG
Existence and concentration of semiclassical states for nonlinear Schrodinger equations
本文研究了半线性薛定谔方程$$ -ε^2\triangle u+ u+ V(x)u=f(u),\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}), $$，其中$N\geq 2$和$ε>0$是小参数.函数$V$在$\mathbb{R}^N$，$\inf_{\mathbb{R}^N}(1+V(x))>0$中有界，并且有可能退化孤立临界点.在$f,$上的某些条件下，我们证明了作为$ε\rightarrow 0,$，该方程有一个解集中在$V$的临界点处。
2012-06-22 math.AP
Global existence of the irrotational Euler-Nordström equations with a positive cosmological constant: The gravitational field equation
Universidad Complutense Madrid（马德里康普顿斯大学）；Braude College of Engineering（布劳德工程学院）
本文研究了带有正宇宙学常数的无旋Euler-Nordström方程的全局解存在性，通过能量泛函保证解的光滑性和渐近稳定性。
2026-01-06 math.AP
Well-posedness and exponential stability for abstract evolution equations with delay in the nonlinear source: frictional and viscoelastic cases
Laboratory of Pure and Applied Mathematics, University of Laghouat（拉格瓦特大学纯数学与应用数学实验室）；Department of Mathematics and Computer Science, Faculty of Science and Technology, University of Ghardaia（加达亚大学科学与技术学院数学与计算机科学系）
本文针对含常数时滞的半线性中立型抽象发展方程，在摩擦与粘弹性两种阻尼下，证明了小初始数据解的全局适定性与指数稳定性，并给出统一分析框架及实例。
2026-09-09 math.AP math.OC
