Laguerre β系综对数行列式的边缘中心极限定理
An edge CLT for the log determinant of Laguerre beta ensembles
AI总结：
本文针对尺度化 Laguerre β 系综，在谱上边缘附近建立了对数行列式的中心极限定理，并将结果推广到 LUE 和 LOE 情形，为临界尖峰协方差矩阵检验和球面自旋玻璃自由能分析提供了理论工具。
摘要：
我们对 $\log|\det(M_n-s_n)|$ 得到了一个中心极限定理（CLT），其中 $M_n$ 是一个尺度化的 Laguerre β 系综，$s_n=d_++\sigma_n n^{-2/3}$，$d_+$ 表示 $M_n$ 极限谱的上边缘，$\sigma_n$ 是一个缓慢增长的函数（$\log\log^2 n\ll\sigma_n\ll\log^2 n$）。在 LUE 和 LOE 的特殊情形下，我们证明了该中心极限定理对常数阶的 $\sigma_n$ 也成立。Johnstone、Klochkov、Onatski 和 Pavlyshyn 曾对 Wigner 矩阵证明了类似的结果。得到 Laguerre 矩阵的这类中心极限定理对于临界尖峰样本协方差矩阵的统计检验以及临界温度下二部球面自旋玻璃的自由能都具有重要意义。
英文摘要：
We obtain a CLT for $\log|\det(M_n-s_n)|$ where $M_n$ is a scaled Laguerre $β$ ensemble and $s_n=d_++σ_n n^{-2/3}$ with $d_+$ denoting the upper edge of the limiting spectrum of $M_n$ and $σ_n$ a slowly growing function ($\log\log^2 n\llσ_n\ll\log^2 n$). In the special cases of LUE and LOE, we prove that the CLT also holds for $σ_n$ of constant order. A similar result was proved for Wigner matrices by Johnstone, Klochkov, Onatski, and Pavlyshyn. Obtaining this type of CLT of Laguerre matrices is of interest for statistical testing of critically spiked sample covariance matrices as well as free energy of bipartite spherical spin glasses at critical temperature.
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