The inverse limit topology and profinite descent on Picard groups in $K(n)$-local homotopy theory
本文利用广义 Moore 谱塔证明 $K(n)$-局部模范畴的极限等价，赋予 Picard 群逆极限拓扑，并识别下降谱序列页面，还计算了高度 1 的 Mackey 函子 Picard 群。
2025-04-03 math.AT
Invertible modules for commutative $\mathbb{S}$-algebras with residue fields
本文通过取同伦群，研究交换S-代数上Elmendorf，Kriz，Mandell和May意义下的可逆模在什么条件下产生系数环上可逆分次模的代数Picard群中的元素.若连通交换S-代数R对R * 中的每个极大理想m都有凝聚局部化（R *）m，则对每个可逆R-模U，U * 是可逆分次R *-模.在某些非连通的情形下，如果R_* 的整体维数很小，或者R是2-周期的，其下有Noether完备局部正则环R_0，则在交换S-代数对R_* 中的所有极大理想m都有“剩余域”的条件下，我们可以推广这个结果.
2005-02-09 math.AC math.AT
Model structure on co-Segal commutative dg-algebras in characteristic p>0
研究了对称monoidal模型范畴$\mathscr{M}$中的弱交换代数。我们提供了一个模型结构，这些代数的任何对称monoidal模型类别是组合和左适当的。我们的动机是有一个同伦理论的弱交换dg-代数的特征$p>0$，因为没有这样的理论严格交换dg-代数。对于一般的$\mathscr{M}$，我们证明了如果严格交换代数上的投射模型结构存在，那么从严格代数到弱代数的包含是Quillen等价。本文的结果可推广到对任意运算数$\mathcal{P}$的对称余Segal $\mathcal{P}$ -代数。令人惊讶的是，在co-Segal交换代数上得到模型结构并不需要monoidal模型范畴的公理
2014-06-04 math.AT math.CT
Stable Postnikov data of Picard 2-categories
Picard 2-范畴是具有可逆0-、1-和2-胞室的对称monoidal 2-范畴。Picard 2-范畴$\mathcal{D}$的分类空间是一个无限闭路空间，即$K$ -理论谱$K\mathcal{D}$的第零空间.该谱具有集中在水平0、1和2的稳定同伦群。本文用范畴结构描述了$K\mathcal{D}$的部分Postnikov数据。我们使用这一点来表明，没有严格的骨架Picard 2范畴的$K$理论实现了2截断的球谱。作为证明的一部分，我们构造了一个范畴悬置，从一个皮卡德1-范畴$C$产生一个皮卡德2-范畴$ΣC$，并证明了它与$K$ -理论的互换性，因为$KΣC$稳定地等价于$ΣK C$。
2017-04-05 math.AT math.CT math.KT
Realizability of algebraic Galois extensions by strictly commutative ring spectra
我们讨论了交换S-代数的伽罗瓦论的一些基本思想。我们限制注意有限的情况下，伽罗瓦群和全球伽罗瓦扩展。我们描述的部分由Rognes开发的一般框架。中心角色是由强对偶的概念和由Greenlees和5月在广义泰特上同调的背景下构建的迹映射。我们给出了一些例子，代数数据的系数环，确保强大的拓扑后果。我们考虑的问题，从代数伽罗瓦扩展到拓扑的应用障碍理论的罗宾逊和高斯-霍普金斯代数伽罗瓦扩展和必要的交换S-代数态射的拓扑模型。例如作为KO-代数的复K-理论谱表明，在拓扑环境中会出现更多奇异现象。我们展示了如何在某些情况下拓扑阿贝尔伽罗瓦扩展被归类为相同的哈里森群代数的，这导致可计算的哈里森群等频谱。最后，我们证明了一个类似的希尔伯特定理90的单位与伽罗瓦扩展。
2005-11-18 math.AC math.AT
Homotopy theory of modules over a commutative $S$-algebra: some tools and examples
现代谱的分类，如Elmendorf等人的谱，配备了严格对称的么半群Smash积，允许引入对称么半群，为研究高相干交换环谱提供了一种新的途径。这些有类别的模块是概括的经典类别的谱，对应的模块在球谱;通过其派生或同伦类别导致新的背景下，同伦理论可以探讨。在本文中，我们描述了一些可用于研究这些“勇敢的新同伦理论”的工具，并证明他们考虑模块的$K$ -理论频谱，密切相关的Mahowald的理论的$bo$ -决议。在计划的续集中，我们将这些技术应用到不太熟悉的背景下，模块的$2$ -局部连接谱的拓扑模形式。
2022-11-08 math.AT
Brauer groups and Galois cohomology of commutative ring spectra
本文研究了交换环谱上Baker-Richter-Szymik的Azumaya代数的分类方法，特别是在环是非连通环的情况下.我们给阻碍理论的工具，构建和分类这些代数和它们的自同构与高斯-霍普金斯阻碍理论，并给予下降理论的工具，应用Lurie的工作$\infty$ -类别表明，有限的伽罗瓦扩展环的意义上的Rognes成为同伦不动点等价的Brauer空间。对于偶周期环谱$E$，我们发现系数环为射影的“代数”Azumaya代数受$π_0(E)$的Brauer-Wall群支配，恢复了Baker-Richter-Szymik的一个结果.这使我们能够计算许多例子。例如，我们发现Lubin-Tate谱上的代数Azumaya代数有4个或2个Morita等价类，这取决于素数是奇数还是偶数，复K-理论谱$KU$上的代数Azumaya代数都是Morita平凡的，局部化$KU[1/2]$上的代数Azumaya代数的Morita类的群是$\Bbb Z/8 \times \Bbb Z/2$ .利用我们的下降结果和一个阻塞理论谱序列，我们还研究了实K-理论谱$KO$上的Azumaya代数成为Morita-平凡$KU$ -代数.我们表明，存在两个森田等价类这些。非平凡Morita等价类由一个“奇异”$KO$ -代数实现，该代数具有与$End_{KO}(KU)$相同的系数环.这就需要仔细分析在$KU$的Picard空…
2016-07-05 math.AT
Pointed Homotopy of Maps Between 2-Crossed Modules of Commutative Algebras
讨论了交换代数的2-交叉模的同伦理论，它等价于具有长度为2的Moore复形的单纯交换代数。特别地，我们构造了2-交叉模的映射的同伦关系，并证明了它在非常无限制的情况下（自由度达到2-交叉模的阶1）产生一个等价关系.这后一个条件严格地包括当域是凝聚的情况。此外，我们证明了这个同伦的概念产生一个广群，对象是2-交叉模映射之间的两个固定的2-交叉模（自由到一个域），态射是同伦之间的2-交叉模映射。
2015-10-24 math.AT math.CT
Symmetric operads in abstract symmetric spectra
本文建立了基础派生代数几何，Goerss-Hopkins阻塞理论，和交换环谱的建设在抽象设置的运算代数对称谱在一个（本质上）任意模型范畴。我们表明，一个可以做派生的代数几何a la Toën-Vezzosi在一个抽象的范畴的频谱。我们还回答了肯定的问题的Goerss和霍普金斯表明，障碍理论的谱运算代数可以做的一般性谱（基本上）任意模型类别。我们构建严格交换单纯环谱表示一个给定的上同调理论，并说明这与严格交换motivic环谱表示高阶产品Deligne上同调。这些结果是通过首先建立抽象谱的Smith稳定正模型结构，然后证明这类谱具有优良的模型论性质而得到的：我们证明了值在对称monoidal模型范畴内的对称谱中的所有有色对称运算都是容许的，即，这种运算上的代数具有模型结构。这推广了单纯集或动机空间中交换环谱和E-无穷环谱的已知模型结构。我们还表明，任何弱等价的操作谱产生一个Quillen等价的类别的代数。例如，这将E-无限环的严格化扩展到交换环的一个广泛的谱类，包括motivic谱。最后，我们表明，操作代数的Quillen等价范畴的频谱再次Quillen等价。
2020-06-01 math.AG math.AT math.KT
$K(1)$-local $K$-theory of Azumaya algebras
本文通过研究 Azumaya 代数的 $K(1)$-局部 $K$-理论，利用 Brauer 群计算严格 Picard 谱，并在特定条件下证明了 Künneth 公式。
2026-02-09 math.AG math.AT math.KT
Strict algebraic models for rational parametrised spectra II
在这篇文章中，我们扩展了Sullivan的PL de Rham理论，得到了参数化谱的有理同伦理论的简单代数模型。这简化和补充了arXiv：1910.14608的结果，该结果基于Quillen的有理同伦理论。根据Sullivan的观点，具有有限贝蒂数的幂零空间$X$的有理同伦类型完全由以有理上同调为上积建模的交换微分分次代数$A$决定。在这篇文章中，我们将拓扑和代数之间的这种对应关系扩展到参数化稳定同伦理论：对于一个对应于cdga $A$的空间$X$，我们证明了$X$上的参数化谱和微分分次$A$ -模的特定有理同伦范畴之间的等价性。虽然不是完整的，我们考虑的有理同伦范畴包含了一大类参数化谱。我们开发的方法的简单性，使直接计算参数化的稳定同伦理论使用微分分次模。为了说明我们的方法的有用性，我们建立了一个全面的字典代数翻译的拓扑结构，提供代数模型的基础变化函子，纤维稳定，参数化Postnikov节，纤维粉碎产品，和复合物的纤维稳定映射。
2020-11-12 math.AT
Norms in equivariant homotopy theory
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希·威廉大学）；Universität Regensburg（雷根斯堡大学）；Universität Münster（明斯特大学）
本文研究了规范代数和超交换全球环谱的结构，揭示了它们在更高范畴中的建模方法及相互关系。
2026-03-10 math.AT math.CT
Algebraic K-theory of strict ring spectra
我们把严格环谱看作广义环。他们的代数K理论的研究是由其应用于紧流形的自同构群。球谱的代数K理论的部分计算在正则素数上是可用的，但是我们在局部化和下降性质方面寻求更多的概念性答案。计算环谱相关的拓扑K理论建议存在一个motivic上同调理论的严格交换环谱，我们提出的证据，算术对偶在这个理论。为了将动机上同调与伽罗瓦上同调联系起来，我们希望在谱上实现分歧扩张，这只有在温和的局部化形式之后才有可能。一个这样的温和的本地化是由对数环谱的理论，我们概述了在这方面的最新进展。
2014-03-24 math.AT math.GT math.KT
The cotangent complex and Thom spectra
交换环映射的余切复形是形变理论中的一个中心问题。自20世纪90年代以来，它已被推广到同伦设置的$E_\infty$ -环谱以各种方式。在这项工作中，我们首先建立，在$\infty$范畴的背景下，并使用Goodwillie的演算函子，各种定义的余切复杂的映射的$E_\infty$ -环谱存在于文献中是等价的。然后我们将注意力转向一个具体例子。设$R$是一个$E_\infty$ -环谱，$\mathrm{Pic}(R)$表示它的Picard $E_\infty$ -群.设$Mf$表示$E_\infty$ -群$f:G\to \mathrm{Pic}(R)$的映射的Thom $E_\infty$-$R$-代数，用各种形式的配边谱给出了$Mf$的例子.证明了$R\to Mf$的余切复形等价于$Mf$与$G$的联结谱的Smash积.
2020-10-21 math.AG math.AT
The classification of integral endotrivial complexes
Fakultat für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学系）；Department of Mathematics, University of Georgia（佐治亚大学数学系）
本文描述了交换诺特环上有限群置换模导出范畴的内平凡复形群（即皮卡群），并证明了并非所有整系数内平凡复形都来自同伦表示，同时建立了素幂阶子群的下陷结果，证明了定向内平凡复形是线丛，并给出了先驱同态的拓扑构造。
2026-05-29 math.AG math.AT math.CT
The Chromatic Nullstellensatz
我们表明，鲁宾-泰特理论附加到代数闭域的特点是$T(n)$ -本地$\mathbb{E}_{\infty}$ -环的那些满足模拟希尔伯特的Nullstellenstrasse。此外，我们表明，对于每一个$T(n)$ -本地$\mathbb{E}_{\infty}$ -环$R$，收集的$\mathbb{E}_\infty$ -环映射从$R$，这样的Lubin-Tate理论共同检测零。特别地，我们推导出每个非零$T(n)$ -局部$\mathbb{E}_{\infty}$ -环$R$都允许$\mathbb{E}_\infty$ -环映射到这样的Lubin-Tate理论.作为结果，我们构造了代数封闭的Lubin-Tate理论的$\mathbb{E}_{\infty}$复定向，计算了这种Lubin-Tate理论的严格Picard谱，并证明了任意$\mathbb{E}_{\infty}$ -环的代数$\mathrm{K}$ -理论的红移.
2022-07-20 math.AT math.KT
